基于旋量的4UPS/UPR并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)建模及分析*

耿明超，邊 輝，劉春東,，李 欣

(1.河北建筑工程學(xué)院 機械工程學(xué)院，河北 張家口 075000；2.燕山大學(xué) 河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室，河北 秦皇島 066004)

0 引言

并聯(lián)機構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力強、累積誤差小等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于并聯(lián)機床、運動模擬器等領(lǐng)域。動力學(xué)模型是機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計及控制的基礎(chǔ)。隨著制造業(yè)的轉(zhuǎn)型升級，機構(gòu)構(gòu)型更加復(fù)雜、負載更大、速度更快，這也對機構(gòu)的動力學(xué)建模及分析提出了更高的要求。

并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)建模方法主要有以牛頓-歐拉公式為代表的矢量力學(xué)方法[1-2]和以拉格朗日方程為代表的分析力學(xué)方法[3-4]。上述方法一般使用兩個三維矢量來表示剛體的轉(zhuǎn)動和移動，導(dǎo)致其運動學(xué)、動力學(xué)建模過程繁瑣復(fù)雜，且極易出錯。旋量代數(shù)以其對剛體空間運動描述的幾何直觀性與代數(shù)抽象性而備受機構(gòu)學(xué)者的歡迎。李澤湘等[5]基于旋量及其伴隨變換建立了機器人的動力學(xué)方程，揭示了李群、李代數(shù)在機器人學(xué)中的應(yīng)用。郭菲等[6]基于旋量鍵合圖建立了3-UPS/S機構(gòu)的動力學(xué)模型。Gallardo等[7]利用旋量代數(shù)及虛功原理建立了并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)模型，其推導(dǎo)過程中需要得到剛體質(zhì)心點的速度、加速度，旋量建模的優(yōu)越性并沒有得到較好的體現(xiàn)。Sugimoto[8]利用影響系數(shù)矩陣和環(huán)矩陣建立了并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)模型，但其推導(dǎo)過程仍比較復(fù)雜，尤其是對于多環(huán)路的機構(gòu)。

本文以4UPS/UPR少自由度并聯(lián)機構(gòu)為研究對象，基于旋量代數(shù)建立其動力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上給出了描述機構(gòu)動力學(xué)特性的動力學(xué)耦合指標。

1 4UPS/UPR并聯(lián)機構(gòu)機構(gòu)描述

圖1 4UPS/UPR并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型

如圖1所示，4UPS/UPR并聯(lián)機構(gòu)包含4個驅(qū)動分支(UPS分支)和一個中間約束分支(UPR分支)。4個驅(qū)動分支由萬向鉸(U)、移動副(P)和球副(S)組成。中間約束分支由萬向鉸、移動副和轉(zhuǎn)動副(R)組成。在機構(gòu)的定、動平臺上各建立一坐標系，定坐標系o的原點位于U副的中心，xo軸平行于a1a2，yo軸平行于a2a3，zo軸垂直于定平臺向上。動坐標系p固連于動平臺，其原點位于動平臺的中心，初始位置時方位與定系重合。轉(zhuǎn)動副固定于動平臺，其軸線與約束分支U副的第2個轉(zhuǎn)動軸線平行。機構(gòu)下鉸鏈點矩陣分布，上鉸鏈點為梯形分布，其中梯形關(guān)于yp軸對稱。

2 旋量牛頓-歐拉公式及坐標不變性

2.1 旋量速度、加速度描述

圖2 單剛體的運動示意圖

(1)

(2)

(3)

旋量加速度同樣符合上述變換關(guān)系。

2.2 旋量形式的牛頓-歐拉公式

根據(jù)傳統(tǒng)形式的牛頓-歐拉公式，剛體b的力、力矩平衡方程為:

(4)

其中，m為剛體b的質(zhì)量；fb為作用在剛體b上的三維力矢量在b系中的表示；τb為作用在剛體b上的三維力矩；Ib為剛體b的三維轉(zhuǎn)動慣量在b系中的表示。結(jié)合式(2)，式(4)可以整理為：

(5)

結(jié)合旋量速度的伴隨表示，式(5)可以表示為：

(6)

其中，Wb=(τb;fb)為作用于剛體的力旋量。Nb為剛體表示在b系中的6×6廣義慣量矩陣。式(6)即為物體坐標系中旋量形式的牛頓-歐拉公式，給出了力旋量作用下剛體運動的全面描述。

2.3 牛頓-歐拉公式的坐標不變性

(7)

(8)

(9)

式(6)和式(9)在形式上保持了統(tǒng)一，說明旋量形式的牛頓-歐拉公式具有坐標不變性。

3 并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)模型及耦合指標

3.1 動力學(xué)Hessain矩陣

(10)

(11)

(12)

其中，Np為動平臺的6×6慣量矩陣。將動平臺的旋量加速度公式代入式(12)可得：

(13)

式(13)右邊第2項可以表示為：

(14)

(15)

將式(14)和式(15)代入到式(13)中，整理可得：

(16)

同理，機構(gòu)中第i個分支，第k個桿件的慣性力產(chǎn)生的主動關(guān)節(jié)驅(qū)動力可以表示為:

(17)

合并式(16)和式(17)可得機構(gòu)包含動平臺及分支的動力映射關(guān)系

(18)

3.2 動力學(xué)模型

忽略摩擦，根據(jù)虛功原理，機構(gòu)所有的力旋量處于平衡狀態(tài)，則并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)方程為:

τI+τG+τF+τA=0

(19)

其中，τG為機構(gòu)的重力產(chǎn)生的廣義驅(qū)動力；τF為作用在動平臺的外力產(chǎn)生的廣義驅(qū)動力；τA為機構(gòu)的廣義驅(qū)動力。并聯(lián)機構(gòu)動平臺及所有桿件的重力產(chǎn)生的廣義驅(qū)動力為:

(20)

并聯(lián)機構(gòu)動平臺所受外力產(chǎn)生的廣義驅(qū)動力可表示為:

(21)

將式(20)和式(21)代入到式(19)可得并聯(lián)機構(gòu)在關(guān)節(jié)空間表示中的動力學(xué)模型為:

(22)

3.3 動力學(xué)耦合指標

(23)

機構(gòu)的動力耦合指標定義為:

(24)

ρA為機構(gòu)位姿、動平臺及分支慣量的函數(shù)，反映了機構(gòu)的慣量與驅(qū)動力的傳遞密度。ρA值越大，機構(gòu)的加速度能力越差。

機構(gòu)在運動過程中，尤其是高速運動過程中，其向心力和科氏力往往不能忽略，機構(gòu)的慣性力耦合指標定義為：

(25)

4 數(shù)值算例

4UPS/UPR并聯(lián)機構(gòu)初始位姿時坐標系o和坐標系p方位重合，初始高度H=0.38m。表1和表2給出了機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，其中，bi0為上鉸鏈點在p系中的坐標。

表1 4UPS/UPR并聯(lián)機構(gòu)鉸鏈點坐標 /m

表2 4UPS/UPR并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)

4.1 動力學(xué)模型驗證

(26)

圖3 4UPS/UPR機構(gòu)分支示意圖

忽略機構(gòu)的重力及外力作用，采用上述動力學(xué)模型求解得到的機構(gòu)主動關(guān)節(jié)驅(qū)動力如圖4所示。圖5為ADAMS軟件仿真的結(jié)果。比較圖4、圖5可知，理論計算結(jié)果和軟件仿真結(jié)果基本一致，驗證了上述動力學(xué)模型的正確性。

圖4 上鉸鏈點梯形布置時機構(gòu)廣義驅(qū)動力

4.2 鉸鏈點參數(shù)對機構(gòu)動力學(xué)影響

當上鉸鏈點b30=b40=(0 -0.20 0)T，即上鉸鏈點的布置由梯形退化為三角形，給定動平臺式(26)的運動規(guī)律，通過動力學(xué)求解得到機構(gòu)的廣義驅(qū)動力如圖6所示。通過比較圖4、圖6可以看出，對于相同的運動規(guī)律，上鉸鏈點三角形布置時其廣義關(guān)節(jié)驅(qū)動力明顯減小。

圖5 廣義驅(qū)動力ADAMS仿真曲線

圖6 上鉸鏈點三角形布置時機構(gòu)廣義驅(qū)動力

圖7 初始位姿4UPS/UPR機構(gòu)的約束特性

4.3 動力學(xué)耦合指標

4UPS/UPR機構(gòu)上鉸鏈點為三角形分布。圖8給出了反映機構(gòu)加速性能的動力耦合指標ρA，圖9則給出了反映機構(gòu)高速運動性能的慣性力耦合指標ρV。從圖8、圖9中可以看出，機構(gòu)的動力學(xué)指標關(guān)于y軸對稱，關(guān)于x軸不對稱，這一現(xiàn)象符合機構(gòu)上鉸鏈點關(guān)于x軸不對稱的布置形式。

圖8 4UPS/UPR機構(gòu)的動力耦合指標

圖9 4UPS/UPR機構(gòu)的慣性力耦合指標

從圖8、圖9中可以看出，機構(gòu)在α<0時的動力耦合指標ρA及慣性力耦合指標ρV明顯大于α>0時。ρA、ρV的值越大，機構(gòu)的慣性力映射到主動關(guān)節(jié)的驅(qū)動力越大。分別給定α=-0.3rad、α=0.3rad時，機構(gòu)繞y軸的運動規(guī)律為β=0.20sin(15t)，機構(gòu)廣義驅(qū)動力的二范數(shù)如圖10所示。從圖10中可以看出，α=-0.3rad時廣義驅(qū)動力的二范數(shù)明顯大于α=0.3rad時，符合圖8、圖9機構(gòu)動力學(xué)指標曲線的變化趨勢。

圖10 4UPS/UPR機構(gòu)廣義驅(qū)動力的二范數(shù)

圖11 公交線L在yozo面內(nèi)的變化趨勢

5 結(jié)論

(1)將傳統(tǒng)形式的牛頓-歐拉公式表示成以運動旋量和力旋量為基本運算單元的旋量形式，并對其坐標不變性進行了證明。

(2)結(jié)合虛功原理及旋量形式的牛頓-歐拉公式，建立了4UPS/UPR并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)模型，得到了動力學(xué)Hessian矩陣，并給出反映機構(gòu)動力特性的動力學(xué)耦合指標。

(3)結(jié)合數(shù)值算例，分析了4UPS/UPR機構(gòu)鉸鏈點尺度參數(shù)對機構(gòu)動力學(xué)特性的影響，并對其動力學(xué)耦合指標進行了分析?；谛康膭恿W(xué)建模方法形式簡潔緊湊、易于編程，能夠簡化建模過程，為后續(xù)的動力學(xué)分析及控制奠定了基礎(chǔ)。

[參考文獻]

[1] 李永剛, 宋軼民, 馮志友, 等. 基于牛頓歐拉法的 3-RPS并聯(lián)機構(gòu)逆動力學(xué)分析[J]. 航空學(xué)報, 2007, 28(5): 1210-1214.

[2] 山顯雷, 程剛. 考慮關(guān)節(jié)摩擦的3SPS+1PS并聯(lián)機構(gòu)顯式動力學(xué)建模研究[J]. 機械工程學(xué)報, 2017, 53(1): 28-35.

[3] 張軍, 謝志江. 基于Lagrange方程的3-PPR并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)分析與仿真[J]. 組合機床與自動化加工技術(shù), 2016(8): 57-60.

[4] 薛幫燦, 郝麗娜, 楊輝. 3DOF-PAM并聯(lián)機器人設(shè)計與動力學(xué)建模[J]. 組合機床與自動化加工技術(shù), 2016(7): 52-55.

[5] 理查德·摩西, 李澤湘, 夏恩卡·薩思特里.機器人操作的數(shù)學(xué)導(dǎo)論[M]. 北京: 機械工業(yè)出版社, 1995.

[6] 郭菲, 李永泉, 宋肇經(jīng),等. 旋量鍵合圖在并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)建模中的應(yīng)用[J]. 機械工程學(xué)報, 2015, 51(23):12-20.

[7] Gallardo J, Rico J M, Frisoli A, et al. Dynamics of Parallel Manipulators by Means of Screw Theory[J]. Mechanism and machine theory, 2003, 38(11): 1113-1131.

[8] Sugimoto K. Matrix Representation of Kinematic and Dynamic Analysis of Mechanisms[C]//Proceedings of a Symposium Commemorating the Legacy, Work and Life of Sir RS Ball,2000: 1-14.

[9] Brand L. Vector and Tensor Analysis[M]. 6th ed. New York: John Wiley & Sons, 1957.

[10] 黃真, 趙永生, 趙鐵石. 高等空間機構(gòu)學(xué)[M]. 北京: 高等教育出版社，2006.

[11] 耿明超, 劉麗娟, 張燦果,等. 基于旋量代數(shù)的機器人運動學(xué)建模及應(yīng)用[J]. 河北建筑工程學(xué)院學(xué)報, 2017, 35(2): 118-121.