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    通貨膨脹影響下時間一致的投資策略選擇

    2018-06-27 07:52:58劉文強邱力軍
    關(guān)鍵詞:定理資產(chǎn)文獻

    劉文強,邱力軍,楊 鵬

    (西京學(xué)院理學(xué)院,陜西 西安 710123)

    0 引言

    投資策略選擇問題是數(shù)理金融中一個熱點問題.諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎得主Markowitz[1]第一次給出了投資策略選擇問題,其給出的模型是離散的.最近30年來隨著隨機分析、帶跳的隨機微分方程以及倒向隨機微分方程理論的發(fā)展,越來越多的學(xué)者研究連續(xù)模型中的投資策略選擇問題.文獻[2]引入線性二次控制法來研究最優(yōu)投資問題,在其基礎(chǔ)上,目前已有很多文獻研究了連續(xù)時間投資策略的選擇問題.[3-5]

    近年來,隨著經(jīng)濟社會的發(fā)展,通貨膨脹變得越來越嚴重,人們資金貶值的速度在加快,所以研究基于通貨膨脹影響的投資策略問題有很強的現(xiàn)實意義.在效用最大情形下,文獻[6]考慮了最優(yōu)投資-消費問題;文獻[7]在部分信息下也研究了最優(yōu)投資-消費問題;文獻[8]研究了在均值-方差準則下,通貨膨脹因素的投資策略.

    上述提到的文獻是時間不一致的,研究時間一致的投資策略更有意義.文獻[9]考慮了經(jīng)典保險風(fēng)險的時間一致的均值-方差再保險-投資策略選擇問題;Zeng等[10-11]研究了Heston模型在時間一致情形下的投資策略,并在風(fēng)險資產(chǎn)帶跳情形下,討論了時間一致的最優(yōu)策略選擇問題;文獻[12]也探討了時間一致的投資策略選擇問題,其考慮的風(fēng)險資產(chǎn)滿足CEV模型.另外,還有一些學(xué)者研究類似問題.[13-14]

    基于上面的考慮,本文研究了通貨膨脹影響下時間一致的投資策略.通貨膨脹滿足的隨機微分方程和文獻[6-8]一樣,通貨膨脹影響的處理方式類似于文獻[8].通過使用隨機控制理論,本文構(gòu)造了一個檢驗定理,通過求解檢驗定理得到了時間一致的最優(yōu)投資策略.最后,分析了一些模型參數(shù)對時間一致的最優(yōu)投資策略的影響,解釋了研究結(jié)果在經(jīng)濟學(xué)上的意義.

    1 數(shù)理模型

    設(shè)(Ω,F(xiàn),F(xiàn),P)為完備的附流概率空間.其中:P為概率;流F∶={F(t)|t∈[0,T]}關(guān)于F是右連續(xù),關(guān)于P是完備的.金融市場包含一個無風(fēng)險資產(chǎn)(債券)和一個風(fēng)險資產(chǎn)(股票),假設(shè)在金融市場上進行投資時,不考慮交易費用.無風(fēng)險資產(chǎn)(債券)的價格為B(t),滿足方程dB(t)=r(t)B(t)dt,其中r(t)>0表示利率.風(fēng)險資產(chǎn)(股票)的價格P(t)滿足方程

    dP(t)=P(t)[μ(t)dt+σ(t)dW1(t)].

    這里μ(t)≥r(t)表示風(fēng)險資產(chǎn)的平均收益率,σ(t)>0表示風(fēng)險資產(chǎn)的波動率,{W1(t),t≥0}是標準布朗運動.

    類似文獻[6-8],本文也假設(shè)物價水平L(t)滿足隨機微分方程

    dL(t)=L(t)[a(t)dt+b(t)dW2(t)].

    (1)

    其中:a(t)是期望通貨膨脹率;b(t)為通貨膨脹擴散率;{W2(t),t≥0}是一維標準布朗運動,表示影響物價指數(shù)水平的隨機因素.現(xiàn)實中,影響風(fēng)險資產(chǎn)(股票)價格與影響物價水平的隨機因素可能相關(guān),假設(shè)相關(guān)系數(shù)為ρ(t),即〈W1(t),W2(t)〉=ρ(t).

    設(shè)投資者在時刻t具有財富x(t),投資在風(fēng)險資產(chǎn)上的金額為π(t),余下的資金投資到無風(fēng)險資產(chǎn)(債券)上,所以投資之后盈余過程x(t)滿足如下的隨機微分方程:

    (2)

    由于本文考慮了通貨膨脹影響,假設(shè)考慮通貨膨脹后的真實財富為y(t),y(t)=x(t)/L(t).對y(t)應(yīng)用It公式得到y(tǒng)(t)滿足隨機微分方程

    dy(t)=y(t){[m(t)+n(t)π(t)]dt+σ(t)π(t)dW1(t)-b(t)dW2(t)},

    (3)

    這里m(t)=r(t)-a(t)+b2(t),n(t)=μ(t)-r(t)-b(t)σ(t)ρ(t).

    定義1投資策略π(t)稱為可行的,若滿足:

    (ⅰ)π(t)關(guān)于F循序可測,且為右連左極的;

    (ⅲ) 隨機微分方程(3)關(guān)于策略π(t)有唯一的強解.

    記所有可行的保險和投資策略的集合為Π.

    2 時間一致的最優(yōu)投資策略

    與文獻[10]類似,定義目標函數(shù)為

    (4)

    其中:(t,y)∈T×R;Et,y[·]=E[·|y(t)=y];γ>0為常數(shù),表示投資者的風(fēng)險厭惡系數(shù).

    則稱π*(t,y)為平衡策略,對應(yīng)的平衡值函數(shù)是V(t,y)=V(t,y,π*).

    和文獻[10]一樣,利用定義2得到時間一致策略剛好等于平衡策略;通常的最優(yōu)值函數(shù)恰好等于平衡值函數(shù).下文稱平衡策略u*與平衡值函數(shù)為最優(yōu)時間一致策略和最優(yōu)值函數(shù).

    3 問題求解

    這里對于財富盈余過程(3)求解時間一致的最優(yōu)投資策略與最優(yōu)的值函數(shù).和文獻[13]中的定理2.1或文獻[14]中的定理2.1類似地給出如下的檢驗定理.

    定理1(檢驗定理) 設(shè)F(t,y),G(t,y),H(t,y)定義在[0,T]×R上,它們關(guān)于t連續(xù)、可微,關(guān)于y二階連續(xù)、可微,即F,G,H∈C1,2.如果F,G,H滿足方程:

    (5)

    (6)

    (7)

    則:

    V(t,y)=F(t,y),G(t,y)=Et,y[y(T)],H(t,y)=Et,y[y2(T)];

    (8)

    π*(t)是時間一致的最優(yōu)投資策略,滿足

    證明本定理的證明可參考文獻[13]中的定理2.1或者文獻[11]中的定理2.1,本文不再證明.

    從(4)式和定理1可得

    所以

    H(t,y)=G2(t,y)+0.5γ[G(t,y)-F(t,y)].

    (9)

    綜合考慮盈余過程的結(jié)構(gòu)和邊界條件F(T,y)=y和G(T,y)=y,與文獻[9]與[14]類似地構(gòu)造F(t,y) 和G(t,y)為:

    F(t,y)=A(t)y+B(t)/γ,A(T)=1,B(T)=0;

    (10)

    G(t,y)=C(t)y+D(t)/γ,C(T)=1,D(T)=0.

    (11)

    其偏導(dǎo)數(shù)如下:

    Ft=A′(t)y+B′(t)/γ,F(xiàn)y=A(t),F(xiàn)yy=0;

    Gt=C′(t)y+D′(t)/γ,Gy=C(t),Gyy=0.

    把F(t,y)和G(t,y)的表達式,(9)式,以及上面的各偏導(dǎo)數(shù)代入(5)式得

    (12)

    設(shè)f(π(t))=n(t)y(t)A(t)π(t)-0.5y2(t)C2(t)γ[σ2(t)π2(t)-2b(t)σ(t)π(t)],f(π(t))關(guān)于π(t)求導(dǎo)數(shù)得

    (13)

    將(13)式代入(12)式整理得

    (14)

    從而

    (15)

    (16)

    將(13)式代入(6)式中整理得

    (17)

    (18)

    (19)

    綜合(15)—(18)式,

    (20)

    (21)

    (22)

    通過上述討論有如下定理.

    定理2對于財富過程(3),最優(yōu)的時間一致的投資策略為

    (23)

    平衡值函數(shù)為

    (24)

    在最優(yōu)策略和終止時刻T下,財富過程的方差為

    (25)

    證明結(jié)合(13)和(20)式,可以得到(23)式;由(10),(20)和(21)式,可得(23)式;由(19)—(11)與(20)—(22)式,可以得到(25)式.

    4 數(shù)值算例及經(jīng)濟意義分析

    這里給出模型參數(shù)改變時參數(shù)對最優(yōu)投資策略的影響,同時分析所得到的投資策略對現(xiàn)實中保險人進行再保險和投資的指導(dǎo)意義.

    例1取μ(t)=0.04,r(t)=0.02,σ(t)=0.05,γ=0.2,ρ(t)=0.2,y(t)=10,T-t=2,b(t)=0.4,a(t)∈[0.01,0.04].圖1給出了a(t)對時間一致的最優(yōu)投資策略π*(t)的影響.從圖1可以看出π*(t)關(guān)于a(t)單調(diào)遞增,a(t)是期望通貨膨脹率,說明隨著通脹率的增大,投資人希望加大在風(fēng)險資產(chǎn)上的投資資金,以此減小資金貶值的速度.

    例2取μ(t)=0.04,r(t)=0.02,σ(t)=0.05,γ=0.2,ρ(t)=0.2,y(t)=10,T-t=2,a(t)=0.04,b(t)∈[0.1,0.4].圖2給出了b(t)對時間一致的最優(yōu)投資策略π*(t)的影響.從圖2可以看出π*(t)關(guān)于b(t)單調(diào)遞減,b(t)為通貨膨脹擴散率,也就是說隨著通貨膨脹不確定因素的增加,投資者會減小在風(fēng)險資產(chǎn)上的投資額.

    圖1 a(t)對π*(t)的影響

    例3取a(t)=0.04,r(t)=0.02,σ(t)=0.05,γ=0.2,ρ(t)=0.2,y(t)=10,T-t=2,b(t)=0.4,μ(t)∈[0.03,0.06].圖3給出了μ(t)對時間一致的最優(yōu)投資策略π*(t)的影響.從圖3可得π*(t)是μ(t) 的單調(diào)遞增函數(shù),μ(t)是風(fēng)險資產(chǎn)的平均收益率,表明μ(t)增大投資者從風(fēng)險資產(chǎn)上的投資收益將增大,投資者會冒風(fēng)險進行投資.

    例4取μ(t)=0.04,b(t)=0.4,σ(t)=0.05,γ=0.2,ρ(t)=0.2,y(t)=10,T-t=2,a(t)=0.04,r(t)∈[0.01,0.03].圖4給出了r(t)對時間一致的最優(yōu)投資策略π*(t)的影響.從圖4可得π*(t)是r(t) 的單調(diào)遞減函數(shù),r(t)是無風(fēng)險資產(chǎn)的利率,說明隨著r(t)的增大投資者從無風(fēng)險資產(chǎn)上投資的收益將增加,因此會減少在風(fēng)險資產(chǎn)上的投資金額.

    圖3 μ(t)對π*(t)的影響

    例5取μ(t)=0.04,r(t)=0.02,a(t)=0.04,γ=0.2,ρ(t)=0.2,y(t)=10,T-t=2,b(t)=0.4,σ(t)∈[0.05,0.08].圖5給出了σ(t)對時間一致的最優(yōu)投資策略π*(t)的影響.從圖5可知π*(t)是σ(t) 的單調(diào)遞減函數(shù),σ(t)是風(fēng)險資產(chǎn)的波動率,σ(t)增大表明投資風(fēng)險增大,因此投資者會減少在風(fēng)險資產(chǎn)上的投資金額.

    例6取μ(t)=0.04,r(t)=0.02,σ(t)=0.05,γ=0.2,b(t)=0.4,y(t)=10,T-t=2,a(t)=0.04,ρ(t)∈[-0.2,0.2].圖6給出了ρ(t)對時間一致的最優(yōu)投資策略π*(t)的影響.從圖5可知π*(t)是ρ(t) 的單調(diào)遞減函數(shù),ρ(t)表示風(fēng)險資產(chǎn)和通貨膨脹因素之間的相關(guān)系數(shù),說明隨著相關(guān)性增大,投資者會減少在風(fēng)險資產(chǎn)上的投資金額.

    圖5 σ(t)對π*(t)的影響

    [參 考 文 獻]

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