歸納推理 深度學(xué)習(xí)

翟運勝

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版四下第96至97頁“多邊形的內(nèi)角和”。

【教學(xué)目標(biāo)】

1. 使學(xué)生通過觀察、操作、計算、推理等方式探索多邊形的內(nèi)角和，發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和與多邊形邊數(shù)之間的關(guān)系，抽象概括出計算多邊形內(nèi)角和的一般方法。

2. 經(jīng)歷探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，積累探索規(guī)律的活動經(jīng)驗，感悟類比、歸納、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、模型等數(shù)學(xué)思想，初步形成問題意識、探究意識和創(chuàng)新意識，體驗成功的喜悅，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

【教學(xué)重難點】

引導(dǎo)學(xué)生將多邊形轉(zhuǎn)化成若干個三角形，發(fā)現(xiàn)分成的三角形的內(nèi)角和就是多邊形的內(nèi)角和，并能用數(shù)學(xué)模型表示。

【教學(xué)過程】

一、特殊到一般，誘發(fā)猜想

1. 依次出示一條線段、兩條線段，首尾連接，不能圍成一個封閉圖形，再出示一條線段，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)至少要有三條線段首尾連接才能圍成一個封閉圖形。

2. 出示一個三角形。

師：三角形有3條邊，有3個角，三角形3個角的度數(shù)和叫作三角形的內(nèi)角和。我們知道三角形的內(nèi)角和是180°，如果是一個四邊形呢？

3. 出示一個長方形與一個正方形。

師：它們的每個內(nèi)角都是90°，它們的內(nèi)角和是90°×4=360°。長方形與正方形是特殊的四邊形，根據(jù)這些，你能提出怎樣的猜想呢？

預(yù)設(shè)：是不是任意一種四邊形的內(nèi)角和都是360°呢？

設(shè)計意圖：這是一節(jié)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理歸納提升數(shù)學(xué)思維的綜合實踐課，在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識了三角形的內(nèi)角和是180°，了解了多邊形的基本特征。教學(xué)中由三角形的內(nèi)角和以及長方形與正方形的內(nèi)角和引發(fā)對于四邊形內(nèi)角和的猜想，勾起學(xué)生的探究欲望，為后續(xù)探究學(xué)習(xí)做好心理鋪墊。

二、自主探究，建立模型

1. 出示一個四邊形。

師：這是一個一般四邊形，你能自己想辦法求出四邊形的內(nèi)角和嗎？

教師組織學(xué)生在課堂探究單上嘗試畫圖操作。

預(yù)設(shè)1：從一個頂點引出1條對角線，可以把四邊形分成2個三角形。

預(yù)設(shè)2：受探究三角形內(nèi)角和的正遷移，學(xué)生可能會把四邊形的四個角撕下來拼在一起。

組織學(xué)生比較兩種方法，哪種方法更方便快速。學(xué)生選擇畫對角線，可以把四邊形分成2個三角形，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個三角形的內(nèi)角就是四邊形的內(nèi)角和。

2. 師：五邊形的內(nèi)角和是多少度？六邊形呢？你能自己想辦法求出它們的內(nèi)角和嗎？

預(yù)設(shè)：學(xué)生受上述方法的啟發(fā)，遷移類推：從一個頂點引出2條（3條）對角線，把五邊形（六邊形）分成3個（4個）三角形。從而推理出五邊形的內(nèi)角和就是180°×3=540°，六邊形的內(nèi)角和就是180°×4=720°。

教師同步展示課件。

3. 師：如果邊數(shù)再多一些，它的內(nèi)角和是多少度呢？

引導(dǎo)學(xué)生列表探究，把下表填寫完整：如果是七邊形呢？從一個頂點引出幾條對角線呢？分成的三角形個數(shù)是多少呢？內(nèi)角和是多少呢……

學(xué)生獨立思考，小組討論后回答結(jié)果。

設(shè)計意圖：學(xué)生要成為學(xué)習(xí)的主體而不是被動的知識接收器，就得有“活動”的機(jī)會，有“親身經(jīng)歷”（用自己的身體、頭腦和心靈去模擬、簡約地經(jīng)歷）知識的發(fā)現(xiàn)（發(fā)明）、形成、發(fā)展過程的機(jī)會。在這個環(huán)節(jié)中教師引導(dǎo)學(xué)生運用把一個多邊形拆分成若干個三角形的方法依次找到五邊形、六邊形的內(nèi)角和，然后借助列表推理研究，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)據(jù)中歸納出數(shù)學(xué)規(guī)律，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，感悟抽象、推理、建模等數(shù)學(xué)思想。

三、深入思考，理解實質(zhì)

1. 師：經(jīng)歷了這個結(jié)論的推導(dǎo)過程，你有什么問題要提出嗎？

預(yù)設(shè)：為什么多邊形從一個頂點出發(fā)，引出對角線的條數(shù)是“邊數(shù)-3”呢？

預(yù)設(shè)：以一個六邊形為例，六邊形就是6個頂點，只從一個頂點出發(fā)，不能向相鄰的兩個點引出對角線，再去掉自己本身這個點，可以連出（邊數(shù)-3）條對角線，這樣就把多邊形分成了（邊數(shù)-3+1）個三角形，也就是（邊數(shù)-2）個三角形，因此多邊形的內(nèi)角和就是180°×（邊數(shù)-2）。

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生反思推導(dǎo)的過程并提出問題，培養(yǎng)問題意識，借助六邊形來說明為什么引出對角線的條數(shù)是“邊數(shù)-3”，把學(xué)生的思維引向深入，思考規(guī)律背后的原因。

2. 回想整個規(guī)律的得出過程，你有什么收獲？

根據(jù)學(xué)生的回答總結(jié)得出“猜想——驗證——歸納——反思”。

四、深化新知，拓展思維

1. 運用乘法分配律引出多邊形的內(nèi)角和的另一種表達(dá)方式：

多邊形的內(nèi)角和=180°×（邊數(shù)-2）

=180°×邊數(shù)-180°×2

=180°×邊數(shù)-360°

師：這個推理出來的結(jié)論對不對呢？我們可以用一個多邊形來說明問題，你能看圖說一說嗎？（圖1）

預(yù)設(shè)：這是一個四邊形，在四邊形內(nèi)任意點上一點，每個頂點與這個點都連起來，這樣就把這個四邊形分成了4個三角形，這4個三角形的內(nèi)角和就是180°×4，不過在這4個三角形中，有這樣4個角是不屬于多邊形內(nèi)角和，這4個角合在一起就是360°，所以再去掉360°，也能求出這個多邊形的內(nèi)角和。

2. 師：多邊形的內(nèi)角和還可以寫成這種形式，多邊形的內(nèi)角和=180°×（邊數(shù)-1）-180°，你能借助這個五邊形說明這種形式也是正確的嗎？（圖2）

設(shè)計意圖：運用乘法分配律，使學(xué)生得到公式的另外兩種形式，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合說明這兩種結(jié)論的正確性，殊途同歸，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新意識，從不同的角度再次驗證結(jié)論，開掘思維的深刻性。

五、應(yīng)用研究，拓展延伸

1. 工人師傅用地磚鋪地，我們會看到形狀為正三角形的地磚（正三邊形），正方形的地磚（正四邊形），正六邊形的地磚，那么有沒有正五邊形的地磚呢？

思考：地磚可不可以是正五邊形的呢？我們現(xiàn)在把幾塊正五邊形鋪在一起，發(fā)現(xiàn)沒有鋪滿，這是怎么回事呢？

學(xué)生小組討論后回答，預(yù)設(shè)：原來正五邊形的內(nèi)角和是180°×（5-2）=540°，正五邊形的每個角的度數(shù)都是一樣的，540°÷5=108°，360°-108°×3=36°，還會留下一個36°的缺口。這就是沒有正五邊形地磚的原因。（圖4）

師：正三角形、正方形和正六邊形，為什么可以鋪滿呢？你能自己說一說其中的原因嗎？（圖3）

設(shè)計意圖：應(yīng)用多邊形內(nèi)角和的結(jié)論，解決正五邊形不能密鋪的問題，使學(xué)生通過觀察計算驗證，培養(yǎng)應(yīng)用意識，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)方洲小學(xué) 責(zé)任編輯：王彬）