對(duì)一道幾何題的解法探究及思考

丁堅(jiān)鋒

[摘 要] 幾何動(dòng)態(tài)中的最值問題是初中生較難解決的一類問題，本文通過對(duì)一道試題多種解法的探究，讓學(xué)生從多個(gè)角度去認(rèn)識(shí)問題，洞悉問題的本質(zhì)，使學(xué)生突破思維障礙，開闊思路，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

[關(guān)鍵詞] 幾何動(dòng)態(tài)；最值；解法探究

試題呈現(xiàn)

（2016年江陰市某校月考卷第18題）如圖，Rt△ABC中，AB=AC=4，D為BC中點(diǎn)，E是線段AD上任意一點(diǎn)，將線段EC繞著點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，連接DF，則DF的最小值是______.

解法探究

1. 利用旋轉(zhuǎn)找相似關(guān)系

解法1：如圖2，連接CF，BF，延長(zhǎng)BF、AD交于點(diǎn)G.

因?yàn)榫€段EC繞著點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到線段EF，所以∠ECF=∠EFC=45°.

由Rt△ABC中AB=AC=4，得∠ABC=∠ACB=45°，所以∠ACE=∠BCF.

又因?yàn)?，所以△BCF∽△ACE，則∠CBF=∠CAE=45°.

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合；當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D，點(diǎn)F與點(diǎn)G重合，所以點(diǎn)F在線段BG上運(yùn)動(dòng).

根據(jù)垂線段最短知，當(dāng)DF⊥BG時(shí)，DF的值最小，易求得最小值為2.

2. 利用旋轉(zhuǎn)找全等關(guān)系

解法2：如圖3，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)H，使DH=CD，過點(diǎn)F作FG⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

易證△CDE≌△EGF，則FG=ED，EG=CD=DH，所以GH=DE=FG，故∠FHG=45°.

所以點(diǎn)F在線段BH上運(yùn)動(dòng). （下同解法1）

解法3：如圖4，過點(diǎn)E作AC的垂線交AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥EG于點(diǎn)H，連接BH.

易證△CGE≌△EHF，則EH=CG. 由∠GAE=∠AEG=45°得EG=AG，所以HG=AC=AB.

又因?yàn)锳B∥HG，所以可得四邊形ABHG是矩形，則有∠ABH=∠BHG=90°，故B，H，F(xiàn)共線，∠CBF=45°. （下同解法1）

解法4：如圖5，在CD上截取DG=DE，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)H，使DH=CD，連接EG，F(xiàn)H.

易證△CDE≌△HDG，則HG=CE=EF，∠DHG=∠DCE=∠FEH，所以EF∥HG，所以四邊形EFHG是平行四邊形，因而FH∥EG，故∠EHF=∠GED=45°. （下同解法1）

3. 利用函數(shù)描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡

解法5：如圖6，以BC所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)F作FG⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.由△CDE≌△EGF知FG=ED，CD=EG.

設(shè)F（x，y），則DE=FG=-x，DG=-y，又DG=EG-DE=CD-DE=2+x，所以-y=2+x，即y=-x-2.所以點(diǎn)F在線段y=-x-2（-2≤x≤0）上運(yùn)動(dòng). （下同解法1）

4. 利用軸對(duì)稱尋找數(shù)量關(guān)系

解法6：如圖7，連接BE，BF.

設(shè)∠DCE=α，∠ACE=β，由軸對(duì)稱性知∠EBC=α，∠ABE=β，則∠BEC=90°+2β，∠BEF=∠BEC-∠CEF=2β，∠EBF=90°-β，所以∠DBF=∠EBF-∠DBE=90°-β-α=45°. （下同解法1）

5. 構(gòu)建函數(shù)求最值

解法7：如圖8，過點(diǎn)F作FG⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.由△CDE≌△EGF知FG=ED，CD=EG.

設(shè)FG=x，則ED=x，DG=2-x，由FD2=FG2+DG2得FD2=2（x-）2+4，當(dāng)x=時(shí)，F(xiàn)D的最小值為2.

評(píng)注 筆者將此題作為課外作業(yè)讓學(xué)生去完成，在學(xué)生的解法中出現(xiàn)了解法1、6、7，但用這三種方法解答的學(xué)生不多.有些學(xué)生是用畫圖的方法去猜點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑. 可能是填空題的原因，不少學(xué)生沒有用合情推理或演繹推理的方法去認(rèn)真思考和分析.

思考

1. 對(duì)問題的再思考

與此題類似的試題還有很多，如2012年北京卷第24題：在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中點(diǎn)，P是線段BM上的動(dòng)點(diǎn)，將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PQ.

（1）若α=60°且點(diǎn)P與點(diǎn)M重合（如圖9），線段CQ的延長(zhǎng)線交射線BM于點(diǎn)D，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并寫出∠CDB的度數(shù)；

（2）在圖10中，點(diǎn)P不與點(diǎn)B，M重合，線段CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D，猜想∠CDB的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示），并加以證明；

（3）略.

這題可以看作是將上題中的90°角作一般化處理，但保留了圖形中的數(shù)量關(guān)系.不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)α確定，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)Q始終在一條直線上運(yùn)動(dòng).

筆者通過對(duì)比，發(fā)現(xiàn)其中隱藏著一個(gè)本質(zhì)的東西，從中提煉出一個(gè)數(shù)學(xué)模型：如圖11，點(diǎn)P是線段AB的垂直平分線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP，將BP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，則點(diǎn)Q一定是在經(jīng)過點(diǎn)A的直線上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)Q在直線AB下方，則∠BAQ=α；若點(diǎn)Q在直線AB上方，則∠BAQ=180°-α.

如圖12，連接AP，AQ，結(jié)合三角形內(nèi)角和性質(zhì)不難證明結(jié)論.如果我們重新回到已知，換個(gè)角度看問題，就會(huì)柳暗花明又一村. 如圖13、14，點(diǎn)A，B，Q到點(diǎn)P的距離相等，所以這三個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，點(diǎn)P是圓心. 由圓周角的性質(zhì)分別可以得出∠BAQ=∠BPQ=α和∠BAQ=（360°-∠BPQ）=180°-α，故點(diǎn)Q一定是在經(jīng)過點(diǎn)A的直線上運(yùn)動(dòng).這兩種方法具有一般性.

在教學(xué)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過試題的特征分析、對(duì)比、歸類，將所學(xué)的內(nèi)容整理歸納出類型和方法，經(jīng)過加工提煉出有指導(dǎo)價(jià)值與典型結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生模型識(shí)別能力，讓學(xué)生積累良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

2. 對(duì)解法的再思考

波利亞在《怎樣解題》一書中提到“尋找與你過去所獲知識(shí)之間的聯(lián)系，試著想想過去在類似情況下是什么幫助了你.試著在你考察的過程中認(rèn)出一些你熟悉的東西，試著在你認(rèn)清的東西中發(fā)現(xiàn)一些有用的東西.”這段話告訴我們?nèi)绾螌で笥杏玫慕忸}思路.用框圖表示，如圖15.

例如問題中要求DF的最小值，就要思考點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑是什么，或者DF的數(shù)量與什么有關(guān)，這個(gè)相關(guān)性可否用函數(shù)表示；經(jīng)歷對(duì)已知條件的分析可以聯(lián)系到軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)知識(shí)，聯(lián)想常見的旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等和相似的方法，以及相關(guān)的基本圖形，如“一線三等角”模型.

此題信息豐富，在進(jìn)行信息加工和整合過程中，要收集有益的信息，與要解決的問題進(jìn)行關(guān)聯(lián)比對(duì)，甄別出有效的解題途徑.同時(shí)，還要特別注意關(guān)鍵性的信息，如圖形的軸對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

3. 對(duì)解題教學(xué)的再思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）中提出了10個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，核心素養(yǎng)基于數(shù)學(xué)知識(shí)技能，又高于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)技能. 核心素養(yǎng)反映數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的，具有綜合性、階段性和持久性的特征.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)和內(nèi)容直接相關(guān)，故教師要思考如何通過教材與教學(xué)，落實(shí)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)理解的基礎(chǔ)上，注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)科對(duì)學(xué)生的思維以及對(duì)其認(rèn)識(shí)問題、解決問題思想方法上的影響.

解題訓(xùn)練是提高學(xué)生思維能力，落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，形成數(shù)學(xué)智慧的主要途經(jīng).史寧中教授認(rèn)為，教學(xué)不僅要教給學(xué)生知識(shí)，更要幫助學(xué)生形成智慧.因此解題教學(xué)應(yīng)重視如何分析條件、處理信息、整合信息的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生找到問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題的捷徑.

一題多解作為一種有效的思維訓(xùn)練方法，教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，要適時(shí)適量，要以揭示多解背后隱藏的數(shù)學(xué)思想和方法為側(cè)重點(diǎn)，讓學(xué)生在解題過程中經(jīng)歷理解、內(nèi)化、領(lǐng)悟的過程，逐步將數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)具象化，并形成思維方式.