不定積分的8種計(jì)算方法

丁伯倫， 凌婷婷， 榮婉君， 朱曉明

(安徽信息工程學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部， 安徽 蕪湖 241000)

0 引 言

1 形式變換法

方法1首先可以巧妙地借助余割函數(shù)的不定積分結(jié)果[1]，計(jì)算出正割函數(shù)的不定積分。

由于

基于正割函數(shù)與余割函數(shù)的關(guān)系，可得：

ln|secx+tanx|+C

這里采用恒等變換的方法，由于正割函數(shù)與余割函數(shù)有這樣的一個(gè)轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以借助于余割函數(shù)的積分結(jié)果，這樣的方法是借用巧力，計(jì)算起來(lái)也更簡(jiǎn)便，但前提條件是必須要熟悉余割函數(shù)積分的計(jì)算結(jié)果。

方法2由于正割函數(shù)等于余弦函數(shù)的倒數(shù)，因此可以從余弦函數(shù)入手。對(duì)于余弦函數(shù)而言,最直觀的恒等變換是利用二倍角公式

方法2與方法3本質(zhì)上是相同的，均采用恒等變換的方法。先是對(duì)余弦函數(shù)進(jìn)行變型，利用二倍角公式展開(kāi)將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為較易的形式，然后采用湊微分的方法給予解決，這種方法大大優(yōu)化了積分的計(jì)算過(guò)程，提高了解題效率。

2 湊微分法

方法4先將正割函數(shù)進(jìn)行巧妙的變形，變?yōu)檩^易積分的形式，可采用第一類(lèi)換元積分法(湊微分)進(jìn)行積分，計(jì)算過(guò)程將變得簡(jiǎn)單明了[2]。

方法5基于方法4的思想，可以做下面變型，然后仍然依靠湊微分的方法進(jìn)行積分。

ln|secx+tanx|+C

對(duì)于正割函數(shù)的不定積分，方法4與方法5是比較常見(jiàn)的,也是最常用的計(jì)算方法，在大多數(shù)教材[2-4]中都給予指出。它們?cè)诮忸}思路上是一致的，只是在結(jié)果上呈現(xiàn)出不同的表現(xiàn)形式。在求積問(wèn)題上，湊微分的這兩種方法對(duì)解題思路要求極高，需要大量的熟悉與練習(xí)，也可當(dāng)做一種固定的解題模式進(jìn)行記憶。

3 萬(wàn)能公式法

方法6可以采用高中所學(xué)的三角函數(shù)的萬(wàn)能公式來(lái)解題。

由于

令

而

因此可得：

利用萬(wàn)能公式來(lái)計(jì)算也是一種不錯(cuò)的選擇，將關(guān)于三角函數(shù)的不定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的不定積分問(wèn)題。因此，只需計(jì)算有理函數(shù)的積分即可，這里選擇的是有理函數(shù)積分問(wèn)題中的積化和差的積分方法[5]。

4 分布積分法

方法7對(duì)于正割函數(shù)的不定積分問(wèn)題，可利用分部積分法給予解決[6]。

方法7在方法選擇上比較創(chuàng)新，利用分部積分法解題，巧妙利用cotx·tanx=1，可構(gòu)造出分部積分法的一般式，最后通過(guò)湊微分法得出結(jié)果。這里將不定積分計(jì)算的兩大積分法緊密地聯(lián)系在一起，構(gòu)思較新穎，開(kāi)闊了這類(lèi)積分問(wèn)題的新解法。

5 方程組求解法

方法8計(jì)算有些函數(shù)的不定積分問(wèn)題可以將其轉(zhuǎn)化為求解方程組的問(wèn)題[7-8]，在有些情況下可以降低解題難度，提高計(jì)算效率。而對(duì)于正割函數(shù)的不定積分計(jì)算顯然是可以的。

設(shè)

則

令

則

化簡(jiǎn)上式可得：

(1)

同理，令

化簡(jiǎn)可得：

(2)

結(jié)合方程(1)與方程(2)，可得到一個(gè)二元線(xiàn)性方程組，則有

參考文獻(xiàn)：

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