淺談中學(xué)數(shù)學(xué)的對稱美

摘要：數(shù)學(xué)自身是理性思維和想象力的結(jié)合體，數(shù)學(xué)美是集科學(xué)與藝術(shù)美為一體，主要包括對稱美、簡潔美、統(tǒng)一美，在數(shù)學(xué)史中，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要因素，在學(xué)習(xí)的過程中，要善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，學(xué)會在欣賞美中獲得知識。其中對稱美是數(shù)學(xué)美中最顯著的表現(xiàn)形式，在中學(xué)數(shù)學(xué)中這一性質(zhì)是非常常見的。欣賞對稱美，體會數(shù)學(xué)之美。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；代數(shù)；幾何；對稱美

古希臘學(xué)者畢達(dá)哥拉斯說：“美就是和諧，整個天體是一種和諧，宇宙的和諧是由數(shù)組成的，因而構(gòu)成了整個宇宙的美”。同畢達(dá)哥拉斯一樣，許多中外知名學(xué)者都認(rèn)為數(shù)學(xué)是美的，數(shù)學(xué)美是自然美的客觀反映，是科學(xué)美的核心，其中表現(xiàn)最突出的是對稱美。對稱與美是緊密聯(lián)系的，對稱的事物給人一種視覺上的美感，精神上的享受，對稱性這一性質(zhì)被廣泛地應(yīng)用在生活中，比如某些著名的建筑，北京的紫禁城、印度的泰姬陵、巴黎的埃菲爾鐵塔等等，另外在自然界中，比如蝴蝶、楓葉、雪花、風(fēng)車等也具有此性質(zhì)，對稱性本身就是一種和諧、一種美，同時對稱性在數(shù)學(xué)教材中也是普遍存在的。

一、 數(shù)學(xué)定理及公式的對稱美

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，有許多定理公式都具有對稱性，這一特點有利于學(xué)生的理解記憶。公式的對稱性主要是指公式中不同的運(yùn)算符號可以改變，運(yùn)算順序也可改變，例如平方和（差）公式（a±b）2=a2±2ab+b2，立方和（差）公式（a±b）3=a3±3a2b+3ab2±b3，其中a，b的位置可以互換，公式仍然成立。類似的公式還有很多，三角函數(shù)中的和、差、倍、半公式，兩角和差的正弦公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ還有兩角和差的余弦公式cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβ等，這些公式的展開式都具有對稱性，使人讀起來有種節(jié)奏感，印象深刻。數(shù)學(xué)中的許多定理的對稱性也體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的對稱美。比如初中教材中出現(xiàn)的平行四邊形的性質(zhì)：“平行四邊形的對角線互相平分，”與平行四邊形的判定定理：“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。”這就是數(shù)學(xué)中定理的對稱關(guān)系，平行線的性質(zhì)與平行線的判定定理也是具有對稱性的。從運(yùn)算符號看，“+”與“-”“×”與“÷”也具有“對稱”關(guān)系。從數(shù)的角度看，奇數(shù)與偶數(shù)，整數(shù)與小數(shù)，約數(shù)與倍數(shù)，質(zhì)數(shù)與合數(shù)也是具有對稱關(guān)系。這些關(guān)于數(shù)學(xué)的對稱性的認(rèn)識讓我們對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)又加深了一步，讓我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時又體會著數(shù)學(xué)的美，進(jìn)一步提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、 代數(shù)中的對稱美

中學(xué)數(shù)學(xué)中的代數(shù)包括函數(shù)、不等式、數(shù)列、概率、解析幾何等部分。每個部分中都能體現(xiàn)出不同的數(shù)學(xué)對稱美。

1. 不等式的對稱美

在不等式中，我們可以任意的交換兩個字母，此不等式不會改變，這就是不等式的對稱性，例如不等式x+y+z≤3，xy+yz+xz≥1，a2+b2+c2≥ab+ac+bc等。

2. 函數(shù)的對稱美

函數(shù)是貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，也是整個中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重心，而函數(shù)的對稱性是函數(shù)中最重要的性質(zhì)之一，函數(shù)的對稱性主要體現(xiàn)在函數(shù)圖像具有對稱性，其中包括點對稱和線對稱。接下來以二次函數(shù)和三角函數(shù)為例來研究函數(shù)的對稱性，體驗對稱之美。

（1）二次函數(shù)中關(guān)于點的對稱美

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的兩個零點A（x1，0）和B（x2，0），也就是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個解x1、x2，A點和B點在二次函數(shù)的圖像上是關(guān)于對稱軸x=-b2a對稱的兩個點，都在x軸上，由于二次函數(shù)的圖像整體都是關(guān)于x=-b2a對稱的，因此二次函數(shù)上有很多互相對稱的點，其對稱點式通用（x1，k），（x2，k），k是相當(dāng)于把二次函數(shù)與x軸的交點上下平移k個單位。這種對稱主要是體現(xiàn)其圖形的對稱美，對稱性也給我們求解問題帶來了方便。

（2）三角函數(shù)的對稱美

三角函數(shù)一般包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)與余割函數(shù)，其中正弦函數(shù)y=sinx與余弦函數(shù)y=cosx是三角函數(shù)中的常用函數(shù)，它們的函數(shù)圖像既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形。

正弦函數(shù)與余弦函數(shù)還是周期函數(shù)，它們的對稱軸和對稱中心有無數(shù)個，其對稱性使圖像看起來很美觀，做題時也容易讓我們根據(jù)其對稱性解決問題。

三、 幾何中的對稱美

幾何中的對稱性是最直觀、最易懂的性質(zhì)，也是我們解題時最常用到的性質(zhì)。幾何中的對稱一般包括點對稱、中心對稱、軸對稱，在平面幾何中等腰三角形、正方形、圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其中圓是具有性質(zhì)最多的圖形。立體幾何中正方體、正四面體、球、長方體也是對稱圖形，球是最美的圖形，這些對稱圖形看起來有一種和諧美，讓人視覺得到享受。而這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用在我們的日常生活中，形成了許多美麗的圖形，神奇的建筑，豐富了我們的生活情趣，當(dāng)我們走在街道兩邊，看到周圍的建筑，路旁的花花草草，川流不息的車輛無不顯示出人們創(chuàng)造出的對稱美。汽車的品牌、北京天壇的建筑和外國建筑都具有對稱性這一特點。

對稱美是數(shù)學(xué)美中最顯著的特征之一，而對稱美在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中到處都存在，讓人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)美，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，所以在教學(xué)過程中要注重把這種數(shù)學(xué)美呈現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生體會到這種美，從而可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。這些數(shù)學(xué)的性質(zhì)給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來不少樂趣，讓其在課本上學(xué)習(xí)對稱美，在生活中體會數(shù)學(xué)美，了解數(shù)學(xué)和生活是密切相關(guān)的。正如英國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素認(rèn)為：“數(shù)學(xué)，如果正確的看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美?！?/p>

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作者簡介：宋丹丹，四川省南充市，西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院。