“數(shù)線段”的建模教學(xué)嘗試

□朱小艷

有一次，曾觀摩一位老師在教學(xué)北師大版四年級上冊“數(shù)學(xué)好玩”之三“數(shù)圖形學(xué)問”。當教學(xué)行進到3+2+1=？時，幾乎所有學(xué)生按教師“預(yù)設(shè)”按部就班計算。

“4×3÷2＝6”，突然一位學(xué)生大聲說道。 可這位老師不予理睬。當時，筆者就在想：這是對的呀！為什么不讓這位學(xué)生站起來說說理由呢？是老師根本沒有預(yù)設(shè)到？還是嫌麻煩引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)列”推演出？

課后，與其交流。老師擔心讓這位孩子站起來說，讓“預(yù)設(shè)”的教學(xué)被打破，無法進行下步“換種數(shù)法”的教學(xué)。喜歡刨根問底的筆者一直沒有放棄思考：或許班上一些學(xué)生學(xué)了“奧數(shù)”，知道“（首項+末項）×項數(shù)÷2”。如果讓那位孩子來說，整個教學(xué)就會宕開一筆，旁逸斜出，確實難以拉回正題；況且從“數(shù)列”推演著實有點“揠苗助長”并“曲高和寡”。那可不可以從另外角度與層次引導(dǎo)學(xué)生理解，讓這次 “綜合與實踐”更好玩呢？細思量，“數(shù)線段”“握手”也好，“單程票”也罷，都是 “組合”問題，即從n個不同元素中取出2個元素的所有組合數(shù)，就是n×（n－1）÷2。但絕不能對小學(xué)四年級學(xué)生這樣引導(dǎo)，這就關(guān)系到“深入”之后如何“淺出”的問題。

回到教材關(guān)于“線段”的概念上：線段有兩個端點，線段有一定長度。意即在直線上任意兩點之間的距離就是一條線段，也就是在直線上，一點可以與另外任意一點連成一條線段。于是，筆者所在學(xué)校就以“數(shù)線段的兩種玩法”為題進行了一次深入的專題研修。且附教材：

首先，還是遵循教材編排意圖利用多媒體進行教學(xué)：在創(chuàng)設(shè)“鼴鼠鉆洞”情境后，將曲線洞徑變成線段圖，并用字母表示洞口；然后分別按“線段長短”和“不同的點出發(fā)”兩種方法進行數(shù)線段，做到“不重不漏”。學(xué)生初步感受、理解、操作后，通過 “菜地旅行”計算單程票增加 “點”的數(shù)量，從而建立“數(shù)線段”模型。即標有多個點的這種圖形：

線段總數(shù)就是以“點數(shù)減1”作為第一個加數(shù)，然后“依次減1”的數(shù)相加，一直加到“1”為止。

一課時的教學(xué)，聲形并茂的課件激發(fā)并維持著學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生親自參與畫線段、數(shù)線段，不亦樂乎！整堂課滲透了“轉(zhuǎn)化” “數(shù)形結(jié)合” “建?！钡葦?shù)學(xué)思想，學(xué)生充分領(lǐng)會到了“有序思考”。

第二課伊始，以完成填空復(fù)習(xí)鞏固導(dǎo)入：即標有多個點的這種圖形：

線段總數(shù)就是以 （ ）作為第一個加數(shù)，然后（ ）的數(shù)相加，一直加到 （ ）為止。

如 （）+（）+（）+（）+（）+（）=（）

接下來，師生一起“玩”了幾個名堂。

一、師生競技比速度

學(xué)生自己選派信任的同學(xué)上臺擔任“主考官”，臨時在黑板上出題。為了教學(xué)有效，將圖形的點控制在10—20范圍之內(nèi)。同時選派3名計算高手上臺跟老師“pk”，其余同學(xué)邊計算邊當評委。

三個回合下來，全班學(xué)生皆敗無疑。 “同學(xué)們，三次都敗了吧。想不想知道，老師是如何 ‘玩’贏你們的？”下一個“玩”法就在學(xué)生的躍躍欲試中開啟了。

二、換種算法自主悟

（一）找出圖形上的A點與其他點連接組成的線段，如圖：

板演：

A：AB、AC、AD、AE

當找出圖形上的B點與其他點連接組成的線段時，學(xué)生提出質(zhì)疑：線段AB不是已經(jīng)數(shù)了，還用數(shù)嗎？老師鼓勵道：“我們不妨先按照數(shù)與A點連接的線段一樣數(shù)下去，看看會是怎樣的！”

（二）按照“兩點相連組成線段”方法數(shù)完所有線段

于是，學(xué)生數(shù)出了這樣多的線段：

A：AB、AC、AD、AE

B：AB、BC、BD、BE

C：AC、BC、CD、CE

D：AD、BD、CD、DE

E：AE、BE、CE、DE

數(shù)完之后，老師引導(dǎo)：你發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)：按照“兩點相連組成線段”方法數(shù)，數(shù)出了5×4=20條線段，但每條線段數(shù)了兩次。

（三）總結(jié)歸納新的算法

緊接著，讓學(xué)生“想一想”、“說一說”新的算法，在學(xué)生處于“憤悱”狀態(tài)時，適時拋出了填空題，幫助學(xué)生理清算理與算法：

圖形的每一點都與其余 （ ）點連接組成 （ ）條線段，照這樣計算，共有 （ ）條線段，但是每條線段數(shù)了 （ ）次，所以線段總數(shù)是 （ ）。

經(jīng)過充分討論與交流，學(xué)生終于恍然大悟：

圖形的每一點都與其余 （4）點連接組成 （4）條線段，照這樣計算，共有 （5×4）條線段，但是每條線段數(shù)了 （2）次，所以線段總數(shù)是 （5×4÷2）。

（四）牛刀小試新的算法

要求：先想后說，邊說邊列算式，可不再詳細列出具體的線段。學(xué)生紛紛上臺邊說邊列算式，有板有眼，無不輕松快樂！如：

圖形上的每一點都與其余7點連接組成7條線段，照這樣計算，共有8×7條線段，但是每條線段數(shù)了2次，所以線段總數(shù)是8×7÷2=28條線段。

三、鞏固遷移天地寬

（一）不一樣的握手

1．依次增減玩法。第一組5位學(xué)生上臺表演握手：A同學(xué)與其余4位同學(xué)握完手就下臺，B同學(xué)與其余3位同學(xué)握完手就下臺，C同學(xué)與其余2位同學(xué)握完手就下臺，剩下D、E同學(xué)握完手一起下臺。全班同學(xué)列出算式：4+3+2+1=10。

2．對等重復(fù)玩法。另一組5位同學(xué)上臺表演握手：A同學(xué)與其余4位同學(xué)握完手原地等待，B同學(xué)與其余4位同學(xué)握完手原地等待，一直待E同學(xué)握手完畢，5位同學(xué)一起下臺。全班同學(xué)列出算式：5×4÷2=10。

3．說清新玩法。學(xué)生借鑒線段的數(shù)法，略加思考，很快說出了玩法：每位學(xué)生都與其余4位學(xué)生握一次手，照這樣計算，共握5×4次手，但是每兩位學(xué)生握了2次手，所以握手總次數(shù)是5×4÷2=10。

4．增加數(shù)量鞏固新玩法。如：15位學(xué)生站成一排，每2位學(xué)生握一次手，一共要握多少次手？

按照原法：14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105

新解如下：

每位學(xué)生都與其余14位學(xué)生握一次手，照這樣計算，共握15×14次手，但是每兩位學(xué)生握了2次手，所以握手總次數(shù)是15×14÷2=105。

（二）為“數(shù)角”新解埋下伏筆

“北師版”教材四年級下冊有數(shù)角的練習(xí)如下：

數(shù)圖形中的學(xué)問

當按教材教學(xué)后，同樣可以如法炮制：圖形上的每條射線與其余3條射線組成3個角，照這樣計算，共有4×3個角，但是每個角數(shù)了2次，所以角的總數(shù)是 4×3÷2=6。

兩節(jié)課的“數(shù)圖形”教學(xué)皆取得了成功。課下，筆者所在學(xué)校數(shù)學(xué)老師進行了理性總結(jié)分析。北師大版教材基于四年級上冊學(xué)生初學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生按“線段長短”和“不同的點出發(fā)”兩種方法進行數(shù)線段，做到“不重不漏”，培養(yǎng)學(xué)生“有序思考”是十分必要且非常有益的！這兩種方法最終都建立同一個“數(shù)?！保壕€段總數(shù)就是以“點數(shù)減1”作為第一個加數(shù)，然后 “依次減1”的數(shù)相加，一直加到 “1”為止。存在一定局限的是，一則點多畫圖繁雜，二則量多計算麻煩。而第二種滲透“排列組合”的教學(xué)必須建立在北師大教材的基礎(chǔ)上，就可規(guī)避上述之局限。第二種建模教學(xué)嘗試不僅在于此，還在于“數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的 ‘生長點’與 ‘延伸點’，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會對于數(shù)學(xué)知識可以從不同的角度加以分析，從不同的層次進行理解”。

參考文獻：

[1]課程標準（2011）導(dǎo)讀與教學(xué)實施——小學(xué)數(shù)學(xué)［M］．北京：北京理工大學(xué)出版社：179．