也談含絕對(duì)值不等式恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化策略

☉南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校 游明波

一、看過(guò)來(lái)——一類(lèi)問(wèn)題，廣受關(guān)注

絕對(duì)值、不等式、含參數(shù)、恒成立，一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題若涉及其中的某一點(diǎn)，解決起來(lái)可能就不太順利，如果全部涵蓋這四點(diǎn)，其難度可想而知了！形如“|f（x，a）|＞g（x）恒成立”的問(wèn)題就是全部涵蓋絕對(duì)值、不等式、含參數(shù)和恒成立的較復(fù)雜的問(wèn)題.近年以來(lái)，諸多文獻(xiàn)都圍繞“如何直接去絕對(duì)值符號(hào)實(shí)施簡(jiǎn)明的轉(zhuǎn)化”進(jìn)行了有效的思考，引發(fā)了廣泛的討論，這說(shuō)明該類(lèi)問(wèn)題的求解一直困擾著解題者和一線的教師.

文1所做的解法探究和題型歸納非常全面，讓解題者有章可循，但探究和歸納僅限于能夠參數(shù)分離的情形，而且并未進(jìn)行嚴(yán)格論證，從而導(dǎo)致出現(xiàn)應(yīng)用的困惑（比如涉及分段函數(shù)的情形）.文2、3提出了若干的結(jié)論并進(jìn)行了演繹論證，但對(duì)錯(cuò)解的分析不夠簡(jiǎn)練，所做的研究也僅局限于連續(xù)函數(shù)，而且結(jié)論有待改進(jìn).文4分別對(duì)文1、2中的錯(cuò)解進(jìn)行了再分析，但并未將問(wèn)題拓展、將結(jié)論引申，而且同樣是局限于能夠參數(shù)分離的情形.

分析文1～6不難發(fā)現(xiàn)，研究者對(duì)結(jié)論“|f（x，a）|＜g（x）恒成立（或能成立）等價(jià)于-g（x）＜f（x，a）＜g（x）恒成立（或能成立）”無(wú)異議，討論的問(wèn)題主要集中在：“不等式|f（x，a）|＞g（x）恒成立（或能成立）”如何等價(jià)轉(zhuǎn)化？本文對(duì)已有文獻(xiàn)中的錯(cuò)解分析進(jìn)行了再分析，找出了錯(cuò)解的根源，同時(shí)提出直接去絕對(duì)值符號(hào)實(shí)施簡(jiǎn)明轉(zhuǎn)化的策略，并且該解法能夠涵蓋參數(shù)不能分離的情形和非連續(xù)函數(shù)的情形.

二、說(shuō)開(kāi)來(lái)——直接轉(zhuǎn)化，有理可依

引理：|f（x，a）|＜g（x）等價(jià)于-g（x）＜f（x，a）＜g（x）.

證明：|f（x，a）|＜g（x）成立等價(jià)于成立.顯然g（x）必須恒為正，于是又等價(jià)于0≤f（x，a）＜g（x）成立，或-g（x）＜f（x，a）＜0成立，從而等價(jià)于-g（x）＜f（x，a）＜g（x）.命題得證.

引理的證明是通過(guò)分類(lèi)討論去絕對(duì)值符號(hào)的方法，這里要特別注意g（x）必須恒為正，否則問(wèn)題就無(wú)意義了，當(dāng)然解不等式|f（x）|＜g（x）就不需要考慮g（x）的符號(hào).不難看出，形如|f（x，a）|＜g（x）的不等式恒成立問(wèn)題或者能成立問(wèn)題，均可以用引理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以達(dá)到直接去絕對(duì)值符號(hào)之目的.

關(guān)于“|f（x，a）|＜g（x）恒成立”與“|f（x，a）|＞g（x）恒成立”的問(wèn)題，之所以不能形成相對(duì)統(tǒng)一的轉(zhuǎn)化策略，筆者分析認(rèn)為，造成這種解法差異的原因表面上是不等號(hào)的方向不同，其實(shí)質(zhì)是，不等式|f（x，a）|＜g（x）恒成立時(shí)g（x）的函數(shù)值必須恒為正，也就是說(shuō)只能在g（x）＞0的前提下考慮問(wèn)題；而不等式|f（x，a）|＞g（x）恒成立時(shí)g（x）的函數(shù)值的符號(hào)對(duì)條件所給x的范圍無(wú)制約作用，比如，當(dāng)g（x）≤0時(shí)是不需要考慮的（此時(shí)a∈R），但是卻在無(wú)意中考慮了（見(jiàn)文4中的解答A），再比如，分段函數(shù)的情形（見(jiàn)文5），這樣一來(lái)，就相當(dāng)于弱化了事實(shí)上的條件，所以求出來(lái)的參數(shù)的取值范圍就會(huì)變小.在引理和錯(cuò)解分析的基礎(chǔ)上，本文提出如下定理.

定理：設(shè)函數(shù)f（x，a）（a為常數(shù)）和g（x）的定義域均為A，不等式g（x）＞0的解集為B，且A∩B≠?，記D=A∩B，則存在x∈A，使得|f（x，a）|＜g（x）成立的充要條件是存在x∈D，使得-g（x）＜f（x，a）＜g（x）成立.

證明：（1）充分性：若存在x∈D，則x∈B，g（x）＞0，從而-g（x）＜f（x，a）＜g（x）可化為|f（x，a）|＜g（x），所以，存在x∈D?A，即存在x∈A，使得|f（x，a）|＜g（x）成立.

（2）必要性：若x∈A，當(dāng)x?D，即x?B時(shí)，則g（x）≤0，不等式|f（x，a）|＜g（x）不成立；當(dāng)x∈D時(shí)，g（x）＞0，不等式|f（x，a）|＜g（x）可化為-g（x）＜f（x，a）＜g（x），所以，存在x∈D，使得-g（x）＜f（x，a）＜g（x）成立.

說(shuō)明：若不等式為|f（x，a）|≤g（x），則定理中其余不等式處處帶等號(hào).

該定理為解決形如“|f（x，a）|＜g（x）能成立”的問(wèn)題提供了有效的轉(zhuǎn)化策略，基于此，形如“|f（x，a）|＞g（x）恒成立”的問(wèn)題就能迎刃而解.由數(shù)理邏輯知識(shí)中的命題的否定形式，容易得到如下結(jié)論.

結(jié)論：設(shè)函數(shù)f（x，a）（a為常數(shù)）和g（x）的定義域均為A，已知命題p：存在x∈A，使得|f（x，a）|≤g（x）成立時(shí)a∈E；命題q：對(duì)任意的x∈A，|f（x，a）|＞g（x）恒成立時(shí)a∈RE，則命題p與命題q等價(jià).

三、用起來(lái)——以簡(jiǎn)馭繁，從容面對(duì)

例1 若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

這是文1和文4均研究過(guò)的例題，運(yùn)用上述“結(jié)論”不難得到如下簡(jiǎn)潔的解法：

例2 已知不等式|a-2x|＞x-1對(duì)x∈［0，2］恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

這是文2、3、6均研究過(guò)的經(jīng)典例題，同樣運(yùn)用上述“結(jié)論”有如下簡(jiǎn)潔的解法：

先考慮問(wèn)題的反面：存在x∈［0，2］，使得不等式|a-2x|≤x-1能成立.由x-1≥0及x∈［0，2］得到x∈［1，2］，由|a-2x|≤x-1，可得1-x≤a-2x≤x-1，即1+x≤a≤3x-1，所以存在x∈［1，2］，使得1+x≤a≤3x-1成立，從而2≤a≤5.所以原問(wèn)題中a的取值范圍是（-∞，2）∪（5，+∞）.

例3 如果f（x）=|f（x）|≥2在x∈（0，2］上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

這是文5研究過(guò)的例題，也是典型的非連續(xù)函數(shù)的情形，上述“結(jié)論”同樣適用.

解析：當(dāng)x∈（0，1］時(shí)，|（fx）|=2≥2恒成立，此時(shí)a∈R.

當(dāng)x∈（1，2］時(shí)，|（fx）|=|ax-2|≥2恒成立，先考慮問(wèn)題的反面：存在x∈（1，2］，使得不等式|ax-2|＜2能成立.即存在x∈（1，2］，使得0＜a＜成立，從而0＜a＜4.此時(shí)原問(wèn)題中的a∈（-∞，0］∪［4，+∞）.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0］∪［4，+∞）.

四、疑再來(lái)——疑而后思，亦喜亦憂

參數(shù)分離法是解決不等式恒成立問(wèn)題的重要方法，也倍受研究者青睞，筆者在研究時(shí)突生疑問(wèn)：參數(shù)不能分離怎么辦？帶著疑問(wèn)筆者經(jīng)歷了“尋題”、“編題”之旅，最終在例2的基礎(chǔ)上進(jìn)行改編得到如下新題.

例4 已知不等式|ax-2+a2|＞x-1對(duì)x∈［0，2］恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：先考慮：存在x∈［0，2］使得|ax-2+a2|≤x-1成立時(shí)，求出a的取值范圍.由上述“定理”等價(jià)轉(zhuǎn)化為：存在x∈［1，2］使得|ax-2+a2|≤x-1成立時(shí)，求出a的取值范圍.從而得到，存在x∈［1，2］使得-x+1≤ax-2+a2≤x-1成立.記（fx）=（a-1）x+a2-1，g（x）=（a+1）x+a2-3，所以，存在x∈［1，2］使得（fx）≤0和g（x）≥0同時(shí)成立.

（1）當(dāng)a≤-1時(shí)，（fx），g（x）均為減函數(shù)，則（f2）≤0且g（1）≥0，解得-3≤a≤-2；

（2）當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，（fx）為減函數(shù)，g（x）為增函數(shù)，則（f2）≤0且g（2）≥0，解得-1+≤a＜1；

（3）當(dāng)a≥1時(shí)，（fx），g（x）均為增函數(shù)，則（f1）≤0且g（2）≥0，解得a=1.

綜上（1）（2）（3）求并集得a的取值范圍為［-3，-2］∪［-1+，1］.所以原問(wèn)題中a的取值范圍為（-∞，-3）∪（-2，-1+）∪（1，+∞）.

題目完滿解決，筆者感慨頗多.處理好含絕對(duì)值且含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，需要綜合運(yùn)用集合思想、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論等多種數(shù)學(xué)思想方法，只有找到錯(cuò)解的根源，從數(shù)學(xué)本質(zhì)上去把握問(wèn)題，才可能以簡(jiǎn)馭繁，從容面對(duì).可以看出，“|f（x，a）|＞g（x）的不等式恒成立問(wèn)題”是對(duì)文1～6中涉及的“|a-f（x）|＞g（x）的不等式恒成立問(wèn)題”的改進(jìn)和推廣.此時(shí)，筆者仍然在思考另外一個(gè)問(wèn)題：“形如|f（x，a）|＞g（x，a）的不等式恒成立問(wèn)題”又該如何求解？例如，已知關(guān)于x的不等式|x-a|+＞ax對(duì)x∈［1，2］恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.有沒(méi)有直接去絕對(duì)值符號(hào)實(shí)施簡(jiǎn)明轉(zhuǎn)化的依據(jù)？期待與大家進(jìn)一步探討！

最后，借用羅增儒教授的一句話與大家共勉——解題教學(xué)有范圍，解題研究無(wú)禁區(qū).

1.錢(qián)江.再談|f（x）|＜g（x）和|f（x）|＞g（x）型不等式解法及推廣［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2014（12）.

2.蘇劼.含絕對(duì)值不等式的“轉(zhuǎn)化”錯(cuò)了嗎——一類(lèi)恒成立問(wèn)題錯(cuò)誤之剖析［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（1）.

3.劉鴻春.一類(lèi)絕對(duì)值不等式恒成立的等價(jià)性探究［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2015（3）.

4.汪正文.一類(lèi)絕對(duì)值不等式恒成立問(wèn)題的求解策略——從一道統(tǒng)測(cè)題的錯(cuò)解分析談起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2016（12）.

5.李乃洋.擱置爭(zhēng)議 走出誤區(qū)——一道含絕對(duì)值的不等式恒成立問(wèn)題學(xué)生解題指導(dǎo) ［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（中等數(shù)學(xué)），2013（8）.

6.黃曉英.一類(lèi)不等式恒成立問(wèn)題的研究綜述［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2012（2）.F