基于Pythagorean猶豫模糊集的多屬性決策投影方法①

， ， ，

(1.安徽大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，安徽 合肥 230601；2.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

0 引 言

Yager[1]于2013年首次定義了Pythagorean模糊集，與直覺(jué)模糊集[2]不同，Pythagorean模糊集的隸屬度和非隸屬度的平方和小于等于1，擴(kuò)大了隸屬度和非隸屬度的取值范圍。學(xué)者們對(duì)Pythagorean模糊集的研究多集中在決策方法和算子上。在決策方法方面，Zhang和Xu[3]研究了TOPSIS在Pythagorean模糊集的應(yīng)用,彭[4]提出了Pythagorean模糊語(yǔ)言集在多屬性群決策中的應(yīng)用；在算子方面的成果頗豐，其中，Garg[5]探討了Einstein集成算子在Pythagorean模糊集的應(yīng)用，何等人[6]研究了Pythagorean模糊集的冪平均算子。Torra[7,8]于2009年提出了猶豫模糊集的概念，即用若干個(gè)不同的隸屬度來(lái)刻畫人們做決定時(shí)的猶豫不決。猶豫模糊集和Pythagorean模糊集有各自突出的優(yōu)點(diǎn)且應(yīng)用前景廣泛，為了解決更多的實(shí)際問(wèn)題，劉[9]首次定義了Pythagorean猶豫模糊集，并且研究了加權(quán)算術(shù)平均算子和加權(quán)幾何平均算子在決策中的應(yīng)用。

研究投影技術(shù)在Pythagorean猶豫模糊集多屬性決策中的應(yīng)用,采用最小公倍數(shù)拓展法解決隸屬度個(gè)數(shù)、非隸屬度個(gè)數(shù)不相同時(shí)的情形，定義了新的方差公式，并結(jié)合文獻(xiàn)[10]中的加權(quán)總信息量最大化模型，求得各個(gè)屬性的權(quán)重，最后通過(guò)實(shí)例說(shuō)明該方法的科學(xué)性和合理性。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1,11]設(shè)X是一個(gè)給定的論域，則P={[x,UP(x),VP(x)]|x∈X}是X上的一個(gè)Pythagorean猶豫模糊集。

定義2[11]設(shè)p=(Up,Vp)是任意一個(gè)Pythagorean猶豫模糊元，則其得分函數(shù)為

(1)

其精確度函數(shù)為

(2)

#Up表示隸屬度集合Up中隸屬度的個(gè)數(shù)，#Vp表示非隸屬度集合Vp中非隸屬度的個(gè)數(shù)。

2 最小公倍數(shù)拓展法與投影模型

2.1 最小公倍數(shù)拓展法

在實(shí)際生活中會(huì)出現(xiàn)多個(gè)猶豫模糊元中隸屬度個(gè)數(shù)或非隸屬度個(gè)數(shù)不等的情形，文獻(xiàn)[12]中用悲觀原則或者是樂(lè)觀原則來(lái)解決此類問(wèn)題，即先用最小的或者最大的數(shù)進(jìn)行拓展，使得所有隸屬度集合中的元素個(gè)數(shù)相等，所有非隸屬度集合中的元素個(gè)數(shù)相等，然后對(duì)集合中的數(shù)降序排列。樂(lè)觀原則和悲觀原則的選擇取決于決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的主觀偏好。與以往的方法不同，文中采用最小公倍數(shù)拓展法解決此類問(wèn)題。

集合中元素一般是隨意排列的，將元素按降序排列。令σ：(1,2,…,g)→(1,2,…,g)為一個(gè)排列，使得μp,σ(i)≥μp,σ(i+1)，μp,σ(i)是Up中第i大的數(shù); 令σ：(1,2,…,f)→(1,2,…,f)為一個(gè)排列，使得vp,σ(k)≥vp,σ(k+1)，vp,σ(k)是Vp中第k大的數(shù)。

例1：V1={0.4,0.1},V2={0.1,0.8,0.2}，則采用最小公倍數(shù)拓展法進(jìn)行預(yù)處理的步驟如下：

步驟一，使用最小公倍數(shù)拓展法可得到V1={0.4,0.1，0.4,0.1，0.4,0.1};

V2={0.1,0.8,0.2，0.1,0.8,0.2}。

步驟二，將集合中的元素降序排列得到V1={0.4,0.4,0.4,0.1，0.1，0.1};

V2={0.8,0.8,0.2,0.2，0.1,0.1}。

最小公倍數(shù)拓展法是一種界于悲觀原則和樂(lè)觀原則之間的拓展方法，因?yàn)閷?duì)集合中每一個(gè)元素重復(fù)的次數(shù)相同，所以它更能體現(xiàn)決策者原先的決策，不是一種極端的拓展方法。

2.2 基于Pythagorean猶豫模糊集的投影模型

定義4 設(shè)任意兩個(gè)Pythagorean猶豫模糊集R={[xj,UR(xj),VR(xj)]|xj∈X}和T={[xj,UT(xj),VT(xj)]|xj∈X}是定義在X={x1,x2,…,xm}上的集合，則R和T的夾角余弦可以表示為：

(3)

R在T上的投影可以表示為：

(4)

其中，gj是經(jīng)過(guò)最小公倍數(shù)拓展后隸屬度的個(gè)數(shù)，fj是經(jīng)過(guò)最小公倍數(shù)拓展后非隸屬度的個(gè)數(shù)。

(5)

R在T上的加權(quán)投影可以表示為：

(6)

3 基于Pythagorean猶豫模糊集投影的多屬性決策方法

3.1 基于方差函數(shù)的屬性權(quán)重確定模型

定義6 設(shè)任意一個(gè)Pythagorean猶豫模糊元p=(Up,Vp)，其方差函數(shù)可以表示為：

(7)

由于客觀事物的復(fù)雜性和人們認(rèn)知的局限性，多個(gè)屬性的權(quán)重信息可能是完全未知的，所以，需要考慮在這種情況下如何獲得合適的權(quán)重信息。已知，一個(gè)Pythagorean猶豫模糊元的方差越大，數(shù)據(jù)提供的信息就越多，應(yīng)賦予較高的權(quán)重；反之，方差越小，數(shù)據(jù)提供的信息越少，應(yīng)賦予較小的權(quán)重。文章利用提出的公式(7)，結(jié)合加權(quán)方差最大化原則給出各個(gè)權(quán)重的計(jì)算公式。

假設(shè)有n個(gè)候選方案，m個(gè)屬性，方案集A={a1,a2,…,an}，ai表示第i個(gè)方案；屬性集C={c1,c2,…cm}，cj表示第j個(gè)屬性；各個(gè)屬性對(duì)應(yīng)的權(quán)重是ωj(j=1,2,…,m)，權(quán)重集記為W={ω1,ω2,…,ωm}。Pi是ai方案對(duì)應(yīng)的Pythagorean猶豫模糊集，pij是ai方案cj屬性對(duì)應(yīng)的Pythagorean猶豫模糊元。得到如下模型：

(M1)

在此模型的基礎(chǔ)上，為了方便求解，可建立另一個(gè)模型:

(M2)

對(duì)于模型(M2)，其約束條件為等式約束，因此可以利用Lagrange乘數(shù)法獲得最優(yōu)解，建立Lagrange函數(shù)如下：

并解方程組：

得

(8)

若最后通過(guò)(M2)模型求出的所有的ωj≥0，便可以得到滿足(M1)模型約束條件的ωj的最優(yōu)解。

3.2 基于Pythagorean猶豫模糊集投影的多屬性決策方法

首先運(yùn)用加權(quán)方差最大化模型(M1)確定各個(gè)屬性的權(quán)重；再利用最小公倍數(shù)拓展預(yù)處理Pythagorean猶豫模糊集；最后，考慮到加權(quán)投影模型可以度量任意兩個(gè)模糊集的相似程度，根據(jù)每個(gè)方案與正負(fù)理想點(diǎn)的加權(quán)投影定義了貼近度公式，貼近度越大，方案與正理想點(diǎn)的接近程度相對(duì)較大，方案越優(yōu)，以貼近度的大小對(duì)方案排序擇優(yōu)。主要步驟可概括如下：

步驟1：計(jì)算每個(gè)屬性的未知權(quán)重，利用公式(8)求解。

步驟2：用最小公倍數(shù)拓展法預(yù)處理決策矩陣，并對(duì)集合中的元素降序排列。

步驟3：確定正負(fù)理想點(diǎn)。如公式(9)所示

P+={[xj,{u+,…,u+},{v-,…,v-}]|xj∈X},P-={[xj,{u-,…,u-},{v+,…,v+}]|xj∈X}

(9)

其中，

?uk1∈Upij,?vk2∈Vpij,i=1,2,…,n；j=1,2,…m；k1=1,2,…gij；k2=1,2,…,fij。

步驟5：確定方案優(yōu)先順序。利用公式(10)計(jì)算貼近度T(Pi)。T(Pi)越大方案越優(yōu)。比較貼近度的大小，對(duì)方案排序和擇優(yōu)。

(10)

4 案例分析

為了反映投影模型的科學(xué)有效性，采用如下案例進(jìn)行實(shí)證分析。某項(xiàng)市政工程對(duì)外招標(biāo)，為了在四個(gè)候選企業(yè)ai(i=1,2,3,4)做出最終的選擇，考慮三個(gè)屬性對(duì)它們進(jìn)行評(píng)估：c1—管理水平，企業(yè)的運(yùn)轉(zhuǎn)離不開(kāi)科學(xué)有效的管理，在大型復(fù)雜的工程項(xiàng)目中更是如此；c2—技術(shù)水平，技術(shù)水平?jīng)Q定了工程項(xiàng)目能否按時(shí)按量完成；c3—信用水平，信用是衡量一個(gè)企業(yè)好壞的重要指標(biāo)。屬性的權(quán)重完全未知，所有的屬性都是效益型屬性。有關(guān)部門結(jié)合三個(gè)屬性給出了這四家企業(yè)的評(píng)價(jià)，并構(gòu)成了Pythagorean猶豫模糊決策矩陣O，行是四家企業(yè)ai(i=1,2,3,4)，列是三個(gè)屬性cj(j=1,2,3)。

步驟1：利用公式(8)計(jì)算各個(gè)屬性的權(quán)重：

ω1=0.3665,ω2=0.2455,ω3=0.3880

步驟2：用最小公倍數(shù)拓展預(yù)處理決策矩陣：

步驟3：決策矩陣中u+=0.8,u-=0.1,v+=0.9,v-=0.1，所以正負(fù)理想點(diǎn)分別是：

P+={[xj,{0.8,…,0.8},{0.1,…,0.1}]|xj∈X},P-={[xj,{0.1,…,0.1},{0.9,…,0.9}]|xj∈X}

步驟4：利用公式(6)，可以計(jì)算出每個(gè)方案和正負(fù)理想點(diǎn)的加權(quán)投影如表1所示：

表1 各方案與正負(fù)理想點(diǎn)的加權(quán)投影

步驟5：由貼近度公式(10)，計(jì)算出各個(gè)方案的貼近度為：T(P1)=0.4159，T(P2)=0.4293，T(P3)=0.5775，T(P4)=0.4108，所以a3?a2?a1?a4，綜上，第三個(gè)企業(yè)是最優(yōu)的選擇方案。

為了驗(yàn)證決策方法的科學(xué)有效性，用Liang和Xu[11]提出的決策方法處理實(shí)例。借助悲觀原則預(yù)處理決策矩陣，取正理想點(diǎn)為P+={[xj,{1,1，…,1},{0,0，…,0}]|xj∈X}，負(fù)理想點(diǎn)為P-={[xj,{0,0,…,0},{1,1,…,1}]|xj∈X}，利用海明距離計(jì)算各個(gè)方案的貼近度T(Pi)，如果T(Pi)越大，則方案ai與負(fù)理想點(diǎn)的距離相對(duì)較大，方案ai越優(yōu)。具體計(jì)算結(jié)果如下所示：T(P1)=0.4586，T(P2)=0.5177，T(P3)=0.5360，T(P4)=0.5021。由貼近度的大小關(guān)系可以得到排序結(jié)果是a3?a2?a4?a1，最優(yōu)的方案是第三個(gè)企業(yè)。本文從投影的角度解決問(wèn)題，文獻(xiàn)[11]從距離的角度定義貼近度公式，選擇的最優(yōu)方案相同，排序的結(jié)果略有差異，因?yàn)椴煌椒ㄒ鸬奈⑿〔町惸軌蚪邮?，所以該?shí)例證明了文中提出的決策方法是有效可行的。

5 結(jié) 論

基于新提出的Pythagorean猶豫模糊集，研究投影技術(shù)在這種環(huán)境中的應(yīng)用，采用最小公倍數(shù)拓展法，定義新的方差公式，并且給出了多屬性決策的方法，通過(guò)企業(yè)投標(biāo)的實(shí)際案例說(shuō)明決策方法的科學(xué)有效性。猶豫模糊集拓展元素的方法不止于樂(lè)觀原則和悲觀原則，筆者認(rèn)為在探索新方法的同時(shí)要考慮是否貼近事實(shí)。

參考文獻(xiàn)：

[1] Yager R R, Abbasov A M.Pythagorean Membership Grades, Complex Numbers, and Decision Making[J].International Journal of Intelligent Systems, 2013, 28(5):436-452.

[2] Atanassov K T.Intuitionistic Fuzzy Sets[J].Fuzzy Sets and Systems, 1986, 20(1):87-96.

[3] Zhang X, Xu Z.Extension of TOPSIS to Multiple Criteria Decision Making with Pythagorean Fuzzy Sets[J].International Journal of Intelligent Systems, 2015, 29(12):1061-1078.

[4] 彭新東, 楊勇.基于畢達(dá)哥拉斯模糊語(yǔ)言集多屬性群決策方法[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2016, 52(23):50-54.

[5] Garg H.A New Generalized Pythagorean Fuzzy Information Aggregation Using Einstein Operations and Its Application to Decision Making[J].International Journal of Intelligent Systems, 2016, 31(9):886-920.

[6] 何霞, 杜迎雪, 劉衛(wèi)鋒.畢達(dá)哥拉斯模糊冪平均算子[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué), 2016, 30(6):116-124.

[7] Torra V.Hesitant fuzzy sets[J].International Journal of Intelligent Systems, 2010, 25(6):529-539.

[8] Torra V, Xu Z S, Herrera F.Hesitant Fuzzy Sets: State of the Art and Future Directions[J].International Journal of Intelligent Systems, 2014, 29(6):495-524.

[9] 劉衛(wèi)鋒, 何霞.畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué), 2016, 30(4):107-115.

[10] 孫瑩, 鮑新中.一種基于方差最大化的組合賦權(quán)評(píng)價(jià)方法及其應(yīng)用[J].中國(guó)管理科學(xué), 2011, 19(6):141-148.

[11] Liang D, Xu Z.The New Extension of TOPSIS Method for Multiple Criteria Decision Making with Hesitant Pythagorean Fuzzy Sets[J].Applied Soft Computing, 2017, 60:167-179.

[12] Xu Z, Xia M.Distance and Similarity Measures for Hesitant Fuzzy Sets[J].Information Sciences, 2011, 181(11):2128-2138.