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      基于Biot機(jī)制的孔隙介質(zhì)地震波傳播特征研究

      2018-06-19 08:28:58李倩宇李紅星章晨望徐文斌樊嘉偉梅振繁
      西部探礦工程 2018年6期
      關(guān)鍵詞:波場縱波介質(zhì)

      李倩宇,李紅星,黃 宇,章晨望,徐文斌,樊嘉偉,梅振繁

      (東華理工大學(xué)地球物理與測控技術(shù)學(xué)院,江西南昌330013)

      為了滿足日益增長的勘探需求,以及研究地震波傳播過程中的衰減及頻散等問題,國外早在20世紀(jì)中葉開展有關(guān)雙相孔隙介質(zhì)的相關(guān)科研工作。Gassmann于1951年提出了Gassmann理論[1],將孔隙度這個概念引入;1956年Biot建立了Biot理論,并首次預(yù)言慢縱波的存在[2-3];Panneton等人對其進(jìn)行改進(jìn),實現(xiàn)了Biot模型的三維波場正演模擬[4];Stoll等人對Biot模型進(jìn)行改進(jìn),建立了Biot-Stoll模型[5];Dvorkin等人將Biot流動機(jī)制和噴射流動機(jī)制綜合考慮,即結(jié)合固流相相互作用的力學(xué)機(jī)制,提出了BISQ(Biot-squirt)模型[6],其能夠較好反映孔隙介質(zhì)中彈性波的傳播規(guī)律;Nicholas Chotiros在Biot和BISQ模型的基礎(chǔ)上建立了BICSQS模型[7]。與國外相比,國內(nèi)對雙相孔隙介質(zhì)的研究開展較晚,門福錄于1965年最早開始相關(guān)研究[8];隨后唐應(yīng)吾、劉銀斌、牟永光等人也相繼展開研究,這一系列孔隙介質(zhì)理論為油氣等資源的勘探提供了極其重要的理論支持[9]。本文基于Biot機(jī)制對地震波的傳播進(jìn)行數(shù)值模擬,取得較好效果,之后對其波場特征進(jìn)行分析。并且基于Biot模型探討波速、衰減與頻率的相關(guān)性。

      1 Biot模型地震波傳播數(shù)值模擬

      1.1 交錯網(wǎng)格差分方法

      平衡方程(應(yīng)力部分):

      幾何關(guān)系(應(yīng)變部分):

      應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系:

      二維下,彈性介質(zhì)中質(zhì)點在x、z軸方向上的速度分量如果用Vx、Vz表示的話,那么,在外力為零時的介質(zhì)部分:

      將式(2)和Vx、Vz代入式(3)并對時間t求導(dǎo)可得一階微分方程組:

      將方程組(4)和(5)聯(lián)合,便可得到質(zhì)點速度和應(yīng)力表示的一階彈性波波方程:

      在時間上,使用二階中心差分對式(6)進(jìn)行差分離散;在空間上,采用任意高階差分:

      其中:

      其余各式同理,其中為交錯網(wǎng)格差分系數(shù)。

      從交錯網(wǎng)格差分格式可看出,Vx、Vz在 (k+1/2)Δt時取得式(k-1)Δt時刻 σxx、σzz、σzx的值,而應(yīng)力張量Vx、Vz則在 kΔt時取得式在 (k+1/2)Δt的值。在程序設(shè)計時,這點顯得尤為重要,理解交錯網(wǎng)格的意義不僅僅是空間上的交錯,同時還有時間上的交錯,這才是交錯網(wǎng)格最特別的地方。

      1.2 完全匹配邊界條件

      在利用計算機(jī)進(jìn)行波動方程數(shù)值模擬時,有個不可避免的問題,那就是邊界問題,因為需要在空間域選取一個有限范圍。學(xué)者們通常會在有限區(qū)域的外圍增加邊界吸收條件,其目的是盡可能利用有限計算區(qū)域,實現(xiàn)更為真實的無限空間的波動特征,那么如何有效設(shè)置人為邊界對數(shù)值模擬的可靠程度及精確度至關(guān)重要。

      在理論意義上,可以完全吸收任意角度、任意頻率入射的波動則稱為完全匹配層。由JP.Berenger在計算電磁場有限域波動問題中首先引入。迄今為止,比較系統(tǒng)的基于二階線性雙曲型偏微分彈性動力方程是仍然缺少的。在這給出Collino的二維各向同性介質(zhì)PML吸收邊界條件與交錯網(wǎng)格差分格式,這很重要,它能夠在各向異性介質(zhì)彈性波場模擬中運用,得到的效果比較好。

      下列方程組為波動控制方程的一種形式,可以根據(jù)它得到不同形式的波動模型:

      式中:A、B——m×m維矩陣;

      ν——m維向量。

      引入一個新變量,能夠?qū)⒋蠼鈫栴}表達(dá)式改寫成如下格式:

      其中,‖為只保留與交界面方向平行的偏導(dǎo)數(shù)分量。如對y軸求偏導(dǎo)(而⊥則為只保留x軸的偏導(dǎo)分量)。

      設(shè)下軸方向上的阻尼因子為d(x),另外有個新變量,它對與交界面成法向的波動分量上施加阻尼,使左半空間的解答滿足系統(tǒng)在右半空間新波動的解答,這樣一個波動變量u同時被定義[10]。

      于是,使u滿足下列控制方程是非常重要的:

      和:

      在頻域內(nèi),由(11)式可以得到:

      由(12)式可以得到:

      對自變量作復(fù)變換如下:

      現(xiàn)在利用平面諧波解來研究該模型特性,設(shè):

      其中,iν0w-iAν0kx-iBν0ky=0 ,用相同方法,能夠找到式(12)的一組特解:

      式(12)的解,u‖和u⊥需滿足條件如下:

      取a‖+a⊥=ν0,即:

      平面波動系統(tǒng)(11)的解可以寫成如下形式:

      并且滿足下列條件:

      (1)左半空間內(nèi),u≡v x≤0,可以保證在界面處無反射;

      (2)右半空間內(nèi),u因為受到阻尼影響,發(fā)生衰減;

      (3)完全匹配吸收層內(nèi),阻尼系數(shù)如下所示:

      1.3 交錯網(wǎng)格算法流程圖

      對有限差分法的技術(shù)路線(見圖1)和實現(xiàn)步驟進(jìn)行研究后,能發(fā)現(xiàn)有限差分法的實現(xiàn)相對簡單并且模擬出的效果也比較好,因此本文在對其深入研究的基礎(chǔ)上,得到了令人滿意的效果。

      圖1 交錯網(wǎng)格差分算法流程圖[10]

      1.4 Biot地震波傳播數(shù)值模擬

      根據(jù)Biot模型建立相關(guān)地質(zhì)模型,數(shù)值模擬結(jié)果見圖2。

      從圖2中的模擬結(jié)果可以清晰看出快縱波、慢縱波及橫波。對固流兩相的波場快照進(jìn)行分析,可以得到兩者快縱波的波形相位具有一致性,與單相介質(zhì)中的縱波類似。而固流兩相中慢縱波的波形呈現(xiàn)出相位相反的特征。

      2 Biot模型波速和衰減特征分析

      2.1 孔隙介質(zhì)相速度和衰減

      Biot機(jī)制基于孔隙介質(zhì)的雙相特性,提出了流體的粘滯性對孔隙流體相對運動產(chǎn)生影響,并造成彈性波在孔隙介質(zhì)內(nèi)傳播過程中逐漸衰減。Biot理論模型利用變分原理得到的波動方程來自流體孔隙介質(zhì)中波的傳播,之后對地震波在流體孔隙介質(zhì)中的傳播進(jìn)行理論預(yù)測,發(fā)現(xiàn)存在3種體波:快縱波、慢縱波及橫波,三者中快縱波頻散相對較小,而慢縱波在傳播過程中衰減與耗散嚴(yán)重。

      Stoll用勢Φs、Φf、Ψs、Ψf定義固體骨架的位移向量u及液體的位移向量U:

      圖2 孔隙介質(zhì)地震波場快照

      ?為沉積物孔隙度。Biot關(guān)于標(biāo)量勢的方程(用平面波解exp[i(k·x-ωt)]):

      式中:k——波數(shù)

      α——構(gòu)造常數(shù)或曲度因子;

      κ——滲透率;

      η——孔隙液體粘滯系數(shù);

      ρs——沉積物顆粒密度;

      ρf——孔隙液體密度。

      并有:

      式中:f——頻率;

      c——波速;

      ρ——沉積物總體密度;

      F——隨頻率增高的泊肅葉流偏移;

      Kf——孔隙液體體積模量;

      Ks——沉積物顆粒體積模量;

      μ——框架剪切模量。

      假定孔隙是圓筒狀,Biot可得F的表達(dá)式:

      式中:a——孔隙尺寸參數(shù)。

      由上述方程可得:

      其中,O=MH-C2,P=2BC-EM-AH ,Q=

      由方程(23)可得:

      其中:

      則縱波相速度和衰減可表示為:

      在Kb=0,μ=0的特殊情況時(海底沉積物的這兩項值比 Ks小得多,大多情況下可以忽略),C=M=H ,形成EDF模型:

      2.2 波速和衰減數(shù)值分析

      通過對孔隙度、粘滯系數(shù)、孔隙氣體含量等參數(shù)依次進(jìn)行改變,分析其縱波衰減和相速度隨頻率發(fā)生的變化,可以就上述參數(shù)對地震波衰減特征的影響進(jìn)行探討,并且在理論上對地震波衰減特征進(jìn)行分析。

      起初對Biot模型中孔隙度、孔隙氣體含量、粘滯系數(shù)對速度的影響進(jìn)行探討。數(shù)值分析中所用的頻率范圍為1~108Hz,孔隙度依次選擇20%、40%及60%,分別選取0.1Pa·s、0.01Pa·s和0.001Pa·s作為粘滯系數(shù),氣體含量則取0、0.1及0.2,為了研究它們對地震波衰減的影響,因此對這些參數(shù)值進(jìn)行改變。

      從圖3~圖5中分析可知,Biot模型速度在低頻段上基本保持穩(wěn)定,不過也存在著不足之處,那就是頻散相對來說較明顯;同時,Biot模型速度在頻率增大的同時也在增大,這能從速度與頻率的關(guān)系中分析得到。頻段相同的條件下,孔隙度、孔隙氣體和粘滯系數(shù)都與速度成反比。不同于速度的是,孔隙度、孔隙氣體含量和粘滯系數(shù)對衰減幾乎沒有影響,并且衰減與頻率成正比,103Hz作為頻率的一個分界點,衰減在不超過這個頻率的范圍內(nèi)穩(wěn)定增大,超過這個頻率后,衰減增長的速度變緩慢。

      3 結(jié)論

      (1)本文利用較易實現(xiàn)的有限差分法數(shù)值模擬Bi?ot模型地震波場,快縱波、慢縱波及橫波都可以從模擬結(jié)果中清晰看出。通過比較流相與固相的波場快照,可以看出兩者快縱波的波形相位一致,而慢縱波在固

      圖3 不同粘滯系數(shù)下頻率與衰減和速度關(guān)系

      圖4 不同孔隙度下頻率與速度和衰減關(guān)系

      圖5 不同孔隙氣體含量下頻率與速度和衰減關(guān)系

      相與流相中的波形則表現(xiàn)出相位相反的特征。在固相波場中,橫波波形最明顯,能量最強(qiáng);在流相波場中,慢縱波比快縱波及橫波更清晰,這是不言而喻的。

      (2)分析Biot模型速度與衰減的關(guān)系,顯而易見,Biot模型速度在低頻段上基本保持穩(wěn)定,不過也存在著不足之處,那就是頻散相對來說較明顯;同時,Biot模型速度在頻率增大的同時也在增大,這能從速度與頻率的關(guān)系中分析得到。頻段相同的條件下,孔隙度、孔隙氣體和粘滯系數(shù)都與速度成反比。不同于速度的是,孔隙度、孔隙氣體含量和粘滯系數(shù)對衰減幾乎沒有影響,并且衰減與頻率成正比,103Hz作為頻率的一個分界點,衰減在不超過這個頻率的范圍內(nèi)穩(wěn)定增大,超過這個頻率后,衰減增長的速度變緩慢。

      [1]Gassmann F. über die Elastizit?t Por?ser Medien[J].Vier?teljschr.naturforsch.ges.zürich,1951,96(96):1-23.

      [2]Biot M A.Theory of Propagation of Elastic Waves in a Fluid-Saturated Porous Solid.I.Low-Frequency Range[J].Journal of the Acoustical Society of America,1956,28(2):168-178.

      [3]Biot M A.Theory of Propagation of Elastic Waves in a Fluid-Saturated Porous Solid.II.Higher Frequency Range[J].Journal of the Acoustical Society of America,1956,28(2):179-191.

      [4]吳從輝,李紅星,李勤武,等.基于波場分離的雙相各向同性介質(zhì)正演模擬[J].東華理工大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2017(1):58-65.

      [5]Stoll R D,Bryan G M.Wave Attenuation in Saturated Sedi?ments[J].Journal of the Acoustical Society of America,1970,47:1440-1447.

      [6]Dvorkin J,Nur A.Dynamic poroelasticity:a Unified Model with the Squirt and the Biot Mechanisms[J].Geophysics,1993,58(4):524-533.

      [7]Chotiros N P.An Inversion for Biot Parameters in Water-satu?rated Sand[J].Journal of the Acoustical Society of America,2002,112(5):1853-1868.

      [8]門福錄.波在飽水孔隙彈性介質(zhì)中的傳播[J].地球物理學(xué)報,1965:107-114.

      [9]李紅星.杭州灣沉積物原位聲學(xué)特性分析及淺表低速層研究[D].吉林大學(xué),2008.

      [10]梅振繁.雙相介質(zhì)地震波場模擬與特征分析[D].東華理工大學(xué),2014.

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