不完全維修條件下復(fù)雜系統(tǒng)的選擇性維修決策方法研究

王少華， 張仕新， 李勇， 董原生， 王今鵬

(1.陸軍裝甲兵學(xué)院 裝備保障與再制造工程系， 北京 100072； 2.陸軍裝甲兵學(xué)院 學(xué)員19隊(duì)， 北京 100072)

0 引言

軍事裝備等執(zhí)行連續(xù)型任務(wù)的復(fù)雜系統(tǒng)通常需要在任務(wù)間隔期間科學(xué)地安排維修工作，以確保裝備任務(wù)的可靠性滿足當(dāng)期任務(wù)要求。受任務(wù)間隔時(shí)間、可用保障資源、維修費(fèi)用等諸多因素影響，可用的維修行為組合往往是有限的，必須對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行選擇性維修，即對(duì)系統(tǒng)內(nèi)各組成分系統(tǒng)或部件、組件進(jìn)行部分維修，以滿足相關(guān)約束，使系統(tǒng)的任務(wù)可靠度滿足要求或令其最大化，以確保連續(xù)任務(wù)的成功執(zhí)行[1]。

選擇性維修決策主要包括維修對(duì)象的選擇以及維修行為的選擇，學(xué)者們已經(jīng)對(duì)選擇性維修進(jìn)行了一定研究。Bris等[2]假設(shè)系統(tǒng)各部件隨機(jī)失效并且只進(jìn)行換件修理，以系統(tǒng)可用度為約束，以費(fèi)用最小化為目標(biāo)，提出了一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)的選擇性維修決策方法。Wildeman等[3]和Yao等[4]以更換和最小維修為備選行為，對(duì)多部件系統(tǒng)的組合式維修決策進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[5-6]假設(shè)系統(tǒng)部件壽命均服從指數(shù)分布，采用不同的求解模型建立了選擇性維修決策模型，但由于指數(shù)分布不適合大多數(shù)機(jī)械系統(tǒng)，而且部件級(jí)維修決策易降低系統(tǒng)整體維修效益，因此此類模型有待進(jìn)一步優(yōu)化。Cassady等[7]考慮了役齡累積因素，以威布爾模型描述部件可靠度，將最小維修引入維修策略集，建立了多部件系統(tǒng)的選擇性維修決策模型，使決策模型更加精確。Moghaddam等[8]考慮了系統(tǒng)役齡，以維修費(fèi)用為約束，以系統(tǒng)可靠性最大化為目標(biāo)，提出了一種選擇性維修決策模型。

目前學(xué)者們已經(jīng)將系統(tǒng)狀態(tài)與役齡之間的關(guān)系分析得比較全面，但在維修策略的刻畫上還存在一定不足。目前大多數(shù)研究均假定預(yù)防維修為修復(fù)如新，而實(shí)際上，在不完全更換時(shí)復(fù)雜系統(tǒng)往往無法實(shí)現(xiàn)修復(fù)如新，許多維修行為都屬于不完全維修，因此將不完全維修引入決策模型，有利于更準(zhǔn)確地描述決策問題，從而為提出更貼近實(shí)踐應(yīng)用的決策模型奠定基礎(chǔ)[9]。Moghaddam等[10]分析了系統(tǒng)役齡對(duì)維修效果的影響，但由于未考慮維修耗時(shí)，限制了模型的實(shí)際應(yīng)用。Pandey等[11]和Labeau等[12]建立了受實(shí)時(shí)役齡影響的不完全維修效果模型，并對(duì)單次選擇性維修決策方法進(jìn)行了研究。Pandey等[13]考慮了不完全維修的影響，以系統(tǒng)維修費(fèi)用最小化為目標(biāo)，以任務(wù)可靠度為目標(biāo)，提出了有限壽命周期內(nèi)多部件系統(tǒng)的序貫選擇性維修決策方法，并提出了有限周期內(nèi)預(yù)防維修次數(shù)的優(yōu)化方法。但該模型將整個(gè)任務(wù)周期內(nèi)的維修決策視為單次維修決策，并未依據(jù)系統(tǒng)實(shí)時(shí)狀態(tài)進(jìn)行針對(duì)性的維修決策，相應(yīng)的維修效果也無法達(dá)到最優(yōu)化，因此針對(duì)系統(tǒng)實(shí)時(shí)狀態(tài)進(jìn)行序貫決策更有利于提高維修效率。另一方面，目前大多數(shù)學(xué)者并未區(qū)分預(yù)防維修與事后維修在時(shí)間和費(fèi)用上的差別，不利于支持精細(xì)化的維修決策與管理。綜上所述，針對(duì)執(zhí)行序貫任務(wù)并且任務(wù)間隔期時(shí)長有限的系統(tǒng)，為了提高復(fù)雜系統(tǒng)的選擇性維修決策效率，使系統(tǒng)任務(wù)可靠度達(dá)到最大化，本文以最小維修、不完全維修、預(yù)防性更換和事后更換構(gòu)成部件維修行為集，對(duì)多部件系統(tǒng)在序貫任務(wù)過程中的選擇性維修決策建模和求解算法進(jìn)行研究，從而為精細(xì)化的系統(tǒng)維修決策提供方法支持。

1 序貫任務(wù)條件下的系統(tǒng)可靠度模型

1.1 系統(tǒng)狀態(tài)模型

系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)部件包含正常和故障兩種狀態(tài)，通過維修和更換可修復(fù)部件來恢復(fù)系統(tǒng)狀態(tài)。假設(shè)在任務(wù)開始時(shí)刻系統(tǒng)內(nèi)各分系統(tǒng)、部件的役齡都為0，系統(tǒng)按照時(shí)間序列序貫地執(zhí)行任務(wù)，第k次任務(wù)的周期長度和任務(wù)間隔期長度是給定的，分別表示為Ok和Mk，則Mk即為任務(wù)k結(jié)束后維修可用的最長時(shí)間。有維修條件下的序貫任務(wù)過程如圖1所示。

系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)部件的可選維修行為可分為最小維修、不完全維修、預(yù)防性更換和事后更換，每個(gè)維修行為消耗的時(shí)間和資源不同，維修效果也各不相同。其中：最小維修僅將部件從故障狀態(tài)恢復(fù)到堪用狀態(tài)，并不改善部件的可靠性，最小維修消耗的時(shí)間和費(fèi)用通常相對(duì)最?。徊煌耆S修既可以是預(yù)防維修，也可以是事后維修，不完全維修的效果介于最小維修和更換之間，消耗的時(shí)間和費(fèi)用與維修效果呈正相關(guān)關(guān)系，通常介于最小維修與更換之間；預(yù)防性更換和事后更換能夠?qū)⒉考迯?fù)如新，但相同條件下，由于事前有準(zhǔn)備，預(yù)防性更換導(dǎo)致的保障延遲時(shí)間相對(duì)較短，因此假設(shè)預(yù)防更換所需的時(shí)間和費(fèi)用比事后更換相對(duì)較小。

其中，0表示故障，1表示正常。

當(dāng)?shù)趉個(gè)任務(wù)周期結(jié)束時(shí)，部件狀態(tài)可表示為

同樣，分系統(tǒng)和系統(tǒng)的狀態(tài)也標(biāo)識(shí)為{0，1}，按照系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)層次確定相應(yīng)分系統(tǒng)或系統(tǒng)的狀態(tài)。

1.2 維修行為模型

由1.1節(jié)可知，對(duì)于系統(tǒng)內(nèi)任一部件，其維修行為集為：{最小維修，不完全維修，預(yù)防更換，事后更換}，而且不完全維修包括了不同深度的維修行為。在序貫任務(wù)間隔期內(nèi)，可選的維修行為主要取決于部件狀態(tài)。對(duì)于部件s，如果Ys(k)=1，即未發(fā)生故障，則可實(shí)施不完全維修或預(yù)防性更換；如果Ys(k)=0，即發(fā)生故障，則可實(shí)施最小維修、不完全維修或事后更換[15]。

假設(shè)系統(tǒng)內(nèi)各部件的可選維修行為數(shù)量有限，將部件s在維修周期k的維修行為變量表示為ls(k)，為ls(k)指定唯一的常值來表示特定的維修行為，以便于決策尋優(yōu)，賦值實(shí)例如表1所示。

表1 部件維修行為ls(k)賦值表

如表1所示，按照不維修、最小維修、不完全維修、預(yù)防性更換和事后更換的順序依次遞增，為ls(k)進(jìn)行賦值。當(dāng)ls(k)取值為1時(shí)表示最小維修，該維修行為以最小代價(jià)排除系統(tǒng)故障，部件可靠度并不發(fā)生改變，需要注意的是預(yù)防維修時(shí)不進(jìn)行最小維修。在不換件條件下，通過清洗、調(diào)整、校正等手段，能夠部分提高部件的可靠度，使其狀態(tài)介于修復(fù)如舊和修復(fù)如新之間，此類維修行為即為不完全維修，表1中l(wèi)s(k)取值為2,…,ps-2時(shí)，維修行為即為不完全維修，而且ls(k)取值越高，相應(yīng)的維修行為消耗的維修資源和時(shí)間越多，維修效果越好。預(yù)防性更換和事后更換能夠?qū)⒉考顟B(tài)修復(fù)如新，但由于預(yù)防性更換具有計(jì)劃性，所需的維修時(shí)間和費(fèi)用相對(duì)較少。由于部件自身特征各異，可選的維修行為也各不相同，ps取值也因部件而異。

從修復(fù)效果看，不完全維修能夠?qū)⑾到y(tǒng)或部件狀態(tài)恢復(fù)到介于修復(fù)如舊與修復(fù)如新之間的狀態(tài)。目前常用的不完全維修模型主要有兩種[16]：一種是役齡回退法，該方法通過役齡回退因子修正等效役齡來改變修后部件的可靠度，假設(shè)修復(fù)前的役齡為t，修復(fù)后的等效役齡將回退為bx(0≤b≤1)，b為役齡回退因子，其取值越小，修復(fù)后的可靠度越高；另一種是直接修正故障率函數(shù)λ(x)，即修復(fù)前的故障率函數(shù)λ(x)(x>0)在修復(fù)后成為aλ(x)(x>0,0≤a≤1)，a為修正因子，其取值越小，修復(fù)后的可靠度越高。

上述兩類模型能夠從不同角度描述不完全維修的效果，但實(shí)際上不完全維修在提高系統(tǒng)可靠度的同時(shí)，也有可能引入缺陷，即維修不是越頻繁越好，單一模型只能部分地描述相關(guān)特性，為了更全面地表達(dá)上述特征，這里將兩類模型進(jìn)行綜合來更準(zhǔn)確地反映不完全維修的效果，圖2所示為不完全維修效果示意圖。

如圖2所示，維修1、維修2等活動(dòng)能夠不同程度地降低系統(tǒng)部件的故障率，降低程度由維修行為本身特征決定。同時(shí)在完成更換之前，維修帶來的缺陷將產(chǎn)生累積效應(yīng)。如圖2中所示，維修后的故障率曲線斜率呈上升趨勢(shì)，更符合系統(tǒng)部件狀態(tài)特性，能夠?yàn)榫S修決策模型的建立奠定基礎(chǔ)。

λs,1(x2+x)=aλs,0(bx1+x)，
0≤x≤O2,a≥1,0≤b≤1，

(1)

式中：λs,0(·)為部件s第1個(gè)任務(wù)周期的故障率函數(shù)；λs,1(·) 為部件s第2個(gè)任務(wù)周期的故障率函數(shù)。由(1)式可知，在不完全維修后部件役齡由x1回退為bx1，但由于a≥1，故障率函數(shù)的斜率是增加的，這是因?yàn)闈撛诓涣既毕莸挠绊憽?/p>

在部件更換之前，部件故障率函數(shù)隨著序貫任務(wù)過程相應(yīng)地進(jìn)行更新，假設(shè)在k個(gè)任務(wù)間隔期內(nèi)部件s實(shí)施了k次維修，各次維修的修正因子和役齡回退因子取值分別為(as,1,as,2,…,as,k)和(bs,1,bs,2,…,bs,k)，則該部件在第k+1個(gè)任務(wù)周期內(nèi)的故障率為

λs,k+1(xk+1+x)=As,kλ0,k(bs,kBs,k+x),
0≤x≤Ok+1，

(2)

(3)

由(3)式可知，在第k-1次維修后其等效役齡將由Bs,k-1回退為bs,k-1Bs,k-1，從而能夠更準(zhǔn)確地表示維修對(duì)系統(tǒng)部件狀態(tài)的影響。

役齡回退因子b主要受維修資源投入量與維修時(shí)役齡的影響，投入的維修時(shí)間和維修費(fèi)用越多，b取值越小，維修效果越好；對(duì)于同一維修行為，維修時(shí)部件役齡相對(duì)越小，役齡回退因子取值也越小，維修相對(duì)效果越好。這里采用文獻(xiàn)[18-19]提出的計(jì)算方法求取役齡回退因子，部件s第k次維修的役齡回退因子為

(4)

式中：cs,k(ls(k))表示第k次維修、部件s維修行為編碼為ls(k)時(shí)的所需費(fèi)用；cs,R為部件s的更換費(fèi)用；m(Bs,k)為部件s的役齡特征指標(biāo)，m(Bs,k)的計(jì)算公式為

(5)

Ms,k表示等效役齡為Bs,k時(shí)部件s的期望剩余壽命，Rs,k(Bs,k)表示等效役齡為Bs,k時(shí)部件s的可靠度，Rs,k(x)表示第k個(gè)任務(wù)完成后役齡為x時(shí)部件s的可靠度。當(dāng)部件s的可靠度函數(shù)符合威布爾分布時(shí)，有

(6)

將(6)式代入(5)式，有

(7)

由(4)式可知：m(Bs,k)取值為正，m(Bs,k)越接近0，修復(fù)后的等效役齡越??；m(Bs,k)取值越大，修復(fù)后的等效役齡相對(duì)越大。

故障率函數(shù)修正因子的定義與役齡回退因子類似，有

(8)

式中：q為定值，該值主要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)給定，維修引入缺陷的幾率越高，q取值越小。

從可靠度變化特性上分析，各類維修行為都可視為不完全維修的特例。當(dāng)a=1、b=1時(shí)，即為最小維修后的部件狀態(tài)，即役齡未回退；當(dāng)a=1、b=0時(shí)，即為更換后的部件狀態(tài)。

1.3 系統(tǒng)可靠度變化模型

通過在序貫之間對(duì)系統(tǒng)內(nèi)各部件進(jìn)行維修，根據(jù)維修決策需求，即可在給定的任務(wù)間隔期內(nèi)對(duì)被修部件和相應(yīng)的維修行為進(jìn)行選擇性決策，提高下一任務(wù)周期內(nèi)的部件可靠度，使系統(tǒng)任務(wù)可靠度滿足任務(wù)需求。系統(tǒng)內(nèi)各部件的修復(fù)效果與其維修行為直接相關(guān)，部件s在第k(k=1, 2,…)個(gè)任務(wù)周期內(nèi)的故障率函數(shù)為

(9)

式中：ls(k-1)為第k-1次維修行為的編號(hào)，若ls(k-1)∈{0, 1}，則表示未進(jìn)行維修或最小維修，故障率函數(shù)未發(fā)生改變；若ls(k-1)∈{2,…,ps-2}，則表示不完全維修，役齡和乘子發(fā)生改變；若ls(k-1)∈{ps-1,ps}，則表示進(jìn)行更換，役齡從0開始重新計(jì)算。

由(9)式可求得部件s在第k個(gè)任務(wù)周期的可靠度為

(10)

對(duì)于本文給定的串聯(lián)和并聯(lián)系統(tǒng)，系統(tǒng)在第k個(gè)任務(wù)周期的任務(wù)可靠度為

(11)

對(duì)于由多個(gè)部件串聯(lián)和并聯(lián)所組成的復(fù)雜系統(tǒng)，系統(tǒng)整體任務(wù)可靠性是決策者的關(guān)注重點(diǎn)，因此使R(k)達(dá)到規(guī)定要求是決策的目標(biāo)。在序貫任務(wù)之間的允許維修時(shí)間是有限的，這里通過序貫選擇性維修決策，在滿足任務(wù)可靠度和時(shí)間約束條件的前提下，達(dá)到維修費(fèi)用最小化的決策目標(biāo)。由(10)式和(11)式可知，在第1個(gè)任務(wù)周期內(nèi)，系統(tǒng)可靠度與維修策略無關(guān)，在給定可靠度模型基礎(chǔ)上，該任務(wù)周期內(nèi)的系統(tǒng)可靠度僅與任務(wù)周期長度相關(guān)。

1.4 維修時(shí)間模型

任意一個(gè)維修行為都會(huì)消耗一定資源和時(shí)間，由于維修性質(zhì)不同，表1所示的維修行為需要分別進(jìn)行分析。對(duì)于預(yù)防性更換和事后更換，假定其所需時(shí)間為定值，單純考慮作業(yè)時(shí)間，更換所需時(shí)間并不一定長于其他維修行為，但考慮到整體換件通常需要較長的保障延遲時(shí)間，因此假定換件時(shí)間多于任意一個(gè)不完全維修或最小維修，而事后更換時(shí)間又多于預(yù)防性更換。為了簡化分析難度，假設(shè)不完全維修、預(yù)防性維修和事后維修所需的時(shí)間是相同的，從構(gòu)成方面分析，將維修時(shí)間分解為固定維修時(shí)間和由維修深度決定的時(shí)間，固定維修時(shí)間是與維修深度無關(guān)的維修動(dòng)作所消耗的時(shí)間，如部件分解、安裝、潤滑、調(diào)試等，假定該時(shí)間為常值；單次維修中涉及的組件越多、投入的維修資源越多，維修效果越好，與維修深度相關(guān)的時(shí)間越長。

根據(jù)上述分析和假設(shè)，將部件s在進(jìn)行第k次維修時(shí)消耗的時(shí)間Ts,k(ls(k))表示為

(12)

式中：ls(k)=0時(shí)表示未進(jìn)行維修，不消耗時(shí)間；1≤ls(k)≤ps-2表示最小維修和不完全維修，ts,k(ls(k))是由ls(k)維修深度決定的時(shí)間；ls(k)=ps-1表示預(yù)防更換；ts,pr為預(yù)防更換時(shí)間；ls(k)=ps表示事后更換，ts,cr為事后更換時(shí)間。

系統(tǒng)第k次維修消耗的時(shí)間T(k)為

(13)

2 維修決策優(yōu)化模型

對(duì)于軍事裝備等任務(wù)型復(fù)雜系統(tǒng)，在可行的維修時(shí)間內(nèi)通過選擇性維修盡可能提高系統(tǒng)在任務(wù)期間的可靠性，是主要的維修決策問題。

2.1 決策目標(biāo)函數(shù)

假設(shè)初始時(shí)刻系統(tǒng)由全新部件組成，即各部件役齡皆為0，在序貫任務(wù)過程中，任務(wù)間隔周期長度Mk有限，以任務(wù)可靠度最大化為決策目標(biāo)，對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部件實(shí)施選擇性維修，使系統(tǒng)的當(dāng)期任務(wù)可靠度達(dá)到最大值。決策內(nèi)容包括確定當(dāng)期被修部件以及相應(yīng)的維修行為，因此建立決策目標(biāo)函數(shù)為

(14)

(15)

其中，(14)式表示決策的目標(biāo)是使第k次維修后系統(tǒng)任務(wù)可靠度最大，(15)式表示系統(tǒng)維修總時(shí)間不應(yīng)超出任務(wù)間隔期Mk.

同時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)各部件維修行為必須為與實(shí)時(shí)狀態(tài)相對(duì)應(yīng)的可行解，相關(guān)約束關(guān)系如表2所示。

表2 與部件狀態(tài)對(duì)應(yīng)的維修行為可行解

表2中，Xs(k+1)表示第k次維修后部件s的狀態(tài)，Ys(k)行和ls(k)行中的元素一一對(duì)應(yīng)，當(dāng)Ys(k)滿足對(duì)應(yīng)條件時(shí)，才能選擇相應(yīng)的維修行為。以ls(k)=0為例，當(dāng)Ys(k)=0或1時(shí)，無論是否故障都可以不維修，修后的狀態(tài)Xs(k+1)與修前保持一致，其他維修行為也由相應(yīng)的Ys(k)約束，以避免對(duì)正常部件實(shí)施事后更換等不符合邏輯的維修決策方案。

2.2 決策模型求解算法

分析上述決策模型可知，序貫任務(wù)條件下的選擇性維修決策可視為單次維修決策，在簡單約束條件下可采用傳統(tǒng)線性規(guī)劃方法進(jìn)行求解，但是由于系統(tǒng)狀態(tài)的隨機(jī)性和復(fù)雜的多重約束，必須采用具有更強(qiáng)的適應(yīng)性和可移植性智能優(yōu)化算法，常用的如遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法等[20]。這里采用遺傳算法對(duì)上述維修決策模型進(jìn)行求解。

如第1節(jié)所述，對(duì)于構(gòu)成復(fù)雜的串聯(lián)和并聯(lián)系統(tǒng)，部件s的維修行為集合為{0,1,2,…,ps}，每次維修部件s在該集合內(nèi)唯一取值。針對(duì)這一特征，構(gòu)造長度為N的遺傳染色體，染色體每一位置表示一個(gè)部件的維修行為，染色體中第s個(gè)變量的值域?yàn)閧0,1,2,…,ps}。根據(jù)該遺傳染色體的定義，該染色體既非二進(jìn)制編碼也非實(shí)數(shù)編碼，染色體每一字段都有確定的值域，因此在染色體交叉和變異操作時(shí)，需要滿足相關(guān)約束，確保新的子代染色體對(duì)應(yīng)方案是可行的[21]。

基于遺傳算法的決策優(yōu)化方案求解流程如圖3所示。

由圖3可見：對(duì)于處于初始完好狀態(tài)的多部件系統(tǒng)，推動(dòng)仿真時(shí)間到當(dāng)次任務(wù)結(jié)束，更新各部件等效役齡，通過生成隨機(jī)數(shù)模擬各部件狀態(tài)；將相關(guān)參數(shù)輸入遺傳求解模型，可求得當(dāng)前狀態(tài)下系統(tǒng)的最佳選擇性維修方案；在按照維修方案完成當(dāng)期維修后，更新系統(tǒng)仿真時(shí)間，同時(shí)推進(jìn)任務(wù)時(shí)間向下個(gè)任務(wù)周期前進(jìn)，進(jìn)行序貫維修決策，直到系統(tǒng)時(shí)間達(dá)到預(yù)設(shè)的仿真時(shí)間，結(jié)束運(yùn)算。

3 案例分析

為了驗(yàn)證本文提出的序貫選擇性維修決策模型有效性，以某機(jī)械系統(tǒng)為維修決策對(duì)象進(jìn)行建模分析，其系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)如圖4所示。

由圖4可知，該機(jī)械系統(tǒng)包含3個(gè)串聯(lián)子系統(tǒng)，各子系統(tǒng)包含不同部件，系統(tǒng)內(nèi)各部件的可靠性與維修相關(guān)參數(shù)如表3所示。

假設(shè)該系統(tǒng)序貫執(zhí)行4次任務(wù)，Ok、Mk為定值，分別為100 d和6 d，每個(gè)部件不完全維修參數(shù)p均為6. 通過蒙特卡洛仿真模擬系統(tǒng)內(nèi)各部件的狀態(tài)變化過程，并按照本文提出的選擇性維修決策方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行維修和狀態(tài)更新，可以得到最優(yōu)維修決策方案。由于部件以及系統(tǒng)故障發(fā)生具有隨機(jī)性，選擇性維修決策是因應(yīng)系統(tǒng)實(shí)時(shí)狀態(tài)作出的最優(yōu)決策，因此每次仿真結(jié)果具有隨機(jī)性。表4所示為某次仿真的過程狀態(tài)與相應(yīng)的維修決策結(jié)果。

由表4可知：在序貫任務(wù)過程中，以仿真求得的實(shí)時(shí)役齡向量Bs,k和系統(tǒng)內(nèi)部件狀態(tài)向量Ys(k)為輸入，按照本文提出的方法進(jìn)行選擇性維修決策優(yōu)化，即表4中l(wèi)s(k)所示的維修行為向量，在下一任務(wù)周期系統(tǒng)可靠度可分別達(dá)到0.936 5、0.947 0和0.927 6；在給定維修時(shí)限為6 d的約束條件下，各次維修耗時(shí)分別為5.6 d、5.5 d和5.4 d，皆滿足時(shí)間約束，表明在有限時(shí)間內(nèi)通過選擇性維修達(dá)到了系統(tǒng)任務(wù)可靠度最大化的目標(biāo)。

理論上，不完全維修能夠?yàn)闆Q策者提供更豐富的維修行為方案，在有限時(shí)間內(nèi)通過更靈活的選擇性維修，相對(duì)提高系統(tǒng)任務(wù)可靠度，為了分析不完全維修對(duì)系統(tǒng)可靠度的提高效用，在維修行為中剔除不完全維修，使維修行為集合為{最小維修，預(yù)防性更換，事后更換}，其他條件不變，通過蒙特卡洛仿真模擬系統(tǒng)狀態(tài)并進(jìn)行選擇性維修決策。設(shè)定任務(wù)周期數(shù)為15，仿真重復(fù)次數(shù)為40次，得到的仿真結(jié)果如圖5所示。

表4 某次仿真系統(tǒng)選擇性維修決策方案

注：Bs,k為系統(tǒng)部件役齡向量，Ys(k)為在任務(wù)k后系統(tǒng)部件的狀態(tài)向量，ls(k)為任務(wù)k后的最優(yōu)選擇性維修行為向量，Xs(k+1)為第k次維修后系統(tǒng)部件的狀態(tài)向量。

由圖5可知，在維修周期時(shí)長相同條件下，有不完全維修情況下的系統(tǒng)任務(wù)可靠度較同期無不完全維修條件下相對(duì)更高，在系統(tǒng)可靠度趨于穩(wěn)定之后，二者相差基本維持在0.03左右，說明不完全維修豐富了選擇性維修的決策空間，有利于在有限時(shí)間內(nèi)通過更靈活的組合提高復(fù)雜系統(tǒng)的任務(wù)可靠度水平。

在不考慮維修時(shí)間和維修費(fèi)用約束情況下，在序貫任務(wù)間隔期內(nèi)系統(tǒng)可以進(jìn)行完全更新，其任務(wù)可靠度可以保持在理想值，此案例中第1個(gè)任務(wù)周期的可靠度為0.955 8，即每個(gè)任務(wù)周期系統(tǒng)可靠度都將保持在0.958 8. 理論上，當(dāng)維修時(shí)間受限時(shí)，序貫任務(wù)周期之間的間隔期越短，即允許維修的時(shí)間越短，系統(tǒng)必須進(jìn)行選擇性維修，而選擇性維修決策空間將隨時(shí)間縮短而受限，實(shí)施更換等深度維修行為的幾率將降低，維修后系統(tǒng)的任務(wù)可靠度也將隨之降低。

為了評(píng)估維修總時(shí)間對(duì)維修造成的影響，改變決策模型中的系統(tǒng)維修周期時(shí)長，序貫仿真選擇性維修決策下系統(tǒng)狀態(tài)的隨機(jī)變化過程，得到系統(tǒng)任務(wù)可靠度的序貫變化曲線。由于系統(tǒng)以及其內(nèi)部部件狀態(tài)具有隨機(jī)性，單次仿真并不能充分反映維修周期時(shí)長對(duì)其任務(wù)可靠度的影響，為此采用多次仿真輸出平均值的方式，求得系統(tǒng)可靠度相對(duì)穩(wěn)定的變化曲線。設(shè)定總?cè)蝿?wù)周期數(shù)為10，仿真次數(shù)為40，實(shí)施仿真運(yùn)算，結(jié)果如圖6所示。

由圖6可知，在給定維修周期時(shí)長條件下，仿真得到的系統(tǒng)可靠度均呈下降趨勢(shì)，維修周期時(shí)長越短，系統(tǒng)任務(wù)可靠度下降的趨勢(shì)越顯著，當(dāng)Mk∈{6 d，7 d，8 d}時(shí)，系統(tǒng)任務(wù)可靠度隨任務(wù)的進(jìn)行逐漸趨于穩(wěn)定，能夠保持在0.86以上。當(dāng)Mk≤5 d時(shí)，系統(tǒng)可靠度將隨任務(wù)的序貫進(jìn)行快速降低；當(dāng)Mk=3 d時(shí)，系統(tǒng)第10個(gè)任務(wù)周期內(nèi)的可靠度將降低到0.527 5，難以確保任務(wù)的完成。該仿真結(jié)果能夠?yàn)榫S修周期的優(yōu)化提供信息，如果決策者在10個(gè)序貫任務(wù)執(zhí)行過程中能夠接受的可靠度閾值為0.85，則維修周期時(shí)長最小應(yīng)保持在6 d以上。

由(1)式可知，本文在不完全維修模型中同時(shí)引入了役齡回退因子和修正因子，能夠更真實(shí)地反映不完全維修對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的作用。為了分析該模型對(duì)系統(tǒng)可靠性影響，分別提取兩類因素進(jìn)行分析：去除修正因子，保留(1)式中的役齡回退算式，構(gòu)造役齡回退模型；保留修正因子，假定維修后役齡回退為0，進(jìn)而構(gòu)造風(fēng)險(xiǎn)修正模型，得到的仿真結(jié)果如圖7所示。

本文采用的混合模型未將修后役齡歸0，同時(shí)描述了維修缺陷的不良影響，理論上系統(tǒng)任務(wù)可靠度應(yīng)低于同期的役齡回退模型和風(fēng)險(xiǎn)修正模型。圖6所示的仿真結(jié)果驗(yàn)證了該理論，通過數(shù)值對(duì)比可以看出，混合模型下系統(tǒng)可靠度與其他兩個(gè)模型輸出值之間均保持在0.02～0.04之間，役齡回退和風(fēng)險(xiǎn)修正模型都對(duì)準(zhǔn)確估計(jì)系統(tǒng)可靠度做出了相當(dāng)?shù)呢暙I(xiàn)。在實(shí)際應(yīng)用中，如果役齡回退和維修缺陷都存在，則應(yīng)采用混合模型充分描述這兩類因素對(duì)系統(tǒng)可靠度的不利影響，否則可能由于樂觀估計(jì)而導(dǎo)致系統(tǒng)真實(shí)任務(wù)可靠度無法達(dá)到要求，影響任務(wù)的成功執(zhí)行。

4 結(jié)論

本文以復(fù)雜串聯(lián)和并聯(lián)系統(tǒng)任務(wù)為研究對(duì)象，建立了序貫任務(wù)條件下系統(tǒng)狀態(tài)隨機(jī)劣化過程模型，以最小維修、不完全維修和換件維修為部件維修策略，在有限維修時(shí)間約束下，以維修后系統(tǒng)任務(wù)可靠度最大化為目標(biāo)，提出了選擇性維修決策模型以及相應(yīng)的求解算法。案例分析表明，不完全維修策略可以在有限維修時(shí)間約束下，為復(fù)雜系統(tǒng)的選擇性維修決策提供更大解空間，有助于提高系統(tǒng)可靠度，使維修決策模型更具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。另一方面，本文采用的不完全維修模型既考慮了維修后役齡無法歸0的事實(shí)，又描述了維修易引入缺陷的情況，能夠更準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)可靠度，為決策者提供更具應(yīng)用性的決策支持信息。對(duì)于軍事裝備來說，在執(zhí)行序貫任務(wù)過程中，其選擇性維修決策不僅面臨時(shí)間約束條件，而且維修所需的備件、工具等因素往往成為制約維修的關(guān)鍵，下一步將針對(duì)這一問題展開進(jìn)一步研究。

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