讓導(dǎo)數(shù)教學(xué)散發(fā)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值

彭國榮

【摘要】導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的最基礎(chǔ)和重要的概念之一，不僅可以解決數(shù)學(xué)問題還可以解決物理、工程、技術(shù)、科研、國防、醫(yī)學(xué)、環(huán)保、經(jīng)濟(jì)管理中的很多問題。本文通過典型的案例分析，介紹了導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值。有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活和其他學(xué)科的密切聯(lián)系，了解導(dǎo)數(shù)在刻畫和解決實(shí)際問題中的作用，認(rèn)識數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】應(yīng)用價(jià)值 導(dǎo)數(shù) 實(shí)例 經(jīng)濟(jì)學(xué)

【中圖分類號】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）12-0127-02

為培養(yǎng)應(yīng)用型，創(chuàng)造型人才對高等數(shù)學(xué)教學(xué)也提出了新的期望和要求。高等數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)和最重要的概念之一，是很好的體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的載體。本文挖掘?qū)?shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用元素，讓導(dǎo)數(shù)教學(xué)散發(fā)出高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化魅力。

一、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中散發(fā)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的必要性

一直以來很多學(xué)生都覺得高等數(shù)學(xué)很枯燥乏味。經(jīng)過調(diào)查，絕大部分學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)與日常生活無關(guān)、公式很煩，他們覺得自己是被迫而學(xué)，他們基本上不知道學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真正目的和用處。如果一個(gè)人做一件事情不知道為什么要去做，那么很難對此產(chǎn)生興趣的。因此，教師教學(xué)過程中較少涉及高等數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，這極易影響學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的全面認(rèn)識，對高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生偏見。因而，如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值是值得每個(gè)教師深思的問題。導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的和重要概念之一，是很好的體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的載體，它是刻畫函數(shù)運(yùn)動的一種重要的數(shù)學(xué)工具。在工程、技術(shù)、科研、國防、醫(yī)藥、環(huán)保、經(jīng)濟(jì)管理等諸多領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是學(xué)習(xí)其它專業(yè)的重要工具，也是學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的有力工具。有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)建模的能力。導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)與實(shí)際生活以及其他學(xué)科的緊密聯(lián)系，了解導(dǎo)數(shù)在刻畫和解決實(shí)際問題中的作用，認(rèn)識數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

二、導(dǎo)數(shù)的定義與導(dǎo)數(shù)與經(jīng)濟(jì)學(xué)知識的關(guān)系

1.導(dǎo)數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處取得增量（點(diǎn)仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)取得增量；如果與之比當(dāng)時(shí)極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為在處的導(dǎo)數(shù)[1]，記為，即

2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

四則運(yùn)算法則：如果函數(shù)即在點(diǎn)都具有導(dǎo)數(shù)，那么它們的和、差、積、商（除分母為零的點(diǎn)外）都在具有導(dǎo)數(shù)[2]，且

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：如果在點(diǎn)可導(dǎo)，而在點(diǎn)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為。

3.導(dǎo)數(shù)與經(jīng)濟(jì)知識的關(guān)系

數(shù)學(xué)的表象是數(shù)字和數(shù)字之間的運(yùn)算和變化，其實(shí)質(zhì)上是從自然事件和其普遍聯(lián)系中抽象出來的概念，任何事物所處的狀態(tài)、經(jīng)歷的過程變化、事物與事物之間的聯(lián)系及其他的自然現(xiàn)象都可以用數(shù)學(xué)的概念、公式和算法表征出來。經(jīng)濟(jì)學(xué)涉及很多公式和規(guī)律，這些公式和規(guī)律可以借助數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來。因此數(shù)學(xué)知識在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有著舉足輕重的作用，導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算作為高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中也有著非常重要的作用。隨著教學(xué)改革的不斷推進(jìn)，應(yīng)用數(shù)學(xué)處理經(jīng)濟(jì)問題的能力也成為考查學(xué)生學(xué)習(xí)水平重要方式之一。

三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用的實(shí)例分析

1.利用導(dǎo)數(shù)求邊際成本

邊際成本是成本對產(chǎn)量的變化率，設(shè)成本函數(shù)，為產(chǎn)量，邊際成本：。的意義是產(chǎn)量在水平的基礎(chǔ)上，產(chǎn)量每變化1個(gè)單位時(shí)，所引起的總成本的改變量為。

如：某廠某商品的成本函數(shù)，求當(dāng)時(shí)的總成本、平均成本和邊際成本。

當(dāng)時(shí)，總成本：，

平均成本函數(shù)：，

邊際成本函數(shù)：，則.

本題中邊際成本的的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義是當(dāng)產(chǎn)量在20個(gè)單位的基礎(chǔ)上，再生產(chǎn)1個(gè)單位的產(chǎn)品，總成本增加2.5個(gè)單位，即生產(chǎn)第21個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)，所需成本是2.5個(gè)單位。

2.利用導(dǎo)數(shù)求邊際收益

邊際收益是收益對銷量的變化率。若總收益對對向量的函數(shù)為，則邊際收益：.表示在銷量的基礎(chǔ)上，再多銷售1個(gè)單位產(chǎn)品所引起的收益增量為個(gè)單位。

如：已知某廠某商品的市場需求函數(shù)為，是產(chǎn)品的銷售價(jià)格，是市場需求量，求該商品的邊際收益函數(shù)，以及分別銷售150個(gè)單位、600個(gè)單位、750個(gè)單位的邊際收益。

總收益：

邊際收益：

本題的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義是當(dāng)銷售為100件時(shí)，，說明增加銷量總收益會增加，而且多銷售一個(gè)單位，總收益會增加300個(gè)單位。當(dāng)銷售為600個(gè)單位時(shí)；，說明此時(shí)銷售量是最佳銷售量，可以使總收益達(dá)到最大化，再增加銷量總收益不會增加；當(dāng)銷售量為750個(gè)單位時(shí)，，說明此時(shí)增加銷售量，總收益會減少，再銷售一個(gè)單位，總收益減少100個(gè)單位。

3.利用導(dǎo)數(shù)求最大利潤

邊際利潤是收益對銷量的變化率。若總利潤對銷量的的函數(shù)為，邊際利潤。的意義是銷售量為時(shí)，再多小時(shí)一個(gè)單位產(chǎn)品引起的總利潤改變量為。

，于是取得最大值的必要條件是，即。

取得最大值的充分條件是，即，從而當(dāng)銷量滿足且時(shí)，利潤達(dá)到最大化。

四、結(jié)語

導(dǎo)數(shù)可以應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)的方方面面，借助導(dǎo)數(shù)的定義和算法，不僅可以加深學(xué)生對相關(guān)經(jīng)濟(jì)學(xué)概念、原理、規(guī)律的理解，而且可以更加深人的了解和掌握經(jīng)濟(jì)學(xué)中關(guān)于變化的過程和狀態(tài)。在經(jīng)濟(jì)教學(xué)中有針對性的滲透數(shù)學(xué)知識，不僅可以加深學(xué)生對經(jīng)濟(jì)學(xué)概念的理解，而且也是將數(shù)學(xué)知識運(yùn)動到生活中解決現(xiàn)實(shí)問題的重要實(shí)踐。素質(zhì)教育的目標(biāo)是培養(yǎng)能獨(dú)立思考、具有創(chuàng)新思維并會解決實(shí)際問題的復(fù)合型人才。因此，教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的引路人，要與時(shí)俱進(jìn)，從學(xué)科之間的交叉關(guān)聯(lián)人手，積極思考、嘗試、創(chuàng)新多學(xué)科綜合教學(xué)方法，在引領(lǐng)學(xué)生獲得知識的同時(shí)，提升其創(chuàng)新思維和多學(xué)科綜合解決實(shí)際問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2005.

課題項(xiàng)目：湖北民族學(xué)院教學(xué)研究一般項(xiàng)目《民族預(yù)科數(shù)學(xué)課程價(jià)值取向研究》編號：2017JY010。