空間向量出手，“角”的問題無憂

☉江蘇省石莊高級中學(xué) 沈世金

自新教材實(shí)施以來，通過分析近幾年高考考查的立體幾何試題，可以發(fā)現(xiàn)在考查常規(guī)解題方法的同時，更多地關(guān)注向量法（基向量法、坐標(biāo)法）在解題中的應(yīng)用.坐標(biāo)法（法向量的應(yīng)用），以其問題（數(shù)量關(guān)系：空間角、空間距離）處理的簡單化，而成為高考熱點(diǎn)問題.可以預(yù)測到，在今后的高考中，還會繼續(xù)體現(xiàn)法向量的應(yīng)用價值.其中關(guān)于角的計(jì)算，均可歸結(jié)為求兩個向量的夾角問題.例談如下.

視角一：線面角問題

應(yīng)用策略：轉(zhuǎn)化為求直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余角或其補(bǔ)角的余角.

如圖1所示，點(diǎn)P在平面α外，M為α內(nèi)一點(diǎn)，斜線MP和平面α所成的角為θ，n為α的一個法向量，注意到斜線和 平 面 所 成 角 的 范 圍 是 （0°，90°）， 則 有 θ=，結(jié)合向量的夾角公式便可求θ.

圖1

圖2

例1 如圖2，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=PA，O是AC的中點(diǎn)，OP⊥底面ABC，求直線PA與平面PBC所成角的大小.

分析：由圖形中的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，通過求直線PA與平面PBC的法向量所成的角，從而獲得直線PA與平面PBC所成角的大小.

解：因?yàn)锳B=BC，O是AC的中點(diǎn)，所以O(shè)B⊥AC.又因?yàn)镺P⊥底面ABC，所以O(shè)B⊥OP，OC⊥OP.

于是，可以建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，令PA=2，則AB=BC=1.

因?yàn)锳B⊥BC，所以AC=，OA=OB=OC=.

所以直線PA與平面PBC所成角的大小為：

點(diǎn)評：求空間線面角的常規(guī)方法是構(gòu)造直角三角形求解，其關(guān)鍵又是面的垂線.對于圖形中含有垂直關(guān)系的求線面角問題，可以通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用線上的向量與面的法向量的夾角來達(dá)到解決問題的目的，不失為一種簡捷解法.一般地，若設(shè)m是空間直線l上的一條向量，n是平面α的一條法向量，則直線l與平面α所成的角θ的計(jì)算公式是：

視角二：線線角問題

應(yīng)用策略：兩異面直線AB、CD所成的角為向量、所成的角為θ1，由于θ與θ1不一定相等，它們之間關(guān)系是θ=θ1或θ=π-θ1，故

例2 如圖3所示，已知空間四邊形ABCD中，AB2+CD2=AD2+BC2，求異面直線AC與BD所成的角.

分析：從公式a2=|a|2出發(fā)，將線段長度平方之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系.

解：因?yàn)锳B2+CD2=AD2+BC2，

所以AB2-AD2=BC2-CD2.

圖3

所以AC⊥BD.

所以異面直線AC與BD所成的角是90°.

點(diǎn)評：求空間線線角的常規(guī)方法是將相關(guān)的線進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠揭妻D(zhuǎn)化到同一個三角形中求解，到底如何平移空間的線往往不簡單，而向量法思路自然順暢，易于把握.一般地，若設(shè)n，m分別是空間直線l1，l2上兩條向量，則空間直線l1，l2所成的角θ的計(jì)算公式是：θ=

視角三：面面角問題

應(yīng)用策略：設(shè)二面角的平面角為θ，兩半平面α、β的法向量分別m、n，且m、n的夾角為γ，則θ=γ，或θ=π-γ.當(dāng)二面角為銳二面角時，若γ為銳角，則θ=γ，若γ為鈍角，則θ=π-γ；當(dāng)二面角為鈍二面角時，則相反.

例3 如圖4，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD1=DA=AB=1，P、Q分別是CC1、C1D1的中點(diǎn)，求二面角B-PQ-D的大小.

分析：由圖形中的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，通過求兩個平面的法向量的夾角，從而獲得兩個平面所成的二面角的大小.

解：建立如圖4所示的坐標(biāo)系D-xyz，則B（1，1，0），P（ 0， 2 ，），Q（0，1，1），A（1，0，0），=（1，0，0），（-1 ， 1，）=（-1，0，1）.

因?yàn)镈A⊥面PQD，所以是面PDQ的法向量.設(shè)n=（x，y，z）為面BPQ的法向量，則n⊥，n⊥

點(diǎn)評：求二面角大?。臻g面面角等于二面角或其補(bǔ)角）的常規(guī)方法是構(gòu)造三角形求解，其關(guān)鍵又是作出二面角的平面角，往往很不簡單.利用建立空間直角坐標(biāo)系，通過求兩個平面法向量的夾角來達(dá)到解決問題的目的，是一種有效方法.一般地，若設(shè)n，m分別是平面α，β的法向量，則平面α與平面β所成的二面角θ的計(jì)算公式（當(dāng)二面角為銳角、直角時）或θ=π-（當(dāng)二面角為鈍角時），其中銳角、鈍角根據(jù)圖形確定.

在立體幾何學(xué)習(xí)中，我們要多培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，而向量的運(yùn)用為我們拓寬了解決立體幾何問題的角度.不過在向量運(yùn)用過程中，首先要建系，建系要建得合理，最好依托題目的圖形，坐標(biāo)才會容易求得.彌補(bǔ)空間想像能力的不足，發(fā)揮代數(shù)運(yùn)算的長處，深入開發(fā)它的解題功能，平面法向量將在數(shù)學(xué)解題中起到越來越大的作用.

1.劉進(jìn).空間角的解題方法研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（下旬），2017（24）.

2.范廣法.用四點(diǎn)向量定理破解空間角難題［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2017（03）.

3.余志.“棱法向量”求二面角［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2017（03）.F