復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)

萬(wàn)良琪，陳洪轉(zhuǎn)，歐陽(yáng)林寒，張 笛

(南京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇 南京 211106)

0 引言

作為一種技術(shù)密集度高的精密產(chǎn)品，復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品被廣泛應(yīng)用于航空航天、武器系統(tǒng)、微機(jī)電系統(tǒng)、航空母艦等領(lǐng)域[1]。在實(shí)際工程應(yīng)用中，復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品性能的穩(wěn)定性往往受內(nèi)部設(shè)計(jì)參數(shù)和外部噪聲因素的不確定性的影響，使其在高尖端領(lǐng)域出現(xiàn)質(zhì)量損失、制造成本過(guò)高及性能穩(wěn)健難以實(shí)現(xiàn)等實(shí)際工程難題，迫切需要開(kāi)展在設(shè)計(jì)參數(shù)不確定性情形下的復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究，以獲取真正可用于高尖端領(lǐng)域、具備穩(wěn)健最優(yōu)的復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品。

穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)在不消除不確定性源的前提下，通過(guò)降低產(chǎn)品性能對(duì)不確定性設(shè)計(jì)參數(shù)的敏感性，來(lái)增強(qiáng)產(chǎn)品性能的抗干擾性，其有效性已在車(chē)輛工程、航空航天等領(lǐng)域得到了驗(yàn)證。現(xiàn)有復(fù)雜裝備相關(guān)的研究主要集中在系統(tǒng)可靠性設(shè)計(jì)、可靠性預(yù)測(cè)、結(jié)構(gòu)可靠性靈敏度分析上。文獻(xiàn)[2]針對(duì)復(fù)雜裝備多階段小樣本貧信息情形下的可靠性預(yù)測(cè)問(wèn)題，采用部分逆轉(zhuǎn)累計(jì)灰色Verhulst模型對(duì)復(fù)雜裝備的可靠性增長(zhǎng)進(jìn)行了有效的預(yù)測(cè)和監(jiān)控；文獻(xiàn)[3]提出復(fù)雜裝備可靠性增長(zhǎng)Stanford B-AMSAA模型，對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行了可靠性預(yù)測(cè)和估計(jì)；文獻(xiàn)[4]提出一種多目標(biāo)加權(quán)灰靶可靠性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)模型，解決了復(fù)雜裝備產(chǎn)品可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化與算法難題；文獻(xiàn)[5-6]基于可靠性設(shè)計(jì)、可靠性靈敏度分析方法與穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法對(duì)復(fù)雜汽車(chē)零部件進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，并采用車(chē)軸作為研究實(shí)例驗(yàn)證了方法的有效性；文獻(xiàn)[7]對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行可靠性設(shè)計(jì)，并采用復(fù)雜水平鉆井失效數(shù)據(jù)驗(yàn)證了復(fù)雜系統(tǒng)可靠性方法的有效性。目前，只有較少文獻(xiàn)對(duì)柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品不確定性情形下的性能穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究，根本原因在于柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品性能與不確定性設(shè)計(jì)參數(shù)之間的復(fù)雜非線(xiàn)性隱式函數(shù)關(guān)系難以通過(guò)理論推導(dǎo)獲得，一般用大規(guī)模有限元數(shù)值模擬獲取給定設(shè)計(jì)空間下的性能響應(yīng)值來(lái)構(gòu)建代理模型，而且在穩(wěn)健設(shè)優(yōu)化計(jì)過(guò)程中要進(jìn)行大量不確定性分析，更增加了這一工程難題的復(fù)雜性。

建立Kriging[8-9]代理模型、徑向基函數(shù)(Radial Basis Function，RBF)代理模型[10-11]、響應(yīng)曲面法(Response Surface Methodology，RSM)代理模型[12]與支持向量機(jī)回歸(Support Vector Regression，SVR)代理模型[13]是處理不確定性設(shè)計(jì)參數(shù)與性能響應(yīng)之間的復(fù)雜非線(xiàn)性函數(shù)關(guān)系，減少優(yōu)化求解過(guò)程中大規(guī)模數(shù)值模擬計(jì)算難題，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)的有效途徑。然而，上述代理模型方法對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)敏感的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品高度隨機(jī)非線(xiàn)性的適用性不強(qiáng)。因此，本文提出一種設(shè)計(jì)參數(shù)不確定情形下的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)新方法，與現(xiàn)有穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法相比，該方法將多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展代理模型引入穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法中，解決了穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型中設(shè)計(jì)參數(shù)不確定性情形下的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品性能質(zhì)量波動(dòng)、求解效率優(yōu)化等難題。

1 柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品的放大倍數(shù)性能波動(dòng)分析

柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品是一種用新型機(jī)構(gòu)(柔順機(jī)構(gòu))的彈性形變來(lái)傳遞、轉(zhuǎn)化能量的新型精密機(jī)械產(chǎn)品[14]。柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品在高尖端領(lǐng)域的重要作用之一，是通過(guò)柔性形變來(lái)放大輸入微位移。典型的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品機(jī)構(gòu)如圖1所示，其工作原理是通過(guò)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器在機(jī)構(gòu)輸入端產(chǎn)生位移載荷來(lái)得到輸出位移。

由于柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)高度對(duì)稱(chēng)，選取四分之一的結(jié)構(gòu)來(lái)分析其輸出位移放大原理。當(dāng)對(duì)機(jī)構(gòu)施加一個(gè)水平方向的位移載荷Δx時(shí)，在其垂直的方向會(huì)產(chǎn)生一個(gè)向上的輸出位移Δy，同時(shí)柔性桿CB的傾斜角度從α減少到α′，其運(yùn)動(dòng)示意圖如圖2所示。

根據(jù)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系可以得到：

(1)

式中：y1為C點(diǎn)到B點(diǎn)的垂直距離；y2為C′點(diǎn)到B′點(diǎn)的垂直距離；lx為C點(diǎn)到B點(diǎn)的水平距離；l為柔順桿CB的長(zhǎng)度。

令x=0，得到

(2)

由式(1)和式(2)可得柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品機(jī)構(gòu)的放大倍數(shù)

(3)

上述柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品機(jī)構(gòu)在實(shí)際工程應(yīng)用過(guò)程中，由于受外界噪聲因素(外界載荷、加工誤差、機(jī)械振動(dòng)、環(huán)境溫度、環(huán)境濕度)的影響，其結(jié)構(gòu)參數(shù)高度隨機(jī)不確定。結(jié)構(gòu)參數(shù)的微小波動(dòng)即可引起柔順機(jī)構(gòu)復(fù)雜裝備產(chǎn)品性能響應(yīng)(放大倍數(shù))產(chǎn)生顯著的質(zhì)量波動(dòng)，進(jìn)而影響其性能響應(yīng)在高尖端領(lǐng)域的穩(wěn)健實(shí)現(xiàn)。這種結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)不確定性對(duì)柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品的影響尤為顯著。因此，有必要針對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)不確定情形下的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品性能(放大倍數(shù))進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2 構(gòu)建柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展代理模型

多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展法是一種有效描述和量化隨機(jī)不確定性的新方法[15]。由于柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)不是傳統(tǒng)剛體運(yùn)動(dòng)，其傳遞運(yùn)動(dòng)的影響因素較多且較復(fù)雜，難以通過(guò)理論推導(dǎo)獲取輸出響應(yīng)和輸入設(shè)計(jì)變量之間的顯式函數(shù)關(guān)系，而且在優(yōu)化求解過(guò)程中需要進(jìn)行大規(guī)模有限元數(shù)值模擬來(lái)獲取目標(biāo)響應(yīng)值(放大倍數(shù))和約束響應(yīng)值(最大等效應(yīng)力)。因此，本文采用多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展代理模型描述目標(biāo)響應(yīng)、約束響應(yīng)與不確定性設(shè)計(jì)變量之間的隨機(jī)復(fù)雜非線(xiàn)性隱式函數(shù)關(guān)系。

由第1章結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性情形下的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品放大倍數(shù)質(zhì)量波動(dòng)分析，結(jié)合多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展的適用條件，同時(shí)依據(jù)工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)及相關(guān)研究文獻(xiàn)[16]，本文做出如下假設(shè)：

(1)柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)x=[x1,x2,…,xn]在設(shè)計(jì)空間內(nèi)服從高斯分布。

(2)輸入不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)x=[x1,x2,…,xn]之間相互獨(dú)立。

根據(jù)上述假設(shè)，考慮柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品實(shí)際工程應(yīng)用中的復(fù)雜程度，對(duì)于所構(gòu)建模型精度的逼近要求，選擇不高于P階次的多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展模型，其響應(yīng)Y(x)近似模型可表達(dá)為

(4)

式中：bi為多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展系數(shù)；ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn)為n維隨機(jī)設(shè)計(jì)變量，ψi(ξ)為以隨機(jī)變量ξ為參量的多維正交多項(xiàng)式；P為多項(xiàng)式混沌近似模型的項(xiàng)數(shù)，

(5)

構(gòu)建柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品目標(biāo)響應(yīng)多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展代理模型的前提是完成如下3方面工作：

(1)隨機(jī)不確定性設(shè)計(jì)變量的線(xiàn)性變換

為了描述設(shè)計(jì)參數(shù)的不確定性，可根據(jù)式(6)將輸入不確定性設(shè)計(jì)變量x=[x1,x2,…,xn]轉(zhuǎn)化為均值為0、方差為1的高斯分布隨機(jī)變量。

(6)

式中：μxi為設(shè)計(jì)變量xi的數(shù)學(xué)期望；σ2(xi)為設(shè)計(jì)變量xi的方差。

(2)多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展正交多項(xiàng)式基底

根據(jù)工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)及多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展代理模型假設(shè)可知，按照輸入設(shè)計(jì)變量不同類(lèi)型分布情形下的混沌多項(xiàng)式擴(kuò)展基底選擇，如表1所示。

表1 常用隨機(jī)變量分布類(lèi)型及轉(zhuǎn)換關(guān)系

依據(jù)上文可知，柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)服從高斯分布，因此選取Hermite多項(xiàng)式作為多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展的基底。由于柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品存在多維不確定性設(shè)計(jì)變量，根據(jù)文獻(xiàn)[17-19]構(gòu)建如下多維Hermite多項(xiàng)式

(7)

當(dāng)p分別為1，2，3階次時(shí)，Γp(ξi1,…,ξip)的表達(dá)式分別為：

Γ1(ξi1)=ξi1；

(8)

(9)

(10)

將式(7)代入式(4)，將高斯隨機(jī)響應(yīng)展開(kāi)可得

(11)

式中：系數(shù)bi與系數(shù)ai1,…,aip對(duì)應(yīng)；ψi(ξ)與多項(xiàng)式函數(shù)Γp(ξi1,…,ξip)對(duì)應(yīng)。

(3)多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展系數(shù)求解

多項(xiàng)式混沌系數(shù)的確定對(duì)柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品性能響應(yīng)的預(yù)測(cè)精度有重要作用。通常，確定多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展系數(shù)有嵌入式和非嵌入式兩種方法[20-22]。嵌入式在多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展系數(shù)的計(jì)算過(guò)程中需要調(diào)整和改進(jìn)原始模型，增加了系數(shù)求解的復(fù)雜度，非嵌入式則不需要。因此，本文采用非嵌入式方法來(lái)確定多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展系數(shù)。

(4)多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展代理模型精度檢驗(yàn)

(12)

本文采用平方和根SSR表示多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展代理模型的整體誤差：

(13)

采用相對(duì)平方和根RSSR判斷所構(gòu)建的代理模型的精度是否達(dá)到要求：

(14)

平方和根SSR與相對(duì)平方和根RSSR的值越小，所構(gòu)建的多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展代理模型的精度越高。

3 基于多項(xiàng)式沌混擴(kuò)展6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 建立柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

在實(shí)際工程應(yīng)用中，柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品的設(shè)計(jì)參數(shù)在復(fù)雜工況下往往具有一定波動(dòng)性和統(tǒng)計(jì)分散性，容易導(dǎo)致設(shè)計(jì)參數(shù)不確定。在設(shè)計(jì)階段因?yàn)楹雎粤送饨缭肼晭?lái)的不確定性使設(shè)計(jì)變量產(chǎn)生波動(dòng)，而且優(yōu)化目標(biāo)響應(yīng)僅考慮響應(yīng)目標(biāo)的均值而不包括方差，所以傳統(tǒng)確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)方案常具有波動(dòng)性。

在完成構(gòu)建柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品目標(biāo)響應(yīng)多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展代理模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)建模思路[23-24]，建立如下柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展的6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型：

k=1,2,…,p。

s.t.

gj(ξ)=μgj(ξ)+6σgj(ξ)≤0,j=1,2,…,m;

(15)

式中：i為設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)；k為目標(biāo)響應(yīng)的個(gè)數(shù)；j為約束響應(yīng)的個(gè)數(shù)；μfi為各個(gè)響應(yīng)變量的均值；σfi為各個(gè)響應(yīng)變量的方差；Mi為期望達(dá)到的平均性能目標(biāo)；ω1i與ω2i分別為不同目標(biāo)響應(yīng)均值和方差的權(quán)重系數(shù)；s1i與s2i分別為不同目標(biāo)響應(yīng)均值和方差的歸一化系數(shù)。

求解柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展的6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，需要對(duì)模型中的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的均值與方差參數(shù)進(jìn)行估計(jì)：

(16)

(17)

3.2 構(gòu)造復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

本文結(jié)合多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展代理模型與6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型來(lái)解決設(shè)計(jì)參數(shù)不確定性情形下的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品性能穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)難題?；玖鞒倘鐖D3所示，具體步驟如下：

步驟1根據(jù)柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品性能設(shè)計(jì)要求，選取輸入不確定性設(shè)計(jì)變量，并確定其取值空間及分布類(lèi)型。

步驟2采用隨機(jī)響應(yīng)曲面法安排試驗(yàn)設(shè)計(jì)組合表，根據(jù)有限元數(shù)值模擬分析獲取各試驗(yàn)設(shè)計(jì)組合對(duì)應(yīng)的輸出目標(biāo)響應(yīng)及約束響應(yīng)函數(shù)值。

步驟3依據(jù)多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展代理模型的構(gòu)建思路建立柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品目標(biāo)響應(yīng)及約束響應(yīng)的多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展代理模型。

步驟4通過(guò)平方根和及相對(duì)平方根和對(duì)所構(gòu)建的多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展代理模型進(jìn)行精度檢驗(yàn)，若模型精度未通過(guò)檢驗(yàn)，則重新安排試驗(yàn)設(shè)計(jì)，直至滿(mǎn)足精度要求為止。

步驟5在滿(mǎn)足精度檢驗(yàn)的多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展代理模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，建立柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，并估計(jì)其目標(biāo)響應(yīng)和約束響應(yīng)的均值與方差。

步驟6基于改進(jìn)的非支配排序遺傳算法(Non-dominated Sorting Genetic AlgorithmⅡ，NSGAⅡ)對(duì)所構(gòu)建的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的均值與方差進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化求解，獲取最優(yōu)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。

4 案例研究

4.1 柔順微操作平臺(tái)放大倍數(shù)性能波動(dòng)分析

本文選取柔順微操作平臺(tái)作為柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品進(jìn)行研究，其結(jié)構(gòu)如圖4所示。該平臺(tái)采用差動(dòng)式杠桿放大原理，利用位移放大機(jī)構(gòu)對(duì)輸入端微位移進(jìn)行放大來(lái)實(shí)現(xiàn)微操作平臺(tái)的大行程，其設(shè)計(jì)原理如圖5所示。根據(jù)杠桿原理及平臺(tái)設(shè)計(jì)機(jī)理可推導(dǎo)出柔順微操作平臺(tái)放大倍數(shù)與各結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系[25]：

(18)

將相應(yīng)柔順微操作平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式(18)，可得柔順微操作平臺(tái)放大倍數(shù)與各結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系表達(dá)式：

(19)

式中：t，r表示直圓型柔性鉸鏈厚度和半徑；L表示桿件度Ⅱ，Ⅲ的長(zhǎng)度；LH表示直角柔性鉸鏈H的長(zhǎng)度；yO為輸入位移；yI為輸出位移。

根據(jù)大量相關(guān)柔順機(jī)構(gòu)實(shí)際工程研究實(shí)踐表明，柔順微操作平臺(tái)在實(shí)際不確定性復(fù)雜工況情形下，受外界載荷、機(jī)械振動(dòng)、環(huán)境溫度、環(huán)境濕度、加工誤差等噪聲因素的影響，導(dǎo)致其結(jié)構(gòu)參數(shù)疲勞退化，呈現(xiàn)不確定狀態(tài)，進(jìn)而引起其放大倍數(shù)的波動(dòng)。為了實(shí)現(xiàn)其微位移的放大倍數(shù)在復(fù)雜裝備上穩(wěn)健可靠，本文基于所提出的多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)新方法來(lái)解決這一工程難題。

4.2 柔順微操作平臺(tái)隨機(jī)響應(yīng)曲面試驗(yàn)設(shè)計(jì)組合構(gòu)建及有限元數(shù)值模擬計(jì)算

根據(jù)復(fù)雜裝備中柔順微操作平臺(tái)的實(shí)際工程要求，確定其不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值范圍及分布類(lèi)型，如表2所示。

表2 隨機(jī)輸入結(jié)構(gòu)參數(shù)特性 mm

從減少有限元數(shù)值模擬成本并保證計(jì)算精度的角度出發(fā)，在設(shè)計(jì)空間內(nèi)選取多項(xiàng)式混沌展開(kāi)系數(shù)項(xiàng)的兩倍樣本數(shù)足以滿(mǎn)足計(jì)算精度的要求。因此，根據(jù)式(6)，結(jié)合隨機(jī)響應(yīng)曲面法的蒙特卡羅抽樣方式，在給定均值和方差下進(jìn)行隨機(jī)抽樣。本文隨機(jī)抽取30個(gè)試驗(yàn)設(shè)計(jì)組合方案，基于有限元數(shù)值模擬分析平臺(tái)Ansys workbench，對(duì)隨機(jī)抽取的30個(gè)試驗(yàn)設(shè)計(jì)組合方案進(jìn)行最大等效模擬仿真，獲取最大等效應(yīng)力約束響應(yīng)值，并通過(guò)理論推導(dǎo)公式獲取放大倍數(shù)目標(biāo)響應(yīng)值。平臺(tái)的輸入結(jié)構(gòu)參數(shù)、輸出目標(biāo)響應(yīng)和約束響應(yīng)的隨機(jī)響應(yīng)面試驗(yàn)設(shè)計(jì)組合方案模擬結(jié)果如表3所示。

表3 隨機(jī)響應(yīng)面試驗(yàn)設(shè)計(jì)組合方案數(shù)值模擬結(jié)果

4.3 柔順微操作平臺(tái)多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)建模

0.014 8ξLξt-0.003 49ξLHξr+0.001 23ξLHξt-

0.000 833ξrξt;

(20)

δmax(ξ)=10.6-0.022 9ξL-0.042 7ξLH+

0.020 1ξLξLH+0.001 07ξLξr+0.020 8ξLξt-

0.094 8ξLHξr+0.046 7ξLHξ-0.018 4ξrξt。(21)

采用式(12)～式(14)對(duì)所構(gòu)建的代理模型進(jìn)行精度檢驗(yàn)。通過(guò)計(jì)算可得目標(biāo)響應(yīng)(放大倍數(shù))平方和根SSR=0.257 1，相對(duì)平方和根RSSR=0.035 7；約束響應(yīng)(最大等效應(yīng)力)平方和根SSR=0.691 1，相對(duì)平方和根RSSR=0.057 4。相對(duì)平方和根小于0.05則認(rèn)為模型精度滿(mǎn)足要求，因此本文所構(gòu)建的多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展代理模型可替代真實(shí)模型。

在完成柔順微操作平臺(tái)性能響應(yīng)多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展模型構(gòu)建的基礎(chǔ)上，本文以柔順微操作平臺(tái)位移放大倍數(shù)多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展模型為穩(wěn)健設(shè)計(jì)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)、最大等效應(yīng)力多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展模型為優(yōu)化約束函數(shù)、平臺(tái)不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，根據(jù)式(19)建立柔順微操作平臺(tái)多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型如下：

s.t.

δmax(ξ)=μ[δmax(ξ)]+6σ[δmax(ξ)]≤δ

Ll+6σ[L]≤ξL≤Lu-6σ[L]；

rl+6σ[r]≤ξr≤ru-6σ[r]；

tl+6σ[t]≤ξt≤tu-6σ[t]。

(22)

為了驗(yàn)證本文提出的基于多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展的6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性，建立傳統(tǒng)確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)模型進(jìn)行對(duì)比：

s.t.

δmax(ξ)≤δ；

Ll≤ξL≤Lu；

rl≤ξr≤ru；

tl≤ξt≤tu。

(23)

4.4 柔順微操作平臺(tái)性能放大倍數(shù)穩(wěn)健優(yōu)化求解及結(jié)果對(duì)比分析

本文基于Isight多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)平臺(tái)，采用NSGA-Ⅱ算法對(duì)式(22)和式(23)所示的兩種優(yōu)化設(shè)計(jì)模型進(jìn)行求解，并對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行穩(wěn)健可靠性校核對(duì)比分析，如表4～表6所示。

表4 多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)確定優(yōu)化設(shè)計(jì)方案穩(wěn)健性對(duì)比

表5 確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果方案校核

表6 穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果方案校核

綜合分析表4可知，基于多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)的各個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)的質(zhì)量水平都達(dá)到了8σ水平，其可靠度均達(dá)到了100%；然而，基于傳統(tǒng)確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)得出各結(jié)構(gòu)參數(shù)的質(zhì)量水平大部分不足1σ水平，可靠度均處于相對(duì)較低的狀態(tài)，僅接近50%。表明傳統(tǒng)確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)方案通常處于約束邊界，設(shè)計(jì)參數(shù)稍有波動(dòng)，就會(huì)導(dǎo)致平臺(tái)性能放大倍數(shù)產(chǎn)生波動(dòng)。本文提出的多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)，在考慮各結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)不確定性分布類(lèi)型的基礎(chǔ)上進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化，使穩(wěn)健優(yōu)化方案比傳統(tǒng)確定性?xún)?yōu)化方案更穩(wěn)健。

綜合分析表5與表6可知，基于本文所提方法的柔順微操作平臺(tái)的放大倍數(shù)為11.175 7倍，相比傳統(tǒng)確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)得出的13.012 5倍，兩者優(yōu)化效果相差不大。但傳統(tǒng)確定性?xún)?yōu)化后的放大倍數(shù)質(zhì)量水平僅為2.701 1σ，未達(dá)到3σ標(biāo)準(zhǔn)，而穩(wěn)健優(yōu)化后的放大倍數(shù)質(zhì)量水平為3.628 3σ；另一方面，傳統(tǒng)確定性?xún)?yōu)化后的最大等效應(yīng)力為34.000 0 Mpa，穩(wěn)健優(yōu)化后的最大等效應(yīng)力為30.573 2 Mpa，表明穩(wěn)健優(yōu)化后的應(yīng)力值得到降低，減小了機(jī)構(gòu)發(fā)生失效的概率。從質(zhì)量水平也可反映出，穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)的最大等效應(yīng)力為7.956 4σ，而確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)不足1σ。

從放大倍數(shù)和最大等效應(yīng)力的方差分析也反映出，基于本文提出的多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果的方差比傳統(tǒng)確定性?xún)?yōu)化結(jié)果的方差小得多。穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)后的放大倍數(shù)和最大等效應(yīng)力分別為0.159 9，0.372 3；而傳統(tǒng)確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)的方差分別為1.110 8，2.075 2。方差值越小，表示波動(dòng)性越小，因此本文穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果相比傳統(tǒng)確定性?xún)?yōu)化結(jié)果更穩(wěn)健。

由多學(xué)科優(yōu)化平臺(tái)Isight后處理，可得本文方法和傳統(tǒng)確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)響應(yīng)放大倍數(shù)與約束響應(yīng)最大等效應(yīng)力的概率分布密度對(duì)比，如圖6和圖7所示。

綜合分析圖6和圖7可知，相比傳統(tǒng)確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果，基于多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)得出的柔順微操作平臺(tái)的最大等效應(yīng)力和放大倍數(shù)概率密度曲線(xiàn)“瘦小”，表明穩(wěn)健優(yōu)化后的方差變小，即性能波動(dòng)降低，其對(duì)外界的抗干擾能力得到了提升。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)不確定性情形下的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品性能波動(dòng)、優(yōu)化求解效率低下等工程難題，提出多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，得出以下結(jié)論：

(1)針對(duì)高維隨機(jī)不確定性設(shè)計(jì)空間下，目標(biāo)響應(yīng)、約束響應(yīng)與不確定性設(shè)計(jì)變量之間存在復(fù)雜的非線(xiàn)性隱式關(guān)系問(wèn)題，采用多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展進(jìn)行逼近，構(gòu)建了柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品目標(biāo)響應(yīng)和約束響應(yīng)不確定性代理模型。提高了模型求解效率，解決了目標(biāo)響應(yīng)與不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的不確定性描述和量化難題。

(2)在多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展不確定性代理模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)建模思路，建立了柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，并獲得了穩(wěn)健最優(yōu)設(shè)計(jì)方案，為不確定性情形下柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品性能的穩(wěn)健設(shè)計(jì)提拱了一種有效的途徑。

(3)柔順微操作平臺(tái)放大倍數(shù)性能穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方案的實(shí)例研究表明，本文提出的多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，不僅使平臺(tái)放大倍數(shù)放大性能得到提升，還增強(qiáng)了其對(duì)外界噪聲因素的抗干擾性。

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