微積分中變與不變視角下的反函數(shù)教學(xué)研究

陶印修 徐云

【摘要】講反函數(shù)的目的是為了講三角函數(shù)的反函數(shù)嗎？由經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中價(jià)格函數(shù)P=f（Q）的反函數(shù)是需求函數(shù)Q=f1（P）容易知道，講反函數(shù)的目的不單純是為了講三角函數(shù)的反函數(shù)，講三角函數(shù)的反函數(shù)——反三角函數(shù)只是講反函數(shù)的目的之一。基于反函數(shù)難學(xué)，因此有必要對(duì)反函數(shù)的教學(xué)進(jìn)行研究。反函數(shù)中的變只是與反函數(shù)fl中的自變量用x、因變量用y的習(xí)慣記法有關(guān)，而反函數(shù)中的不變就是反函數(shù)記號(hào)f1n。把函數(shù)x=f1（y）稱為函數(shù)y=f（x）的本義反函數(shù)，實(shí)際中用此。把函數(shù)y=f-1（x）稱為函數(shù)y=f（x）的矯形反函數(shù)，理論中用此。本文一方面體現(xiàn)何時(shí)用本義反函數(shù)，何時(shí)用矯形反函數(shù)，另一方面通過(guò)首尾兩個(gè)例子突出本義反函數(shù)的實(shí)用性，讓同學(xué)真正掌握反函數(shù)。

【關(guān)鍵詞】變；不變；已知函數(shù)；矯形反函數(shù)；本義反函數(shù)

一、變視角下的反函數(shù)教學(xué)研究

（一）已知函數(shù)

由于函數(shù)y=f（x）是事先給出的函數(shù)，因此把函數(shù)y=f（x）叫作已知函數(shù)或直接函數(shù)。

（二）本義反函數(shù)

已知函數(shù)y=f（x）中是用x表示y，所謂函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)就是反過(guò)來(lái)表示的函數(shù)，即用y表示x。函數(shù)y=f（x）反函數(shù)的專用記號(hào)為x= f-1（y），把函數(shù)x=f1（y）稱為函數(shù)y=f（x）的本義反函數(shù)。實(shí)際中用此。

例1：價(jià)格函數(shù)P=f（Q）的反函數(shù)需求函數(shù)Q=f“（P）就是本義反函數(shù)（實(shí)用中用）。

例1也可理鋸為需求函數(shù)Q=cp（P）的反函數(shù)價(jià)格函數(shù)P=cp-l（Q）就是本義反函數(shù)。

（三）矯形反函數(shù)

本義反函數(shù)x=f-1（y）中的白變量與因變量的記法與習(xí)慣表示不一致，為了與習(xí)慣表示保持一致，需要把本義反函數(shù)x=f“（y）中的白變量與因變量互換位置，得y=f-1（x），把函數(shù)y = f-1（x）稱為函數(shù)y=f（x）的矯形反函數(shù)，此為變視角下的反函數(shù)。理論中用此。

例2：冪函數(shù)v=Xa的反函數(shù)開(kāi)方函數(shù)x= （a為大于1的正整數(shù)）就是本義反函數(shù)（實(shí)用中用），而開(kāi)方函數(shù)y=

就是矯形反函數(shù)（理論中用）。

順便指出：指數(shù)函數(shù)y= ax的反函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)x= log。y就是本義反函數(shù)，而對(duì)數(shù)函數(shù)y= logx就是矯形反函數(shù)。

由上述內(nèi)容可以引申出了解的內(nèi)容：冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)都可以理解為乘方函數(shù)，乘方函數(shù)的反函數(shù)可以是開(kāi)方函數(shù)（當(dāng)乘方函數(shù)為指數(shù)大于1的正整數(shù)的冪函數(shù)時(shí)），也可以是對(duì)數(shù)函數(shù)（當(dāng)乘方函數(shù)為指數(shù)函數(shù)時(shí)）。

例3：余弦函數(shù)y=cosx的反函數(shù)反余弦函數(shù)x= arccosy就是本義反函數(shù)（實(shí)用中用），而反余弦函數(shù)y= areeosx就是矯形反函數(shù)（理論中用）。

二、不變視角下的反函數(shù)教學(xué)研究

（一）反函數(shù)的實(shí)質(zhì)

先說(shuō)明函數(shù)y=f（x）的實(shí)質(zhì)，即對(duì)應(yīng)法則f是作用在函數(shù)y=f（x）定義域上的函數(shù)。

再說(shuō)明反函數(shù)y=f-1（x）（或x=f-1（y））的實(shí)質(zhì)，即對(duì)應(yīng)法則f-l是作用在反函數(shù)y=f-1（x）（或x=f-1（y））定義域上的反函數(shù)。

（二）本義反函數(shù)與矯形反函數(shù)的關(guān)系

本義反函數(shù)與矯形反函數(shù)是同一反函數(shù)f-1，此為不變視角下的反函數(shù)。正如趙本山與宋丹丹小品中所說(shuō)，你脫了馬甲我也認(rèn)識(shí)你啊！

三、反函數(shù)中的變與不變

反函數(shù)中的變是為了美，反函數(shù)中的不變才是其本質(zhì)，說(shuō)明反函數(shù)即要面子又要里子。

四、互為反函數(shù)

當(dāng)已知函數(shù)f時(shí)，其反函數(shù)為f-l：當(dāng)已知函數(shù)f-l時(shí)，其反函數(shù)為f。f與f-1互為反函數(shù)。

五、強(qiáng)調(diào)本義反函數(shù)的意義

強(qiáng)凋本義反函數(shù)的意義就在于實(shí)用。請(qǐng)見(jiàn)例1。

下面借助例4的解題過(guò)程再次看一看本義反函數(shù)的實(shí)用性。

例4：求反正切函數(shù)y= aretanx（理論中用）的導(dǎo)數(shù)。

解因?yàn)閥= arctanx（y=aretanx是已知函數(shù)），

顯見(jiàn)x=tany（x= tany是y=are，tanx本義反函數(shù)，實(shí)用中用），

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1997