基于工位復雜性測度的隨機型裝配線平衡優(yōu)化

劉雪梅，陳佳煒，蘭琳琳，范國良，李愛平

(同濟大學 機械與能源工程學院，上海 201804)

0 引言

隨著制造系統(tǒng)向柔性化、智能化方向發(fā)展，制造系統(tǒng)逐步演變成復雜大系統(tǒng)，在其運作過程中，大量不確定性因素增加了生產線設計和規(guī)劃的難度。工人技能水平差異、錯誤發(fā)生率和零部件供應不穩(wěn)定等不確定因素，在實際生產中會引起不同程度的偏差，生產線設計規(guī)劃階段若沒有考慮這些不確定因素，則會影響線平衡等決策方案的有效性。因此，需要對系統(tǒng)不確定性進行定量化評價，并應用于生產線規(guī)劃與決策階段，以便為復雜問題提供更現實的解決方案。

裝配線平衡可以保證生產過程連續(xù)、均勻和準時，Scooll[1]將裝配線平衡問題(Assembly Line Balancing Problem, ALBP)分為4類，本文研究第二類ALBP，即給定工位數目，求解可行作業(yè)分配方案，使節(jié)拍時間最短。根據操作時間是否確定，裝配線可以分為確定型裝配線和隨機型裝配線。目前，多數研究均針對確定型ALBP，然而在生產過程中，往往存在一些不確定因素使操作時間波動，導致工位負荷不均、隨機瓶頸工位等問題，使平衡方案的實際效果不理想。相比于確定型裝配線，對操作時間不確定的隨機型裝配線的研究更為復雜，也更符合實際生產，具有現實意義。操作時間不確定的ALBP一般通過操作時間概率分布、模糊時間和仿真等方法進行求解。Nkasu等[2]采用隨機建模的方法，將操作時間設為均勻分布、正態(tài)分布、伽馬分布等各種概率分布集成在改進的阿克斯算法中，然后設計多種優(yōu)化目標組合方式，得到一系列ALBP的解決方案；Hop[3]利用模糊操作時間建立模糊二進制線性平衡模型，由于模糊計算的復雜性，開發(fā)了模糊啟發(fā)法來解決該問題；Cakir等[4]針對含并行工位的隨機型ALBP，以最小化平滑指數和最小化設計成本為目標建立平衡模型，并提出一種改進模擬退火算法求得Pareto最優(yōu)解；Hamta等[5]假設操作時間服從均勻分布，同時針對節(jié)拍最小化和機器總成本最小化兩個目標，利用遺傳算法進行求解。

周亮等[6]將工位操作在節(jié)拍內完成的概率設為工位完工率，以完工率作為約束條件，得到工位負荷均衡的平衡方案；鄧福平[7]以完工率作為約束條件，以各工位空閑時間最少和未完工率最小為優(yōu)化目標進行求解；劉儼后等[8]分析了操作時間的波動性對啟發(fā)式方法和元啟發(fā)式方法的失效影響，提出完工率節(jié)拍的概念，并以完工率節(jié)拍為優(yōu)化目標建立了平衡模型；徐煒達等[9]用連續(xù)區(qū)間參數描述操作時間，采用最小化最大后悔值的魯棒決策準則，建立了裝配線魯棒平衡的數學模型；于兆勤[10]對混合裝配線存在的不確定因素進行分析和仿真，驗證了作業(yè)時間的隨機性會造成各工位的瞬時負荷不均衡，從而使工位的等待率、阻塞率增加，生產率下降。

上述研究的仿真方法較為簡便，但偶然性較大，通常用于驗證或輔助研究。模糊數依賴于隸屬度函數，但是目前隸屬度函數的確立還沒有一套成熟有效的方法，大多停留在經驗和實驗的基礎上。概率分布方法通常采用某種假設的時間分布形式描述隨機操作時間，然而實際的操作時間不一定符合某種分布形式，且不同類型作業(yè)元素所符合的分布形式也不盡相同[11]。為便于描述不同類型作業(yè)元素的操作時間，本文將操作時間分作多個區(qū)間，通過統(tǒng)計各個時間區(qū)間的概率來表示操作時間的分布情況。操作時間的不確定是裝配線各種不確定因素的綜合結果和表現，引起時間波動的不確定因素的背后都隱含著相應的復雜性特征。

作為測度多樣性和不確定性的有效方法，復雜性理論被廣泛應用于衡量生產系統(tǒng)的不確定性。目前，生產系統(tǒng)的復雜性研究主要集中在利用信息論和熵度量等方法對復雜性特征進行分析和測度，代表人物有Frizelle[12]，Efstathiou[13]等。近年來，又有學者將復雜性理論應用在生產線的設計、規(guī)劃過程中。Zhu等[14]研究了復雜產品裝配決策問題，提出裝配規(guī)劃中的防差錯設計方法，降低了裝配系統(tǒng)的復雜性；何非等[15]將裝配系統(tǒng)結構復雜性應用到裝配線動態(tài)平衡問題中，降低了各工位的錯誤發(fā)生率和總完工時間。ALBP中存在大量復雜性特征，其對平衡方案造成干擾、引起偏差，將復雜性測度技術應用到裝配線平衡中能夠提高平衡方案執(zhí)行的有效性。

本文針對隨機型ALBP引入復雜性理論，提出一種降低不確定因素影響的平衡優(yōu)化方法。首先，對工位上各操作時間的分布情況進行描述，提出一種裝配線工位復雜性測度方法；然后建立裝配線平衡模型，在滿足生產率要求的同時，達到均衡各工位實際負荷的目的，并運用遺傳算法對模型進行求解；最后，結合實例對模型和方法的有效性進行檢驗和分析。

1 基于工位復雜性測度的隨機型裝配線平衡模型

1.1 問題描述

作業(yè)元素是裝配過程中不可再分的最小操作單元，其包含的信息主要為操作時間。第二類隨機型ALBP描述為：給定一系列作業(yè)元素及其標準操作時間，作業(yè)元素的操作時間不確定，各項作業(yè)元素之間的優(yōu)先關系已知，在節(jié)拍約束和作業(yè)元素優(yōu)先關系約束下將所有作業(yè)元素分配至給定數目的工位中，以實現各工位負荷均衡。

針對操作時間的不確定性，通常假設操作時間服從某一種分布形式，通過疊加得到工位的時間分布情況。然而，以某一種分布進行擬合時，若干作業(yè)元素并不符合該分布形式，不同作業(yè)元素的擬合優(yōu)度有很大差異[11]。引起操作時間波動的因素是多樣和復雜的，勞動強度率、錯誤發(fā)生率等不確定因素的描述方法往往存在大量假設，很難從這些不確定因素出發(fā)展開裝配線平衡研究。為此，本文從制造系統(tǒng)復雜性理論出發(fā)，量化分析不確定因素對工位作業(yè)時間的影響，進而實現裝配線的動態(tài)平衡。

1.2 基于信息熵的工位復雜性測度

從信息論的角度看，制造系統(tǒng)復雜性指描述制造系統(tǒng)的狀態(tài)預計需要的信息量。復雜性的程度稱為復雜度，復雜度越大，表示該系統(tǒng)狀態(tài)的不確定性和不可預測性越大，理解它需要了解的信息越多[15]。目前，信息熵是研究制造系統(tǒng)復雜性最重要的手段之一，本節(jié)將基于信息熵理論提出一種裝配線工位復雜性測度方法。

若離散隨機變量X有n個可能的取值(x1,x2,…,xn)，且各取值的概率分別為(p1,p2,…,pn)，則X的熵定義為[16]

(1)

根據熵理論可知，系統(tǒng)的熵值越大，描述該系統(tǒng)所需要的信息越多，同時系統(tǒng)狀態(tài)的不確定性和不可預測性越大，系統(tǒng)越不穩(wěn)定。對系統(tǒng)狀態(tài)及狀態(tài)數的認定是復雜性研究的基礎，它取決于研究目的和粒度。對系統(tǒng)的關注點不同會有不同的狀態(tài)和狀態(tài)數認定，本文以作業(yè)元素的操作時間作為計算工位復雜度的狀態(tài)。通過研究操作時間的波動性能夠定量描述工位作業(yè)時間的不確定性，其大小取決于工位上作業(yè)元素操作時間可能出現的各個狀態(tài)及相應的概率。

作業(yè)元素i的標準操作時間為ti0，統(tǒng)計實際操作時間得到若干樣本，將其與標準操作時間進行對比，分作m個區(qū)間，即t1～t2,t2～t3,…,tm～tm+1；時間分段間隔為ε，間隔大小即劃分的粗細程度，由復雜度所需要的準確度決定。在樣本量充足的情況下，操作時間區(qū)間劃分越細，越能準確體現作業(yè)時間的分布情況，由此計算得到的復雜度越準確。然而，隨著區(qū)間數的增加，復雜度計算規(guī)模快速增加。因此，在能夠驗證平衡方法有效性的前提下，平衡問題研究中可選用較少的區(qū)間數，以提高求解速度。根據具體實例，ti0與ti的最小值之差為Δia,若ti0前分為m1個區(qū)間，則

(2)

ti最大值與ti0之差為Δib，ti0后分為m2個區(qū)間，則

(3)

作業(yè)元素i的操作時間劃分成m個區(qū)間，分別表示m種狀態(tài)(s1,s2,…,sm)：

(4)

式中sj表示狀態(tài)j，1≤j≤m。

作業(yè)元素i的實際操作時間為序列ti={ti1,ti2,…,tiD}，樣本量為D，統(tǒng)計各樣本處于m個區(qū)間的概率分別為(pi1,pi2,…,pim)，由此描述不確定的操作時間。區(qū)間概率統(tǒng)計完成后，將樣本隨機分作數量基本相等的兩部分，分別進行概率統(tǒng)計。若兩部分統(tǒng)計所得概率與總體統(tǒng)計概率均接近，則可驗證概率分布的有效性；反之，則對實際操作時間進行重新采樣和統(tǒng)計[17]。相比于對操作時間進行曲線擬合的方法，該方法所需樣本量較少，易于實施，且不論操作時間是何種分布形式均可描述。

操作時間的不確定性是各類不確定因素的綜合表征，可以從操作時間的角度對工位復雜性進行分析和測度。假設第k工位作業(yè)元素數為nk，作業(yè)元素i的操作時間所處的狀態(tài)為ji，作業(yè)元素i出現ji狀態(tài)的概率為piji，則工位時間出現某一種狀態(tài)的概率為p1j1p2j2,…,pnkjnk，所有狀態(tài)出現的概率之和為1，即

(5)

根據信息熵理論，該工位所包含的平均信息量，即工位復雜度為

log2(p1j1p2j2…pnkjnk)]。

(6)

1.3 平衡模型的建立

工位復雜度為工位作業(yè)時間的不確定性給出了量化指標。如前所述，某工位復雜度越高，意味著該工位作業(yè)時間可能出現的狀態(tài)越多，隨機性越大。若工位間復雜性差異過大，則會造成有些工位時常出現空閑或嚴重超載，甚至引起工位阻塞；同時，如果工位作業(yè)時間超過節(jié)拍，則工人需應對時間壓力，更容易出現操作失誤，從而對生產造成雙重延誤。因此，平衡規(guī)劃階段需要考慮工位復雜性，減少各工位間復雜性的差異，使各工位作業(yè)時間的不確定性趨于均衡，以提高平衡的有效性。構建最小化工位復雜性差異度的優(yōu)化目標，目標函數為

(7)

式中：g為工位復雜度均衡指數，K為工位數，hk為第k工位復雜度。

除最小化工位復雜性差異度這一動態(tài)平衡目標外，考慮裝配線平衡率最高和工位標準作業(yè)時間均衡兩個靜態(tài)平衡目標，以保證裝配線靜、動態(tài)平衡綜合優(yōu)化，目標函數為：

(8)

(9)

式中：f為裝配線平衡率，e為標準作業(yè)時間均衡指數，C為工作節(jié)拍，Tk為第k工位的標準操作時間。

將作業(yè)元素集E={1,2,…,n}分配到K個工位上{Sk/k=1,2,…,K},約束條件為：

(2)Si∩Sj=?(i≠j，i,j=1,2,…,N)，表示每個作業(yè)元素只能被分配一次。

(3)Tk

(4)M=(Mij)n×n,Mij=1,i∈Sx,j∈Sy,x≤y，表示作業(yè)元素之間的優(yōu)先關系。

2 算法設計

針對所提出的3個優(yōu)化目標和平衡模型，本文設計一種改進的遺傳算法進行求解。求解過程分為兩個階段：①在工位數給定條件下，最小化節(jié)拍；②在最小節(jié)拍前提下，均衡工位標準作業(yè)時間和工位復雜度。

算法步驟如下：

步驟1利用動態(tài)步長法指定節(jié)拍，并求得最小節(jié)拍。

步驟2按照規(guī)則生成初始種群，計算個體適應度值并排序。

步驟3選擇染色體，交叉變異。

步驟4判斷是否滿足工位數約束，若滿足，則計算適應度值；否則，進行懲罰使適應度值為0。

步驟5將當前種群個體按照適應度值排序。

步驟6收斂條件為適應度更新間隔超過上限次數Nnew。判斷是否滿足算法收斂條件，若滿足，則根據個體適應度選擇最優(yōu)方案；否則，重復步驟3～步驟5。

該算法運行流程如圖1所示。

2.1 動態(tài)步長尋優(yōu)

根據染色體將作業(yè)元素依次分配到各工位，滿足工位上作業(yè)時間之和不超過節(jié)拍時間。第二類ALBP中，節(jié)拍C是未知的，無法直接用于分配作業(yè)，因此本文采用動態(tài)步長法求解最小節(jié)拍，通過逐步縮小節(jié)拍搜索范圍來提高整體算法效率，原理如圖2所示，具體步驟如下：

(1)定界

確定節(jié)拍范圍(CT,min,CT,max)，其中：CT,min是由總作業(yè)時間和工位數計算得到的理想節(jié)拍，

(10)

CT,max是根據經驗給定的有絕對冗余的設定節(jié)拍。

(2)參數初始化

動態(tài)步長法中有3個主要參數α，dt，β，分別表示初始步長、當前步長、動態(tài)控制因子。

(3)進入計算主體

從小到大依次取式(11)中的各節(jié)拍，節(jié)拍過小將無法獲得合理的作業(yè)分配方案，因此首次實現作業(yè)合理分配的節(jié)拍為該組最小節(jié)拍。

(11)

當CT從小到大搜索一直達到CT,j時，在本次搜索內首次產生合理的任務分配方案，則CT,j為本組最小節(jié)拍。確定新的節(jié)拍搜索區(qū)間(CT,min,CT,max)，

(12)

搜索范圍明顯減小。

(4)縮短步長

令dt=α/2，重復步驟(3)，得到新的節(jié)拍搜索范圍。

(5)循環(huán)

循環(huán)至終止步長dt=α/β，以終止步長進行搜索的過程中，首次產生合理的任務分配方案的節(jié)拍為最小節(jié)拍C0。

(6)修正

動態(tài)步長的取值可能為非整數，故步驟(5)所得節(jié)拍可能比實際節(jié)拍略大，可采用步驟(5)所得任務分配方案的實際節(jié)拍進行修正，修正節(jié)拍為

Cmin=min{C0,max(Tk)}。

(13)

2.2 產生初始種群

將優(yōu)先關系轉化為優(yōu)先矩陣，采用實數編碼方式生成染色體，種群規(guī)模為popSize。首先，生成優(yōu)先級最高的作業(yè)元素集，隨機選擇一個元素放入染色體，并刪掉已分配元素；然后，在剩余元素中生成優(yōu)先級最高的作業(yè)元素集，隨機選擇一個元素放入染色體后部。如此反復，直到所有元素分配完成即生成一條染色體，循環(huán)生成一定數量的初始種群。

2.3 交叉變異算子

(1)交叉算子

選取兩條染色體父代1和父代2進行交叉操作。交叉算子采用兩點交叉法，設交叉概率為Pc，隨機產生兩個交叉點，得到父代1兩交叉點間的基因段，如圖3所示。在父代2中搜索該基因段的排列方式，將父代1基因段替換成新的排序方式獲得子代1，同樣的交叉過程獲得子代2，如圖4所示。

兩個初始序列是可行的，而且交叉算子始終不破壞作業(yè)之間的先后順序約束，因此生成的兩個新作業(yè)序列也是可行的。

(2)變異算子

設變異概率為Pm，選擇一條染色體為父代，隨機產生變異點，根據優(yōu)先關系矩陣，重新排列變異點后面的基因段，獲得新的子代染色體，如圖5所示。

同樣，變異算子也始終維持作業(yè)之間的優(yōu)先順序約束，新序列也是可行的。

2.4 適應度評價

本文隨機型裝配線平衡模型的求解目標是尋找到最小節(jié)拍后，最小化工位標準作業(yè)時間和復雜度均衡指數。適應度函數設計為

f(g,e)=1 000/(g·e)。

將染色體上的各作業(yè)元素根據最小節(jié)拍分配到工位上，生成合理的分配方案，并計算個體適應度。合理分配意味著不出現最后一個工位上沒有作業(yè)或作業(yè)分配不完的情況。對不合格的染色體進行懲罰，使適應度為0，相當于直接剔除。

2.5 保留策略

為了盡可能將優(yōu)秀個體保留到下一代種群，計算個體適應度后，按一定的策略選擇個體，使適應性較強的個體進入下一代，并淘汰適應性較差的個體。本文采用精英保留策略，精英選擇概率為Ps，即選取這一代中a(a=popSize·Ps)個最優(yōu)的個體，無需經過交叉變異操作直接進入下一代，從而有效防止其被破壞。

3 實例分析

以某變速箱裝配線為例進行裝配線平衡優(yōu)化，以驗證本文算法的有效性。該裝配線工位數K=16，作業(yè)元素個數N=80，作業(yè)元素間的優(yōu)先關系如圖6所示。

各作業(yè)元素操作時間統(tǒng)計的樣本量均在85～100之間。將作業(yè)元素i的操作時間劃分為4個區(qū)間：ti0-3ε～ti0-2ε,ti0-2ε～ti0-ε,ti0-2ε～ti0,ti0～ti0+ε。經計算，該裝配線序號為42的作業(yè)元素標準操作時間與操作時間最小值之差最大，

表1 作業(yè)元素標準操作時間及其區(qū)間概率

續(xù)表1

3.1 求解作業(yè)元素分配方案

在MATLAB 2010b中編制求解程序，遺傳算法參數設定為：種群規(guī)模popSize=1 000，精英選擇概率Ps=0.1，交叉率Pc=0.6，變異率Pm=0.3，解方案更新間隔次數Nnew=100。優(yōu)化過程如圖7所示，由此得到最優(yōu)作業(yè)元素分配方案1及各工位復雜度，輸出的最優(yōu)解如表2所示。該方案中，節(jié)拍C1=24 s，利用式(6)～式(8)得到：整線平衡率f1=95.31%，復雜度均衡指數g1=1 228.37，各工位的標準作業(yè)時間均衡指數e1=6.782 3。

3.2 平衡方案的對比

隨機型ALBP常用的解決辦法是假設操作時間服從正態(tài)分布，在工位滿足一定完工率的條件下，使平衡率最高且工位平均作業(yè)時間均衡[6]。為了說明本文方法實現動態(tài)平衡的有效性，利用隨機數發(fā)

表2 作業(yè)元素分配方案1

生器產生的隨機作業(yè)時間，對本文所得方案1進行仿真，仿真得到的工位完工率為0.89。將本文實例中的作業(yè)元素操作時間擬合成正態(tài)分布，利用文獻[6]的方法，以工位完工率0.89作為約束條件，以平衡率最高、工位平均作業(yè)時間均衡為目標，對模型進行求解，得到最優(yōu)作業(yè)元素分配方案2，計算方案2的工位標準作業(yè)時間和復雜度，如表3所示。該方案中，節(jié)拍C2=24 s，整線平衡率f2=95.31%，復雜度均衡指數g2=2 524.42，工位標準作業(yè)時間均衡指數e2=6.480 7。

表3 作業(yè)元素分配方案2

方案1和方案2各工位標準作業(yè)時間的分布對比如圖8所示，各工位復雜度分布對比如圖9所示。由此可見，兩種平衡方案的平衡率相同，標準作業(yè)時間均衡程度相差較小，方案1各工位復雜性均衡程度明顯提升。相比方案2，方案1的優(yōu)化效果如表4所示。

表4 方案1優(yōu)化效果

fge方案10.953 11 228.376.782 3方案20.953 12 524.426.480 7優(yōu)化效果/%051.34-4.654 0

通過對比可知，如果以工位完工率為約束條件進行裝配線平衡，則各工位復雜度相差較大，工位3,9,10,12,13,15的復雜度嚴重超出復雜度平均水平，即這些工位作業(yè)時間的不確定性更高，波動程度更大。在裝配過程中，這些工位的超載和空閑將更加嚴重，降低了平衡方案的有效性?？紤]工位復雜度進行裝配線平衡后，各工位的復雜性均衡程度明顯提升，得到的方案1比方案2提高了51.34%。工位復雜度均衡表明，各工位作業(yè)時間的不確定性較為均衡，超載和空閑時間相差不大，考慮工位復雜度進行裝配線平衡可以減少不確定因素對裝配線的影響，使裝配過程更加平穩(wěn)。與此同時，裝配線平衡率為95.31%，工位標準作業(yè)時間均衡程度仍然保持在較高水平，只比方案2降低了4.65%。

4 結束語

裝配過程中的不確定因素造成操作時間隨機波動，本文方法可以比較方便地描述不同類型作業(yè)元素的隨機操作時間，利用復雜性理論進行研究，提出了工位復雜性的測度方法和工位復雜性差異度最小的優(yōu)化目標，并結合裝配線平衡率、工位標準作業(yè)時間均衡建立優(yōu)化模型。研究表明，該方法能夠大幅度降低各工位復雜性的差異度，實現裝配線靜態(tài)平衡和動態(tài)平衡綜合優(yōu)化，即保證平衡方案的有效性。

本文為隨機型ALBP提供了一個新的思路，后續(xù)可以針對混流裝配線生產過程中可能出現的復雜性特征進行量化研究，為進一步展開隨機型混流裝配線的平衡及排序研究奠定了良好的基礎。

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