布谷鳥優(yōu)化的密度峰值快速搜索聚類算法

鄭 虹， 周麗媛， 韓旭明

(長春工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院， 吉林 長春 130012)

0 引 言

聚類是數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域的一個重要分支，在無監(jiān)督條件下用于挖掘數(shù)據(jù)潛在結(jié)構(gòu)。目前已經(jīng)成功應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)、地理科學(xué)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域[1-2]。聚類是根據(jù)數(shù)據(jù)樣本之間的相似性，將空間中n個數(shù)據(jù)樣本劃分成合理類簇的過程,聚類結(jié)果使得同一類簇內(nèi)的樣本具有較高相似性,不同類簇間的樣本具有較低相似性[3-5]。沒有任何一種聚類算法能夠適用于不同數(shù)據(jù)集所呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)[6]。鑒于此，針對不同數(shù)據(jù)集,多種不同聚類方法提出,傳統(tǒng)的聚類分析算法有分式聚類方法、層次聚類方法、基于密度的聚類方法和基于網(wǎng)格的聚類方法。

DPC算法是一種基于密度的聚類算法，由Alex Rodriguez等[7]在Science雜志上提出。DPC算法基于局部數(shù)據(jù)點(diǎn)的密度進(jìn)行聚類，能夠聚成任意形狀的類簇。其局部密度點(diǎn)計(jì)算方法靈感來源于均值偏移理論[8]；其聚類分配與K中心聚類算法[9]相似，確定中心點(diǎn)后，將剩余數(shù)據(jù)點(diǎn)根據(jù)其與中心點(diǎn)的相似度分配給最近的中心點(diǎn)。K中心算法需要反復(fù)迭代確定聚類中心，具有較高復(fù)雜度。DPC算法不需要反復(fù)迭代確定聚類中心，而是通過密度大小和距離遠(yuǎn)近，人為手動劃出聚類中心，降低多次尋找聚類中心的復(fù)雜度。Alex Rodriguez認(rèn)為潛在聚類中心為：數(shù)據(jù)點(diǎn)自身要有較高密度，且距離其他密度更高點(diǎn)的距離較遠(yuǎn)。

布谷鳥算法是由Xin-She Yang和Suash Deb兩位學(xué)者于2009年提出，該算法利用布谷鳥特殊的繁育寄生機(jī)理和Levy飛行搜索機(jī)制，模擬出布谷鳥尋窩產(chǎn)卵行為的一種群體智能優(yōu)化算法。CS算法憑借Levy飛行隨機(jī)游動和偏好游動策略，在求解優(yōu)化問題時具有較好性能。其具有參數(shù)少、邏輯結(jié)構(gòu)簡單、全局搜索能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),目前已經(jīng)成功用于求解多種工程優(yōu)化問題，如異構(gòu)系統(tǒng)任務(wù)分配問題、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)定位問題。

針對不同類型數(shù)據(jù)，DPC算法具有較好聚類結(jié)果，但其也存在一些缺陷。

1)文獻(xiàn)[7]并沒有給出計(jì)算截?cái)嗑嚯x的方法，而聚類結(jié)果對于截?cái)嗑嚯x很敏感。

2)運(yùn)用歐氏距離作為聚類相似度的度量標(biāo)準(zhǔn)，該標(biāo)準(zhǔn)忽略了數(shù)據(jù)間的方向信息。眾多學(xué)者對其進(jìn)行研究與改進(jìn)[10-20]。針對上述DPC算法的缺陷，提出布谷鳥優(yōu)化的密度峰值快速搜索聚類算法。首先運(yùn)用布谷鳥算法[21]優(yōu)化截?cái)嗑嚯x，根據(jù)布谷鳥搜索算法較強(qiáng)全局搜索能力，可以尋找到最優(yōu)的截?cái)嗑嚯x值。其次引入余弦相似度，基于方向與距離相結(jié)合的相似度能更好區(qū)分一些距離相等方向不同點(diǎn)的數(shù)據(jù)點(diǎn)，特別是對于兩個類簇中間區(qū)域點(diǎn)的劃分。對于兩個類簇的中間區(qū)域數(shù)據(jù)點(diǎn)，其到兩個聚類中心距離一樣，算法在對該點(diǎn)進(jìn)行分配時，可能會隨機(jī)分配，每次實(shí)驗(yàn)會分配給不同的聚類中心，出現(xiàn)誤差，引入余弦相似度后，會避免這種情況發(fā)生。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，布谷鳥優(yōu)化的密度峰值快速搜索聚類算法與DPC算法相比，具有較好的聚類效果。

1 相關(guān)工作

1.1 DPC 算法

DPC算法的基本原理是以空間中任意兩點(diǎn)間歐氏距離為基礎(chǔ)，假定聚類中心的局部密度大于其附近鄰居點(diǎn)局部密度，并且與密度更大數(shù)據(jù)點(diǎn)間距離(非歐氏距離)較遠(yuǎn)。為找到滿足以上兩個特點(diǎn)的聚類中心，DPC算法引入兩個量：

1)數(shù)據(jù)點(diǎn)i的局部密度ρi；

2)到比數(shù)據(jù)點(diǎn)i的局部密度大的數(shù)據(jù)點(diǎn)集合中，距離其最近點(diǎn)的距離δi。

文獻(xiàn)[7]認(rèn)為，當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)集合較大時，計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)i的局部密度:

ρi=∑χ(dij-dc)

(1)

其中：

當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)集合較小時，用指數(shù)核[7]計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)的局部密度ρi,計(jì)算公式為：

(2)

其中,dij為數(shù)據(jù)點(diǎn)i和j間的歐氏距離,dc>0,為截?cái)嗑嚯x,需手動給出。

計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)i的距離公式為：

(3)

對于局部密度最大數(shù)據(jù)點(diǎn)i的距離公式為：

(4)

文獻(xiàn)[7]采用決策圖的方式，認(rèn)為ρi和δi都比較大的點(diǎn)有可能成為聚類中心。

DPC算法步驟如下:

1)初始化截?cái)嗑嚯xdc，計(jì)算任意兩點(diǎn)間歐式距離dij，計(jì)算每個數(shù)據(jù)點(diǎn)的密度值ρi,并將其順序排序，計(jì)算判定距離δi；

2)確定聚類中心，并初始化數(shù)據(jù)點(diǎn)歸類屬性標(biāo)記；

3)對非聚類中心數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行歸類；

4)將每個簇類中的數(shù)據(jù)點(diǎn)劃分為核心點(diǎn)和邊緣點(diǎn)。

1.2 布谷鳥算法

布谷鳥算法是一種優(yōu)化算法，由Xin-She Yang等[21]提出?；诓脊萨B產(chǎn)卵習(xí)性和3條理想規(guī)則提出布谷鳥搜索算法。3條理想規(guī)則為：

1)每次只產(chǎn)1個蛋，并隨機(jī)選擇鳥巢孵化;

2)在隨機(jī)選擇的一組鳥巢中，最好的鳥巢位置被保留到下一代;

3)外來鳥蛋被鳥巢主人發(fā)現(xiàn)的概率是Рα∈[0,1]。

布谷鳥尋找下一代鳥窩位置χ(t+1)的更新公式為：

⊕Levy(λ)

(5)

式中:t----當(dāng)前迭代次數(shù)；

α----步長控制因子，一般取α=1；

?----點(diǎn)對點(diǎn)乘法；

Levy(λ)----隨機(jī)搜索路徑，服從Levy分布，滿足Levy～u=t-λ(1<λ≤3)。

鳥窩位置更新后，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)k∈(0,1)與被發(fā)現(xiàn)概率Рα對比，大于被發(fā)現(xiàn)概率,則對當(dāng)前鳥巢位置更新，否則不變。

布谷鳥算法的實(shí)現(xiàn)步驟：

1)初始化種群，隨機(jī)產(chǎn)生n個鳥巢初始位置，并設(shè)置相關(guān)參數(shù)；

2)計(jì)算每個鳥巢的適應(yīng)度值，并保留當(dāng)前最優(yōu)解；

3)每個鳥巢位置按照式(5)進(jìn)行更新；

4)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)適應(yīng)度值，如果優(yōu)于上一代適應(yīng)度值，則鳥巢位置保留到下一代，否則保持原來鳥巢位置不變；

5)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)k，如果k大于被發(fā)現(xiàn)概率Рα，改變鳥巢位置，否則保持原來位置不變。

6)判斷當(dāng)前最優(yōu)解是否滿足條件，滿足則輸出全局最優(yōu)解，算法結(jié)束，否則轉(zhuǎn)2)。

1.3 余弦相似度

余弦相似度是計(jì)算空間數(shù)據(jù)點(diǎn)間相似度的一種方法。該方法首先將數(shù)據(jù)點(diǎn)維度映射成空間向量，然后通過計(jì)算兩個數(shù)據(jù)點(diǎn)空間向量的夾角余弦值來衡量他們之間的相似性。兩個數(shù)據(jù)點(diǎn)向量夾角越小，即夾角余弦值越大，表明二者的方向越一致，相似度越高；而兩個數(shù)據(jù)點(diǎn)向量夾角越大，即夾角余弦值越小，表明二者的方向越不一致，相似度越低。該值越大，表明夾角越小，即二者的方向越一致，兩個向量越相似。兩個向量間的余弦值采用歐幾里德點(diǎn)積公式計(jì)算：

a·b=|a|×|b|cosθ,θ∈[0,2π]

(6)

余弦相似度定義如下：

(7)

式中:xi,xj----空間中任意兩點(diǎn)。

1.4 改進(jìn)的余弦相似度

任意兩個向量夾角的余弦相似度是一條余弦曲線，在0°到180°隨著角度增加余弦值降低，而180°到360°隨著角度增加余弦值增加。鑒于余弦值不能隨著角度的增加而增加或者減小，余弦曲線不是單調(diào)函數(shù)，根據(jù)兩個數(shù)據(jù)點(diǎn)間余弦值很難直觀地判斷數(shù)據(jù)點(diǎn)間方向，將余弦值取絕對值，引入指數(shù)函數(shù)，使余弦值隨著方向的增加而增加。改進(jìn)的余弦相似度(方向因子)為：

(8)

2 布谷鳥優(yōu)化的密度峰值快速搜索聚類算法

鑒于DPC算法截?cái)嗑嚯xdc需要手動隨機(jī)給出,利用歐氏距離計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)的局部密度，此密度僅考慮到數(shù)據(jù)點(diǎn)間的距離，而忽略了數(shù)據(jù)點(diǎn)間的方向信息。對于數(shù)據(jù)量較大、數(shù)據(jù)點(diǎn)較為分散的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，數(shù)據(jù)點(diǎn)間的方向會影響DPC算法聚類效果。提出用布谷鳥算法優(yōu)化dc，避免手動給出dc,通過引入余弦相似度來增加數(shù)據(jù)點(diǎn)局部密度的可靠性。

2.1 CS-DPC算法的距離矩陣

對于空間中m個n維數(shù)據(jù)點(diǎn)χ1,χ2,χ3, …，χm

χ1=(χ11,χ12,χ13,…,χ1n)

χ2=(χ21,χ22,χ23,…,χ2n)

?

χm=(χm1,χm2,χm3,…,χmn)

任意兩點(diǎn)χi，χj間歐式距離為:

(9)

m個數(shù)據(jù)點(diǎn)的歐氏距離矩陣為:

歐式距離衡量的是空間中各點(diǎn)的絕對距離，跟各個點(diǎn)所在的位置坐標(biāo)直接相關(guān)。其只考慮數(shù)據(jù)點(diǎn)間的實(shí)際距離，若數(shù)據(jù)點(diǎn)p到比其大的兩個潛在聚類中心距離相等，此時DPC算法的劃分準(zhǔn)則無法正確分配p。鑒于此，引入余弦相似度的指數(shù)形式，保證在歐式距離無法解決數(shù)據(jù)點(diǎn)分配問題時，提供一個相對較好的解決方案。在每個數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)算歐式距離基礎(chǔ)上引入方向因子,此時,m個數(shù)據(jù)點(diǎn)的距離矩陣為

(10)

2.2 布谷鳥優(yōu)化截?cái)嗑嚯xdc

在DPC算法中，每次執(zhí)行需要手動輸入截?cái)嗑嚯xdc，原作者并沒有給出具體計(jì)算dc的規(guī)則，導(dǎo)致dc的選取缺少規(guī)范性。并且數(shù)據(jù)集聚類效果對于dc的取值比較敏感，dc取值過大，導(dǎo)致聚類個數(shù)多于真實(shí)簇類數(shù)，相反，dc取值過小，導(dǎo)致聚類個數(shù)少于真實(shí)簇類數(shù)。因此，dc取值大小對DPC算法產(chǎn)生很重要的影響。布谷鳥算法是一種比較新穎的群體智能算法，具有參數(shù)少、結(jié)構(gòu)簡單等特點(diǎn)。該算法即能通過Levy飛行進(jìn)行全局搜索，又能通過偏好游動進(jìn)行局部尋優(yōu)。鑒于布谷鳥算法的較強(qiáng)全局搜索能力和局部搜索能力，能夠發(fā)現(xiàn)測試數(shù)據(jù)集的最優(yōu)聚類結(jié)構(gòu)，提出引用布谷鳥搜索算法優(yōu)化dc，Silhouette指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)。通過多次迭代，根據(jù)最優(yōu)聚類結(jié)果(Silhouette指標(biāo)最優(yōu))輸出最優(yōu)dc值。

布谷鳥優(yōu)化的密度峰值快速搜索聚類算法步驟如下:

1)初始化種群，種群個數(shù)為10(10個鳥巢)，dc取值范圍為(Dmin,Dmax)；

2)執(zhí)行DPC算法，獲得Silhouette指標(biāo)；

3)保留當(dāng)前最優(yōu)Silhouette指標(biāo)；

4)每個dc按照式(6)進(jìn)行更新；

5)計(jì)算每個dc所對應(yīng)的Silhouette指標(biāo)，如果優(yōu)于上一代Silhouette指標(biāo)，則dc值保留到下一代，否則保持原來dc值不變；

6)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)k，如果k大于被發(fā)現(xiàn)概率P，改變dc值，否則保持原來dc值不變；

7)當(dāng)前最優(yōu)解不變或者滿足最大迭代次數(shù)，輸出相應(yīng)的Silhouette指標(biāo)和截?cái)嗑嚯xdc，算法結(jié)束，否則轉(zhuǎn)2)。

3 實(shí)驗(yàn)仿真與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

為了測試CS-DPC算法的準(zhǔn)確性能達(dá)到原始DPC 算法的聚類結(jié)果，選擇5個人工數(shù)據(jù)集和3個標(biāo)準(zhǔn)UCI數(shù)據(jù)集進(jìn)行測試，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見表1。

表1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集

Flame、 Pathbased、 R15 和Spiral是二維并且樣本數(shù)較少的數(shù)據(jù)集，D31是二維但數(shù)據(jù)量相對較大數(shù)據(jù)集，Iris、 Wine和 Pima是多維數(shù)據(jù)集。布谷鳥種群規(guī)模為 20，迭代次數(shù)T=50，Pα=0.25。

3.2 評價(jià)指標(biāo)

為驗(yàn)證CS-DPC算法聚類結(jié)果的有效性，引入兩個有效性指標(biāo)來評價(jià)DPC算法和CS-DPC算法聚類結(jié)果，分別為內(nèi)部評價(jià)指標(biāo)Silhouette和外部評價(jià)指標(biāo)F-measure。

3.2.1 Silhouette指標(biāo)

Silhouette指標(biāo)用來評價(jià)聚類效果的內(nèi)部評價(jià)指標(biāo)。一般定義為，設(shè)一個具有n個樣本點(diǎn)的數(shù)據(jù)集被劃分為k個聚類Ci(i=1,2,…,k)，a(t)為聚類C中的樣本點(diǎn)t與其所在的類中所有其它樣本的平均不相似度或距離，d(t,Ci)為Cj的樣本t到另一個類Ci的所有樣本的平均不相似度或距離，則b(t)=min{d(t,Ci)}，其中i=1,2,…,k,且i≠j。樣本t的Silhouette指標(biāo):

(11)

聚類中的所有樣本的平均Silhouette值表示此類的緊密性和可分性；Silhouette取值范圍為[-1,1]，Silhouette指標(biāo)越大，即越接近1，表示聚類質(zhì)量越好。

3.2.2 F-measure指標(biāo)

F-measure指標(biāo)結(jié)合查全率和準(zhǔn)確率用來評價(jià)聚類效果的外部評價(jià)指標(biāo)。對于一個真實(shí)類簇Pj和Ci，其準(zhǔn)確率P(i,j)和召回率R(i,j)的定義為:

(12)

(13)

相應(yīng)的F-measure指標(biāo)為：

(14)

將所有類簇的F-measure值加權(quán)求平均，得到整個聚類結(jié)果的F-measure值。

(15)

其中,N為樣本點(diǎn)個數(shù);F-measure值越大，算法越準(zhǔn)確。

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析

使用MATLAB對CS-DPC算法和DPC算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真。通過對5個人工數(shù)據(jù)集和3個標(biāo)準(zhǔn)UCI數(shù)據(jù)集進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，結(jié)果表明，CS-DPC算法在聚類效果方面優(yōu)于DPC算法。

CS-DPC算法和DPC算法聚類結(jié)果的評價(jià)指標(biāo)見表2，聚類數(shù)目對比見表3。

表2 聚類結(jié)果的評價(jià)指標(biāo)對比

表3 聚類數(shù)目對比

從表2可以看出，對于數(shù)據(jù)集Flame、Pathbased、R15、D31，Wine 和Pima，CS-DPC算法的內(nèi)部指標(biāo)Sil 比DPC算法均有所提高，特別是數(shù)據(jù)集R15和 Pima，CS-DPC算法的Sil比DPC算法提高10%；數(shù)據(jù)集Wine,CS-DPC算法的Sil比DPC算法提高19%；數(shù)據(jù)集D31，CS-DPC算法的Sil比DPC算法提高40%。對于數(shù)據(jù)集Wine、R15和 D31，CS-DPC算法的準(zhǔn)確度FM比DPC算法提高13%、29%和51%，特別是對于數(shù)據(jù)集Flame和Spiral，CS-DPC算法的準(zhǔn)確度達(dá)到了100%。

從表3可以看出，DPC算法和CS-DPC算法聚類個數(shù)均可達(dá)到實(shí)際聚類個數(shù)，DPC算法需手動給出參數(shù)dc值，而CS-DPC算法不用給出具體dc值，在一定范圍內(nèi)，通過Levy飛行的全局搜索能力，可以直接給出最優(yōu)dc值的聚類結(jié)果。

Flame、Pathbased、R15和D31等數(shù)據(jù)集的聚類結(jié)果二維圖分別如圖1～圖4所示。

(a) DPC,dc=3%,1.133 6

(b) CS-DPC,dc=0.493 8

圖1 Flame聚類結(jié)果

(a) DPC,dc=3%,0.472 6

(a) DPC,dc=3%,1.897

(a) DPC,dc=3%,1.990 0

對于數(shù)據(jù)集Flame、R15、Pathbased，CS-DPC算法可以達(dá)到DPC算法的聚類效果，并且對于數(shù)據(jù)集D31，CS-DPC算法聚類效果要優(yōu)于DPC算法。

聚類結(jié)果對比如圖5所示。

(a) Silhouette指標(biāo)對比

(b) F-measure指標(biāo)對比

圖5 聚類結(jié)果對比圖

圖5(a)清晰地表明，CS-DPC算法聚類結(jié)果的內(nèi)部指標(biāo)與DPC算法對比,無論二維還是多維數(shù)據(jù)集，CS-DPC算法聚類結(jié)果準(zhǔn)確度相對于DPC算法都提高很多。圖5(b)表明，CS-DPC算法聚類結(jié)果準(zhǔn)確度比DPC算法聚類結(jié)果準(zhǔn)確度更高。

4 結(jié) 語

密度峰值快速搜索聚類算法是一種基于密度的聚類算法，基本原理類似均值偏移理論和K中心聚類算法。相比較其他聚類算法，DPC算法具有簡單高效的特點(diǎn)。布谷鳥算法利用布谷鳥特殊的繁育寄生機(jī)理和Levy飛行搜索機(jī)制，模擬出布谷鳥尋窩產(chǎn)卵行為的一種群體智能優(yōu)化算法。其具有參數(shù)少、邏輯結(jié)構(gòu)簡單、全局搜索能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),目前已經(jīng)成功用于求解多種工程優(yōu)化問題。CS算法憑借Levy飛行隨機(jī)游動和偏好游動策略，在求解優(yōu)化問題時具有較好性能?；贑S算法全局搜索能力和局部快速搜索的優(yōu)勢，提出布谷鳥優(yōu)化的密度峰值快速搜索聚類(CS-DPC)算法，解決DPC算法需手動給出截?cái)嗑嚯xdc的缺陷。改進(jìn)的算法引入方向因子解決兩個聚類中間部分?jǐn)?shù)據(jù)劃分問題。通過5個人工數(shù)據(jù)集和3個標(biāo)準(zhǔn)UCI數(shù)據(jù)集實(shí)驗(yàn)仿真，采用內(nèi)部評價(jià)指標(biāo)Silhouette和外部評價(jià)指標(biāo)F-measure驗(yàn)證兩個聚類結(jié)果的有效性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，CS-DPC算法的聚類結(jié)果和準(zhǔn)確度均優(yōu)于DPC算法。

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