高頻Boost變換器穩(wěn)定運(yùn)行的參數(shù)域分析

李 山 ，崔 森 ，陳 艷 ，司文旭 ，張俊凱

（1.重慶理工大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，重慶400054；2.重慶市能源互聯(lián)網(wǎng)工程技術(shù)研究中心，重慶400054；3.西安通信學(xué)院裝備技術(shù)保障教研室，西安 710106）

在電力電子變換器中，一方面由于非線性元件的存在，另一方面電力電子變換器中的功率器件均工作在開(kāi)關(guān)狀態(tài)，而不是線性放大狀態(tài)，因此周期性的開(kāi)通和關(guān)斷功率變換器容易導(dǎo)致非線性行為的產(chǎn)生。目前，隨著對(duì)電力電子系統(tǒng)中分岔行為識(shí)別的研究已經(jīng)比較成熟，DC/DC功率變換器的非線性行為研究已經(jīng)成為有關(guān)學(xué)術(shù)界和工程界關(guān)注的熱點(diǎn)之一[1-3]。

Boost變換器是非線性現(xiàn)象研究的一個(gè)重要對(duì)象，目前對(duì)其非線性行為的研究主要集中在典型低頻率變換器非線性行為的分析與控制上。在實(shí)際的DC/DC變換器設(shè)計(jì)中，尤其是本文所研究的高頻變換器，其穩(wěn)定運(yùn)行參數(shù)域的確定一直是科研與工程設(shè)計(jì)人員所十分關(guān)心的問(wèn)題。通常是通過(guò)調(diào)整變換器中的某些參數(shù)來(lái)使系統(tǒng)性能得到改善，與此同時(shí)也會(huì)致使系統(tǒng)中其他方面的性能無(wú)法實(shí)現(xiàn)，主要原因在于設(shè)計(jì)人員沒(méi)有清楚地掌握不同參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，因此，研究確定系統(tǒng)參數(shù)穩(wěn)定域?qū)β首儞Q器系統(tǒng)穩(wěn)定性及其變換器的設(shè)計(jì)和運(yùn)行都有著重要的現(xiàn)實(shí)意義。

本文利用非線性動(dòng)力學(xué)的研究方法[4]分析了各個(gè)參數(shù)之間對(duì)高頻Boost變換器穩(wěn)定性的影響，根據(jù)DC/DC功率變換器的頻閃映射[5]模型與Jacobian矩陣[6]來(lái)判斷穩(wěn)定域的范圍，通過(guò)電路仿真及實(shí)驗(yàn)確定了影響變換器穩(wěn)定運(yùn)行主要參數(shù)的穩(wěn)定域分布，進(jìn)而對(duì)高頻Boost變換器的穩(wěn)定性分析和設(shè)計(jì)提供了重要的參考價(jià)值。

1 高頻Boost變換器的工作原理及建模

1.1 高頻Boost變換器的工作原理

本文主要研究峰值電流模式控制[7-8]的高頻Boost變換器，根據(jù)開(kāi)關(guān)管的工作狀態(tài)，可得到以下兩種工作模式，該電路在這兩種工作模式下周期性的切換，如圖1所示。

當(dāng)開(kāi)關(guān)S導(dǎo)通、D截止時(shí)，即圖1（a）所示的情況，可得電路的微分方程

式中：iL為高頻Boost變換器的電感電流；uc為電容電壓；R為負(fù)載電阻；uin為輸入電壓。

當(dāng)S關(guān)斷、D導(dǎo)通時(shí)，即圖1（b）所示的情況，可得電路的微分方程

圖1 高頻Boost變換器工作時(shí)的兩種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 Two topologies of high-frequency Boost converter in working mode

高頻Boost變換器的開(kāi)關(guān)導(dǎo)通與關(guān)斷由時(shí)鐘信號(hào)clock周期性的控制，clock信號(hào)每隔一段固定的時(shí)間就會(huì)使RS觸發(fā)器重新置位，即Q=1，使開(kāi)關(guān)導(dǎo)通；開(kāi)關(guān)導(dǎo)通后電感電流上升，當(dāng)達(dá)到電流給定值Iref后，比較器輸出信號(hào)翻轉(zhuǎn)，將R-S觸發(fā)器復(fù)位，即Q=0，并使開(kāi)關(guān)關(guān)斷。峰值電流模式控制系統(tǒng)穩(wěn)定性好，響應(yīng)速度快，實(shí)現(xiàn)也很容易，并且能夠限制電路的峰值電流，從而保護(hù)器件。該模式是目前使用最為廣泛的電流模式控制方式。

圖2 峰值電流模式控制的原理Fig.2 Principle of peak current mode control

1.2 高頻Boost變換器的精確離散迭代映射模型

從DC/DC功率變換器微分方程可得到該系統(tǒng)為分段光滑非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，直接通過(guò)上述方程來(lái)分析系統(tǒng)性能存在很大困難，本文利用已廣泛應(yīng)用于研究功率變換器非線性現(xiàn)象的離散迭代映射方程來(lái)分析其穩(wěn)定性。由式（1）和式（2）可得電路的狀態(tài)方程為

在頻閃映射下的離散模型為

現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式（3）和式（4），可以得到系統(tǒng)在第n個(gè)周期的離散模型如下。

（1）當(dāng) nT＜t＜nT+dnT 時(shí)，有

（2）當(dāng) nT+dnT＜t＜（n+1）T 時(shí)，有

其中：；I 為單位矩陣；E 為系統(tǒng)輸入電壓；A1、A2、B1和 B2均為系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)矩陣。

將式（5）代入式（6）并整理得離散映射方程為

定義切換函數(shù)為

則當(dāng)s（xn,dn）=0時(shí)開(kāi)關(guān)S的狀態(tài)出現(xiàn)變換，狀態(tài)由 Q=1 變化為 Q=0，聯(lián)立式（7）和式（8），就構(gòu)成 Boost變換器的離散映射方程。

2 高頻Boost變換器穩(wěn)定性分析

Jacobian矩陣是分析穩(wěn)定性的有效工具，本文利用Jacobian矩陣來(lái)分析變換器不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性，從而確定高頻Boost變換器的穩(wěn)定域，首先建立不動(dòng)點(diǎn)的Jacobian矩陣。假設(shè)被控系統(tǒng)穩(wěn)定在單周期態(tài)，且認(rèn)為輸入電壓和參考電壓始終保持不變，取，XQ和D為穩(wěn)態(tài)單周期解。對(duì)xn+1=f（xn,dn）進(jìn)行小信號(hào)線性化擾動(dòng)處理[9-10]，有

由 s（xn,dn）=0，并化簡(jiǎn)得

則對(duì)應(yīng)的Jacobian矩陣為

不妨記λ為J的特征值，由系統(tǒng)穩(wěn)定性知，當(dāng)λ均落在單位圓內(nèi)，即|λ|＜1時(shí)，則系統(tǒng)穩(wěn)定。在計(jì)算系統(tǒng)Jacobian矩陣特征值之前，首先要確定出被控Boost變換器系統(tǒng)離散映射方程的穩(wěn)態(tài)周期解XQ和D，其求解單周期穩(wěn)態(tài)解的過(guò)程如下。

設(shè) xn+1=xn=XQ，x（nT+dnT）=XD，dn=D,由式（5）和式（6）得

同時(shí)，切換函數(shù)滿足條件為

聯(lián)立式（12）至式（14），利用數(shù)值運(yùn)算即可求得穩(wěn)態(tài)周期解XQ和D。然后通過(guò)穩(wěn)態(tài)時(shí)的周期解來(lái)求Jacobian矩陣的特征值，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

根據(jù)圖2所示的峰值電流模式控制高頻Boost變換器的原理，按下列參數(shù)計(jì)算Jacobian矩陣的特征值：uin=10 V，L=1 mH，R=22 Ω，C=12 μf，f=100 kHz，Iref=0.5～5.5 A。

例如當(dāng)Iref=1.0 A時(shí)，利用數(shù)值運(yùn)算求得穩(wěn)態(tài)周期解分別為

此時(shí)的Jacobian矩陣為

其特征值為：λ1=-0.514 8，λ2=0.316 0。由于|λ1|＜1且|λ2|＜1，故 Iref=1.0 A 時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，此時(shí)系統(tǒng)的確處于單周期穩(wěn)態(tài)。當(dāng)Iref=1.0～5.5 A時(shí)，Jacobian矩陣最大模特征值的變化如圖3所示。其中，|λmax|=max{|λ1|，|λ2|}。由圖3 可以看出，當(dāng) Iref取 1.7～1.8 A之間的某個(gè)值時(shí)，|λmax|會(huì)超過(guò)1，從而導(dǎo)致系統(tǒng)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)。

圖3 Jacobian矩陣最大模特征值的變化軌跡Fig.3 Changing trajectory of the maximum modulus eigenvalue of Jacobian matrix

為求出這個(gè)Iref的臨界值，考慮當(dāng)Iref=1～2 A時(shí)Jacobian矩陣特征值的變化，結(jié)果如表1所示。由表1 可看出，當(dāng) Iref≈1.7 A 時(shí)，|λ|接近 1，通過(guò)大量的數(shù)值計(jì)算，可以算出當(dāng)Iref=1.712 A時(shí)，λ1=1.000 2，λ2=1.373 8，即此時(shí)的Iref為使系統(tǒng)不穩(wěn)定的臨界值，超過(guò)此值系統(tǒng)就會(huì)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)電流Iref小于1.712 A時(shí)，系統(tǒng)在不動(dòng)點(diǎn)處雅可比矩陣的特征值均小于1，此時(shí)不動(dòng)點(diǎn)是穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)；當(dāng)Iref超過(guò)1.712 A時(shí)，λ從實(shí)軸的負(fù)半軸穿過(guò)單位圓，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔，此時(shí)系統(tǒng)原有的周期1不動(dòng)點(diǎn)失去穩(wěn)定，取而代之的出現(xiàn)2個(gè)穩(wěn)定的周期2解。對(duì)于本文所研究的高頻Boost變換器其Jacobian矩陣特征值均在坐標(biāo)軸的實(shí)軸上變化，并且|λ1|的變化比|λ2|迅速，由于只要有一個(gè)特征值超過(guò)單位圓系統(tǒng)就變得不穩(wěn)定，因此這里選取了最大模特征值|λ1|作為研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的依據(jù)。

表1 變換器的Jacobian矩陣特征值Tab.1 Eigenvalues of converter's Jacobian matrix

3 高頻Boost變換器穩(wěn)定運(yùn)行參數(shù)域分析

利用Jacobian矩陣特征值的變化可精確地判斷分岔點(diǎn)[11]的位置，確保系統(tǒng)工作在穩(wěn)定的區(qū)域。分別選擇參考電流Iref、電路中的電感L和電容C來(lái)分析其不同參數(shù)值對(duì)高頻Boost變換器系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，以此來(lái)確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域。圖4分別給出了上述對(duì)應(yīng)的不動(dòng)點(diǎn)穩(wěn)定區(qū)域邊界。由圖4（a）可見(jiàn)，曲線上方為穩(wěn)定區(qū)，隨著Iref不斷增加，電感L不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定區(qū)域持續(xù)增大；由圖4（b）可見(jiàn)，隨著Iref的增加，電容C不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定區(qū)域?qū)?huì)變小；圖4（c）所示為上述3個(gè)參數(shù)所形成的穩(wěn)定區(qū)域分布。

圖4 不同參數(shù)變化下的穩(wěn)定域邊界曲線Fig.4 Boundary curves of stability region with variations of different parameters

4 數(shù)值仿真及實(shí)驗(yàn)分析

根據(jù)高頻Boost變換器系統(tǒng)性能特點(diǎn)，以參考電流為分岔參數(shù)進(jìn)行仿真。首先以參考電流為分岔參數(shù)進(jìn)行仿真，電路參數(shù)如下：輸入電壓uin=10 V，電感 L=1 mH，電容 C=12 μF，時(shí)鐘頻率 f=100 kHz，負(fù)載電阻R=20 Ω。當(dāng)參考電流Iref=0.5～5.5 A之間變化時(shí)，電感電流iL的分岔如圖5所示。

由圖5可得，在Iref≈1.712 A時(shí)，系統(tǒng)由周期1分岔成周期2；在Iref≈2.63 A時(shí)，再次發(fā)生倍周期分岔，在Iref≈4.97 A時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。該圖反映了在參考電流變化的過(guò)程中，系統(tǒng)經(jīng)倍周期分岔進(jìn)入混沌的整個(gè)過(guò)程。

圖5 以參考電流Iref為變化參數(shù)的電感電流分岔Fig.5 Bifurcation diagram of inductance current with reference current Irefas an varying parameter

通過(guò)MATLAB對(duì)電路進(jìn)行仿真，分別得到了Iref=1.0 A（單周期態(tài)）、Iref=2.0 A（周期 2 狀態(tài)）、Iref=4.0 A（混沌狀態(tài)）的電感電流iL和電容電壓uc波形，并且通過(guò)龐加萊映射圖[12-13]進(jìn)一步反映出在參考電流不同的情況下，系統(tǒng)出現(xiàn)的分岔混沌現(xiàn)象，如圖6所示。

為了驗(yàn)證上述理論分析和變換器電路仿真的正確性，以參考電流Iref做為分岔參數(shù)為例，進(jìn)行了相關(guān)的電路驗(yàn)證分析，按照上文所給參數(shù)搭建了基于峰值電流控模式下的高頻boost變換器電路模型，實(shí)驗(yàn)電路圖與上述仿真模型一致。給定電路參數(shù)：輸入電壓uin=10 V，f=100 kHz，負(fù)載電阻 R=20 Ω，電感 L=1 mH，電容 C=12 μF,電感等效電阻 r=0.02 Ω，電路中電感電流與電容電壓的實(shí)驗(yàn)波形如圖7所示。

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，通道1與通道2分別顯示了周期1、周期2和混沌狀態(tài)下的電感電流iL與電容電壓uc。圖7（a）所示為參考電流Iref=1 A時(shí)周期1狀態(tài)下的穩(wěn)定波形；圖7（b）所示為Iref=2 A是周期2狀態(tài)下的波形；圖7（c）為Iref=4 A時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。實(shí)驗(yàn)波形與仿真結(jié)果基本吻合，驗(yàn)證了上述理論分析的正確性。

5 結(jié)語(yǔ)

本文在對(duì)Boost變換器現(xiàn)有非線性理論研究成果的基礎(chǔ)上，對(duì)高頻Boost變換器的穩(wěn)定運(yùn)行參數(shù)域進(jìn)行了研究，通過(guò)建立該變換器的精確離散迭代映射方程，以Jacobian矩陣特征值變化做為判穩(wěn)依據(jù)，結(jié)合光伏發(fā)電系統(tǒng)動(dòng)態(tài)變化情況選擇并網(wǎng)參考電流Iref作為分岔參數(shù)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)與理論分析相結(jié)合，驗(yàn)證了系統(tǒng)的非線性特性，并在此基礎(chǔ)上確定了高頻Boost變換器電路參數(shù)的穩(wěn)定運(yùn)行區(qū)域。本文為Boost變換器在高頻條件下系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行提供了參考，也為系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化及性能的提升提供了理論依據(jù)。

圖6 不同參考電流下電感電流和電容電壓仿真波形Fig.6 Simulation waveforms of inductance current and capacitance voltage under different reference currents

圖7 不同參考電流下電感電流iL與電容電壓uc實(shí)驗(yàn)波形Fig.7 Experimental waveforms of inductor current and capacitor voltage under different reference currents

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