對(duì)2017年江蘇高考數(shù)列題的多種方法證明以及推廣

江蘇省南京市金陵中學(xué)河西分校 李菲菲 姜 寧

題目：對(duì)于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿(mǎn)足：an－k+ an－k＋1+… +an－1+an＋1+…+an+k－1+an+k＝ 2kan對(duì)任意正整數(shù) n （n＞k）總成立，則稱(chēng)數(shù)列{an}是“P （k）數(shù)列”。

（1）證明：等差數(shù)列{an}是“P （k）數(shù)列”；

（2）若數(shù)列{an}既是“P （2）數(shù)列”，又是“P （3）數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列。

對(duì)于第二小問(wèn)證明：

（2）－ （1） 得：

于是，數(shù)列a1，a4，a7，… 是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d1。

數(shù)列a2，a5，a8，… 是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d2。

數(shù)列a3，a6，a9，… 是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d3。

在 （1） 中取n＝3得：

在 （1） 中取n＝4得：

在 （1） 中取n＝5得：

光學(xué)遙感受天氣條件影響極大，其在積雪面積制圖中的主要難點(diǎn)問(wèn)題之一就在于云雪的識(shí)別，NDSI因其實(shí)際可操作性強(qiáng)，提取精度高，方法快捷簡(jiǎn)單，是雪蓋范圍提取最為普遍采用的方法.此外，利用多個(gè)熱紅外波段計(jì)算亮溫差也是云雪區(qū)分的有效手段.然而，高分四號(hào)衛(wèi)星由于缺少反映積雪弱反射能力的短波紅外波段，也沒(méi)有多個(gè)熱紅外波段，導(dǎo)致無(wú)法有效利用波段間關(guān)系和遙感指數(shù)方法識(shí)別積雪.

將（3）（4）（5）相加，得d2＝d3。

在 （1） 中取n＝6得：

（6）－ （3） 得：

又因?yàn)?d2＝d3，故 d1＝d3＝d3。

由（3）得：

由（4）得：

（7） +（8）得：

因此數(shù)列{an}是等差數(shù)列。

法二：數(shù)列{an}既是“P （2）數(shù)列”，又是“P （3）數(shù)列”，因此，

由（9）得：

將（11） ，（12） 代入（10），得an－1+ an+1＝2an，其中n≥4，

所以數(shù)列a3，a4，a5，… 是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，

在 （9） 中取n＝4得：

在 （9） 中取n＝3得：

因此數(shù)列{an}是等差數(shù)列。

對(duì)于法二的改進(jìn)：

由（9）得：an－2+ an－1+an＋1+an+2＝ 4an，

將兩式相加，則有：

由（10）可得：

所以an－1+ an＋1＝ 2an，其中 n≥4。

本題考查了新定義下的等差數(shù)列，考查了離散數(shù)列間隔成等差數(shù)列到每項(xiàng)成等差數(shù)列，利用遞推方式處理，對(duì)學(xué)生的構(gòu)造能力要求極高，對(duì)學(xué)生思維要求極高。

推廣：對(duì)于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿(mǎn)足：an－k+ an－k＋1+… +an－1+an＋1+…+an+k－1+an+k＝ 2kan對(duì)任意正整數(shù) n （n＞k）總成立，則稱(chēng)數(shù)列{an}是“P （k）數(shù)列”。

若數(shù)列{an}既是“P （k1）數(shù)列”，又是“P （k2）數(shù)列”，其中k1≡2（mod 6）,k1≡3（mod 6）,則：{an}是等差數(shù)列。

高考試題凝聚了命題專(zhuān)家巨大的智慧和心血，他們立意深遠(yuǎn)，內(nèi)涵豐富。我們從不同視角對(duì)高考試題進(jìn)行求解于改編、加強(qiáng)和推廣，這樣對(duì)于領(lǐng)悟高考試題的功能，正確把握高三復(fù)習(xí)方向，都有著非常重要意義和作用。

[1]范花妹，秦慶雄.從“裂項(xiàng)相消法”證明數(shù)列不等式得到的啟示[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016（8）：44-51.