淺談中考中常見圖形的折疊問題

摘 要：近幾年各地中考中常出現(xiàn)幾何折疊問題，幾何折疊問題的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱圖形性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的特殊性質(zhì)，搞清折疊前后的變量與不變量，本文探究這類題的解法。

關(guān)鍵詞：中考；幾何折疊問題；解題

近幾年的各地中考中常出現(xiàn)幾何折疊問題，常見的有矩形的折疊、三角形的折疊等，它能夠靈活考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力、空間想象能力和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。幾何折疊問題的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱圖形性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的特殊性質(zhì)，搞清折疊前后的變量與不變量，折疊后又有哪些條件可利用，找到有關(guān)線段、角的相等關(guān)系，運(yùn)用三角形全等（或相似）、方程等知識(shí)求解。因此必須熟悉軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)： ①圖形的全等形：重合部分是全等圖形，對(duì)應(yīng)邊角相等；②點(diǎn)的對(duì)稱性：對(duì)稱點(diǎn)連線被對(duì)稱軸（折痕）垂直平分。本文依據(jù)折疊的規(guī)律（折疊部分的圖形折疊前后，折痕成軸對(duì)稱，兩圖形全等）來探究中考題中這種題型的解法。

一、折疊后求圖形的形狀

例1：將一張矩形紙對(duì)折再對(duì)折（如圖），然后沿著圖中的虛線剪下，得到①、②兩部分，將①展開后得到的平面圖形是（ ）

A.矩形 B.三角形 C.梯形 D.菱形

答案：D

例2：用一張矩形紙，如圖1，矩形ABCD紙對(duì)折，設(shè)折痕為MN，再把B點(diǎn)疊在折痕線上，得到Rt?ABE，沿著EB線折疊，得到?EAF（如圖2）。判斷?EAF的形狀。

分析：根據(jù)圖一折疊情況可知，N為CD中點(diǎn)，PN//AD，∵點(diǎn)P是AE的中點(diǎn)，∴在Rt?ABE中PA=PB，∴∠2=∠3。又∵PN//AD，∴∠1=∠3。根據(jù)折疊規(guī)律（如圖3）∠4=∠2，∴∠1=∠2=∠4=30°，∴∠EAF=60°=∠AEF，∴?EAF為等邊三角形?？偨Y(jié)：這類折疊后圖形形狀問題的解決，我們既可以通過動(dòng)手實(shí)踐，操作的方法，迅速得到標(biāo)準(zhǔn)、正確的方法，也可以利用在折疊過程中的軸對(duì)稱性，一步步推導(dǎo)解決。

二、折疊后求角的度數(shù)

例3：（紹興，2004）如圖，一張長(zhǎng)方形紙沿AB對(duì)折，以AB中點(diǎn)O為頂點(diǎn)將平角五等分，并沿五等分的折線折疊，再沿CD剪開，使展開后為正五角星（正五邊形對(duì)角線所構(gòu)成的圖形），則∠OCD等于（ ）

A、108° B、144° C、126° D、129°

分析：這是一道讓學(xué)生動(dòng)手操作的實(shí)踐題目，學(xué)生根據(jù)已有的生活經(jīng)驗(yàn)解題，也可以從最后的五角星圖形中來計(jì)算出答案，應(yīng)選擇C。

例4：（福州，2000）如圖，長(zhǎng)方形ABCD沿AE折疊，使D落在邊BC上的F點(diǎn)處，若∠BAF=60°，則∠DAE= 。

分析：根據(jù)折疊的規(guī)律：可證?ADE≌

?AFE，從而∠DAE=∠FAE=（90-60）÷2=15°?？偨Y(jié)：在折疊問題求角度的計(jì)算中，可以通過折疊得到圖形的全等，進(jìn)而得到角相等，對(duì)于有些題目還可以利用動(dòng)手操作的方法來解決。

三、折疊后求線段的長(zhǎng)度

例5：如圖，折疊長(zhǎng)方形的一邊AD，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的長(zhǎng)。

分析：設(shè)EC=x，則EF=DE=8-x，在Rt?ABF中，AF=AD=10，AB=8，∴BF=6，F(xiàn)C=4，在Rt?EFC中，由勾股定理，得：（8-X）2=X2+16，解得x=3cm。

變式：矩形ABCD中，OA在x軸上，OC在y軸上，且OA=2，AB=5，把△ABC沿著AC對(duì)折得到△AB′C，AB′交y軸于D點(diǎn)，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為 。

解：∵∠BAC=∠B′AC，∠BAC=

∠OCA，∴∠B′AC=∠OCA，∴AD=CD，設(shè)OD=x，AD=5-x，在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理列方程得：22+x2=（5-x）2，解得：x=2.1。總結(jié)：折疊問題，求線段的長(zhǎng)度，往往利用折疊圖形的全等形得到對(duì)應(yīng)邊相等，然后構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求出相應(yīng)邊的長(zhǎng)度，或是利用在同個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊來得到轉(zhuǎn)化。

在折疊問題中，除了求折疊后的圖形形狀、角度、線段長(zhǎng)度外，還有折痕，面積，或是放在平面直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)的坐標(biāo)。折疊的實(shí)質(zhì)問題就是軸對(duì)稱，只需要抓住軸對(duì)稱的性質(zhì)：變換前后的對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，常常與角平分線、中線、線段中垂線、等腰三角形的高相聯(lián)系。

圖形折疊問題中題型的變化比較多，但不難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律： ①圖形的翻折部分在折疊前和折疊后的形狀、大小不變，是全等形；②圖形的翻折部分在折疊錢和折疊后的位置關(guān)于折痕成軸對(duì)稱；③解決折疊問題時(shí)，要抓住圖形之間最本質(zhì)的位置關(guān)系，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關(guān)系；④充分挖掘圖形的幾何性質(zhì)，將其中的基本的數(shù)量關(guān)系，用方程的形式表達(dá)出來，并迅速求解。

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[3]陳厚嵩.中考圖形折疊問題.中學(xué)數(shù)與學(xué)，2007.

作者簡(jiǎn)介：高嵐，杭州市蕭山區(qū)瓜瀝鎮(zhèn)第一初級(jí)中學(xué)。