高炮弱相關(guān)射擊誤差的毀殲概率計(jì)算模型

姚志軍， 謝杰濤， 趙志明， 郭治， 王軍

(1.中國白城兵器試驗(yàn)中心, 吉林 白城 137001; 2.南京理工大學(xué) 自動化學(xué)院, 江蘇 南京 210094)

0 引言

毀殲概率反映了高炮武器系統(tǒng)的整體性能，是最重要的戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標(biāo)之一。計(jì)算高炮毀殲概率的方法有實(shí)測統(tǒng)計(jì)法、模擬統(tǒng)計(jì)法和數(shù)學(xué)描述法。在武器系統(tǒng)定型試驗(yàn)中，出于安全性和費(fèi)效比等因素考慮，不可能獲得大量對真實(shí)目標(biāo)的毀殲數(shù)據(jù)，實(shí)測統(tǒng)計(jì)法的應(yīng)用從而失去了統(tǒng)計(jì)意義。模擬統(tǒng)計(jì)法也稱Monte Carlo方法，其本質(zhì)是用計(jì)算機(jī)模擬打靶，通過延長模擬時間和增加計(jì)算資源來獲得足夠多的數(shù)據(jù)，但是其正確性依賴于數(shù)據(jù)生成模型的正確性，主要用于模型驗(yàn)證和數(shù)據(jù)探索，業(yè)界尚不能接受用其計(jì)算結(jié)果作為定型依據(jù)。數(shù)學(xué)描述法通過對射擊誤差和毀殲機(jī)理進(jìn)行分析，試圖推導(dǎo)出毀殲概率的計(jì)算表達(dá)式，已成為學(xué)者們研究重點(diǎn)。

文獻(xiàn)[1-4]和國家軍用標(biāo)準(zhǔn)GJBZ 20499—98“高炮武器系統(tǒng)射擊效率評定”[5]按時間相關(guān)性將高炮武器系統(tǒng)的隨機(jī)誤差分為強(qiáng)相關(guān)誤差、弱相關(guān)誤差和不相關(guān)誤差3類，并認(rèn)為這3類誤差是彼此無關(guān)的正態(tài)過程。用d表示射擊誤差隨機(jī)變量的維數(shù)(d=2為著發(fā)彈藥，d=3為空炸彈藥)，用n表示點(diǎn)射長度，則精確計(jì)算高炮點(diǎn)射的毀殲概率需要進(jìn)行n×d重積分。若只考慮強(qiáng)相關(guān)誤差和不相關(guān)誤差，則只需要進(jìn)行2d重積分，由此可見毀殲概率計(jì)算的復(fù)雜性主要是由弱相關(guān)誤差引起的。如何處理弱相關(guān)誤差，在保證計(jì)算準(zhǔn)確性的同時降低計(jì)算復(fù)雜度，是數(shù)學(xué)描述法建模的關(guān)鍵問題。文獻(xiàn)[1-4]中的誤差平均法、相關(guān)系數(shù)最小二乘法和經(jīng)驗(yàn)公式等誤差模型轉(zhuǎn)換法均試圖將弱相關(guān)誤差分解為強(qiáng)相關(guān)部分和不相關(guān)部分，并將前者與強(qiáng)相關(guān)誤差合并為重復(fù)誤差，將后者與不相關(guān)誤差合并為不重復(fù)誤差，進(jìn)而給出毀殲概率計(jì)算的4重積分表達(dá)式。自從誤差模型轉(zhuǎn)換法中的誤差平均法寫入國家軍用標(biāo)準(zhǔn)GJBZ 20499—98[5]后，這種分解方法幾成定勢，此后相關(guān)文獻(xiàn)在涉及此內(nèi)容時主要沿用結(jié)論，但這些方法均無法保持分解前后毀殲概率不變性，也不能給出結(jié)果的近似程度，因此長期以來靶場并不直接回答毀殲概率指標(biāo)。文獻(xiàn)[6]將平穩(wěn)正態(tài)的射擊誤差序列分解為共有分量和非共有分量，將共有分量進(jìn)一步分解為預(yù)測值和預(yù)測誤差，雖然仍沿用弱相關(guān)分解的思路，但是已經(jīng)試圖引入現(xiàn)代控制理論的思想解決問題，不過文獻(xiàn)[6]進(jìn)行公式推導(dǎo)時只考慮了弱相關(guān)誤差與初值的相關(guān)性，與弱相關(guān)誤差狀態(tài)方差不符。

本文從射擊學(xué)基本假定出發(fā)，建立了弱相關(guān)誤差序列的狀態(tài)方程，采用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)演繹，利用遞推關(guān)系推導(dǎo)出命中概率的精確計(jì)算模型。給出了0-1毀傷定律毀殲概率計(jì)算模型，以方便與現(xiàn)有算法的比較。

1 弱相關(guān)誤差序列狀態(tài)方程

射擊誤差對著發(fā)彈藥而言是迎彈面上的二維隨機(jī)序列，對空炸彈藥而言是空間三維隨機(jī)序列，二者沒有本質(zhì)區(qū)別。本文采用一維形式進(jìn)行分析，以方便地?cái)U(kuò)展到二維和三維形式。

記射擊誤差序列為{x(k)∈R;k=1,2,…,n}. 弱相關(guān)誤差序列采用平穩(wěn)正態(tài)過程模型進(jìn)行描述，模型階次由實(shí)際數(shù)據(jù)確定。為了與現(xiàn)行國家軍用標(biāo)準(zhǔn)[5]體制保持一致，本文采用1階平穩(wěn)正態(tài)過程模型，狀態(tài)方程如(1)式所示：

(1)

2 命中概率計(jì)算

記Ω為命中區(qū)域，則高炮n發(fā)點(diǎn)射的命中概率為

H(n)=1-P{x(1)?Ω,x(2)?Ω,…,x(n)?Ω}.

(2)

由于各發(fā)炮彈之間具有相關(guān)性，(2)式對應(yīng)的計(jì)算復(fù)雜度為n重積分運(yùn)算。若要得到滿足精度要求的結(jié)果，有必要進(jìn)一步降低計(jì)算復(fù)雜度。

2.1 遞推計(jì)算模型的推導(dǎo)

用g[x(1)]表示第1發(fā)彈目偏差的概率密度函數(shù)，則有

(3)

用g[x(k+1)]表示前k發(fā)炮彈均脫靶條件下，第k+1發(fā)彈目偏差的概率密度函數(shù)，f[x(k+1)|x(k)]表示已知第k發(fā)彈目偏差條件下第k+1發(fā)彈目偏差的概率密度函數(shù)，則有

(4)

(5)

(6)

如圖1所示，將脫靶區(qū)域沿坐標(biāo)軸方向分成l個區(qū)域，{i}表示第i個區(qū)域。

用Pi(k)表示前k-1發(fā)炮彈均脫靶條件下第k發(fā)炮彈落在區(qū)域{i}的概率，則有

(7)

(8)

(9)

根據(jù)積分中值定理，有

(10)

(11)

當(dāng)‖i‖趨于0時，有

(12)

聯(lián)立(8)式～(12)式，有

(13)

聯(lián)立(2)式、(6)式、(13)式，有

(14)

分析(14)式可知，這是一個隱含的遞推計(jì)算式，且系數(shù)與射擊彈藥序號無關(guān)。下面將進(jìn)一步闡述這一結(jié)果。

2.2 計(jì)算模型的矩陣表示

用Pji(k+1)表示前k-1發(fā)炮彈均脫靶情況下第k發(fā)炮彈落在區(qū)間{j}、第k+1發(fā)炮彈落在區(qū)間{i}的轉(zhuǎn)移概率，則有

(15)

(16)

當(dāng)‖i‖、‖j‖均趨于0時，聯(lián)立(10)式～(12)式、(15)式，有

(17)

由(17)式可知，Pji(k+1)值與k無關(guān)，即Pji(k+1)=Pji，則有

(18)

令

(19)

P(k)=[P1(k),P2(k),…,Pl(k)]T，

(20)

則有

(21)

記l維單位向量e=[1,1,…,1]，有

H(n)=1-eAn-1P(1).

(22)

實(shí)際計(jì)算時，l只能取有限值。使用(22)式計(jì)算命中概率時，計(jì)算精度隨著l的增大而提高。因此，可以通過比較增大l前后H(n)的值，確定H(n)的計(jì)算誤差。用Hl(n)表示l為有限值時求得的毀殲概率，則H2l(n)對應(yīng)的計(jì)算誤差ΔH2l(n)滿足：

ΔH2l(n)≤|H2l(n)-Hl(n)|.

(23)

(22)式只需要計(jì)算l+l2次一維積分，不需要進(jìn)行n重積分運(yùn)算。同時可以根據(jù)(23)式確定計(jì)算精度，滿足了高精度計(jì)算的需要。

3 毀殲概率計(jì)算

從命中概率到毀殲概率，主要變化是引入了彈藥對目標(biāo)的毀傷能力，通常用毀傷定律來表征。對著發(fā)彈藥而言，使用最廣的是0-1毀傷定律和指數(shù)毀傷定律[2]。

0-1毀傷定律代表命中即毀殲，表示為

(24)

指數(shù)毀傷定律通常表示為

(25)

式中：ω表示毀殲?zāi)繕?biāo)所需的平均命中彈數(shù)，它反映了彈藥威力和目標(biāo)易損性。

指數(shù)毀傷定律的基本假定是：各發(fā)命中彈對目標(biāo)毀傷是獨(dú)立的，命中彈對目標(biāo)毀傷沒有累計(jì)效應(yīng)[2]。在此假定下，確定威力的彈藥對確定目標(biāo)，其毀傷結(jié)果是確定且無后效的。如果將目標(biāo)按易損性劃分，則給定彈藥對具體部位而言，要么能夠毀傷，要么不能毀傷。即只要對目標(biāo)劃分足夠細(xì)致，對具體某個劃分的部位而言ω只有0和1兩種取值，ω>1的部位均可以進(jìn)行進(jìn)一步劃分，直至每部分ω的取值非0即1. 因此指數(shù)毀傷定律的本質(zhì)仍舊是0-1毀傷定律。由于本文核心在于闡明毀殲概率遞推模型的數(shù)學(xué)演繹過程，為了論述的簡潔性，后續(xù)均采用0-1毀傷定律。

用Hk+1表示前k發(fā)炮彈均不毀殲條件下第k+1發(fā)炮彈毀殲概率，則

(26)

H1=1-eP(1)，

(27)

從而有n發(fā)炮彈點(diǎn)射的毀殲概率為

(28)

(28)式表明，對于0-1毀傷定律而言，點(diǎn)射的首次命中概率和毀殲概率是相等的。

4 與現(xiàn)有算法的比較

本文采用1階平穩(wěn)序列模型作為弱相關(guān)誤差隨機(jī)狀態(tài)方程的基礎(chǔ)，與包含國家軍用標(biāo)準(zhǔn)在內(nèi)的現(xiàn)有文獻(xiàn)一致[2-5]，也可以采用高階模型。采用0-1毀傷定律是為了比較方便，亦可以擴(kuò)展到指數(shù)毀傷定律和坐標(biāo)毀傷定律。下面通過計(jì)算示例，比較本文遞推法、Monte Carlo法、誤差平均法和相關(guān)系數(shù)最小二乘法。

Monte Carlo法的計(jì)算流程如下：對于每一次模擬實(shí)驗(yàn)，生成n個方差等于弱相關(guān)誤差方差的白噪聲；按照(1)式得出弱相關(guān)誤差序列，逐發(fā)判斷單發(fā)炮彈是否命中目標(biāo)，統(tǒng)計(jì)命中彈數(shù)；按照(24)式或(25)式計(jì)算毀殲概率；重復(fù)這種模擬實(shí)驗(yàn)10萬次，取毀殲概率平均值作為Monte Carlo法的計(jì)算結(jié)果。為了提高計(jì)算效率，可以一次生成n×106個方差等于弱相關(guān)誤差方差的白噪聲，每次模擬從中選取n個。

算例1在初始配置基礎(chǔ)上改變rx，得到毀殲概率與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系如圖2所示。

從圖2中可以看出，本文遞推法與Monte Carlo法所得曲線幾乎已經(jīng)重合，從仿真角度佐證了遞推法的正確性?？梢娬`差平均法、相關(guān)系數(shù)最小二乘法計(jì)算結(jié)果偏大。4種算法在rx=1(相當(dāng)于強(qiáng)相關(guān)誤差)時結(jié)果一致；在rx=0(相當(dāng)于不相關(guān)誤差)時相差最大，本算例中毀殲概率結(jié)果差超過20%.

算例2設(shè)置身管數(shù)量p=1，重復(fù)算例1，得到結(jié)果如圖3所示。

綜合算例1和算例2可以看出，誤差平均法和相關(guān)系數(shù)最小二乘法對于單身管高炮計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確，但是仍與遞推法有差距。分析原因可以發(fā)現(xiàn)，誤差平均法和相關(guān)系數(shù)最小二乘法的計(jì)算結(jié)果有兩部分誤差：一是對弱相關(guān)誤差進(jìn)行近似分解產(chǎn)生的誤差；二是將分解后的誤差分量分別與不相關(guān)誤差、強(qiáng)相關(guān)誤差合并產(chǎn)生的誤差。對于單身管武器系統(tǒng)而言，這兩種方法都只有近似分解的誤差，在合并部分不產(chǎn)生新的誤差。但是對于多身管高炮而言，這兩部分計(jì)算誤差是同時存在的，弱相關(guān)誤差近似分解后的不相關(guān)部分在同一時刻對于不同身管仍是相同的，而不相關(guān)誤差在同一時刻對不同身管是獨(dú)立的，相加合并的處理方式增加了不相關(guān)誤差的比重，使毀殲概率結(jié)果偏大。

算例3在初始配置基礎(chǔ)上設(shè)置p×n=24，改變p和n的值，得到毀殲概率與身管數(shù)量的關(guān)系如圖4所示。

從圖4中可以看出，誤差平均法、相關(guān)系數(shù)最小二乘法和遞推法的計(jì)算結(jié)果存在差異，且這種差異隨著身管數(shù)量的增加而擴(kuò)大。在用彈量一定情況下，高炮武器系統(tǒng)的毀殲概率隨著身管數(shù)量的增加而下降，由于單身管射擊頻率一定，完成相同用彈量的用時減少，對特定的作戰(zhàn)任務(wù)而言，通常要求在保證毀殲概率的前提下用時越短越好，因此武器系統(tǒng)身管數(shù)量的確定是毀殲概率和完成任務(wù)時間的綜合權(quán)衡。

為了突出弱相關(guān)誤差這一影響計(jì)算復(fù)雜度的主要因素，本文算例均忽略了系統(tǒng)均值、強(qiáng)相關(guān)誤差和不相關(guān)誤差。從計(jì)算結(jié)果可以看到，現(xiàn)有計(jì)算模型進(jìn)行弱相關(guān)誤差分解是有明顯近似的，且這種近似是不可忽略的。

5 結(jié)論

本文建立了弱相關(guān)射擊誤差的隨機(jī)狀態(tài)方程，為利用現(xiàn)代控制理論解決射擊學(xué)問題創(chuàng)造了條件；構(gòu)造了連續(xù)脫靶條件下弱相關(guān)誤差的概率密度函數(shù)，推導(dǎo)了命中概率的遞推計(jì)算模型；采用0-1毀傷定律推導(dǎo)了毀殲概率的計(jì)算模型，其結(jié)果是精確的，可以作為現(xiàn)有計(jì)算模型的評價基準(zhǔn)，亦可以擴(kuò)展到指數(shù)毀傷定律和坐標(biāo)毀傷定律；通過算例和現(xiàn)有毀傷概率計(jì)算方法進(jìn)行了比較，說明包括國家軍用標(biāo)準(zhǔn)在內(nèi)的誤差模型轉(zhuǎn)換法均有明顯偏差。

需要特別指出的是，本文給出的遞推法正確性是在射擊學(xué)基本假定前提下用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)演繹所保證的，而非與Monte Carlo法一致性證明的，算例中本文方法與Monte Carlo法的高度一致只是本文方法正確性的一個佐證。事實(shí)上，在缺乏具有統(tǒng)計(jì)意義的實(shí)際射擊結(jié)果的大前提下，由數(shù)學(xué)演繹保證正確性的本文方法是評價其他方法的基準(zhǔn)。

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