基于不同信道信息的協(xié)作系統(tǒng)預(yù)編碼矩陣的設(shè)計(jì)*

張莜燕， 苗紅意, 趙翠芳

(1.浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004;2.浙江師范大學(xué) 文化創(chuàng)意傳媒學(xué)院，浙江 金華，321004)

0 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和生活水平的提高，人們對(duì)通信系統(tǒng)的要求也向著高性能、大容量和更靈活的方向邁進(jìn).協(xié)作中繼技術(shù)作為一種全新的通信模式，有效提高了頻譜效率和系統(tǒng)容量，在研究領(lǐng)域及工程界都受到了廣泛關(guān)注，成為研究的熱點(diǎn)之一[1-4]，其核心問(wèn)題是尋求各種能夠提高頻譜利用率和傳輸性能的有效手段作為支撐.由于協(xié)作通信系統(tǒng)和MIMO(multiple-input multiple-output)系統(tǒng)的相似性，大量針對(duì)MIMO技術(shù)與協(xié)作通信相結(jié)合的深層次研究已經(jīng)涌現(xiàn)，如空時(shí)編碼、預(yù)編碼技術(shù)等.

空時(shí)編碼技術(shù)無(wú)需獲知信道狀態(tài)信息，通過(guò)對(duì)抗無(wú)線信道的衰落獲得空間分集增益和編碼增益[5].預(yù)編碼技術(shù)通常運(yùn)用于發(fā)射端，依據(jù)接收機(jī)反饋的信道信息對(duì)發(fā)射信號(hào)進(jìn)行預(yù)變換，進(jìn)而抑制干擾，使系統(tǒng)誤碼等性能得到有效提升.若空時(shí)編碼系統(tǒng)恰好能獲知信道狀態(tài)信息，則可以在不改變發(fā)送端和接收端硬件裝置的前提下，充分利用該信息進(jìn)行預(yù)編碼設(shè)計(jì)，即將預(yù)編碼與空時(shí)碼技術(shù)相結(jié)合，同時(shí)獲得空間增益和角度選擇性增益，對(duì)容量及誤碼性能均有顯著改善，稱為“預(yù)編碼的空時(shí)碼技術(shù)”.針對(duì)MIMO系統(tǒng)中預(yù)編碼的空時(shí)碼技術(shù)，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者進(jìn)行了大量的研究[6-7].文獻(xiàn)[6]研究了在與發(fā)送接收均相關(guān)的MIMO信道上，使符號(hào)錯(cuò)誤概率最小化的空時(shí)碼的預(yù)編碼問(wèn)題，但問(wèn)題的求解需要多次迭代才能實(shí)現(xiàn)；文獻(xiàn)[7]在此基礎(chǔ)上提出了采用凸優(yōu)化的方法解決該優(yōu)化問(wèn)題，并對(duì)2根和3根接收天線的特殊情況提出了閉式解，降低了問(wèn)題求解的復(fù)雜度.中繼技術(shù)是MIMO技術(shù)的延伸，因此,針對(duì)預(yù)編碼的空時(shí)碼技術(shù)在中繼系統(tǒng)的研究也陸續(xù)出現(xiàn)[8-10].

文獻(xiàn)[8]研究了有限反饋下，從碼本中選擇預(yù)編碼矩陣的多中繼空時(shí)編碼系統(tǒng)，但該預(yù)編碼僅應(yīng)用于中繼端，并未在發(fā)送端采用；文獻(xiàn)[9]在發(fā)送端和中繼端均采用了預(yù)編碼與空時(shí)編碼的結(jié)合，但中繼端選擇了對(duì)設(shè)備要求較高的解碼轉(zhuǎn)發(fā)協(xié)議(decode-and-forward，DF)；文獻(xiàn)[10]采用較為簡(jiǎn)單的放大轉(zhuǎn)發(fā)協(xié)議(amplify-and-forward,AF)，以最小接收信噪比最大化為目標(biāo)，在信道信息存在誤差的條件下，研究了空時(shí)編碼中預(yù)編碼矩陣設(shè)計(jì)的魯棒性問(wèn)題，但并未考慮MIMO信道間的相關(guān)性.

本文研究源與中繼節(jié)點(diǎn)均采用預(yù)編碼的空時(shí)碼技術(shù)的中繼系統(tǒng)，采用放大轉(zhuǎn)發(fā)協(xié)議，對(duì)完備和不完備2種信道信息反饋下的情況進(jìn)行探討.與文獻(xiàn)[10]研究魯棒性不同，筆者將采用通用Kronecker模型，分析MIMO信道的相關(guān)性，通過(guò)推導(dǎo)誤符號(hào)率的近似表達(dá)式，分別建立接收信噪比最大化和誤符號(hào)率最小化的優(yōu)化目標(biāo)，求解發(fā)送功率為約束條件的聯(lián)合預(yù)編碼矩陣，并利用相關(guān)性，對(duì)聯(lián)合優(yōu)化問(wèn)題采用兩步法求解.

1 系統(tǒng)模型

yRl=‖H1V1‖sl+nRl,l=1,2,…,L.

(1)

圖1 預(yù)編碼的空時(shí)碼系統(tǒng)框圖

yDl=‖H2V2‖tl+nDl,l=1,2,…,L.

(2)

(3)

(4)

2 系統(tǒng)的誤符號(hào)率分析

MγD(s)=Mγ1(s)+Mγ2(s)-Mγ1(s)Mγ2(s).

(5)

(6)

MPSK調(diào)制下的誤碼率表示為

(7)

將式(6)代入式(7)可求得誤碼率的近似表達(dá)式

(8)

3 不同信道條件下的預(yù)編碼矩陣

3.1 完備信道狀態(tài)信息下的預(yù)編碼矩陣

本節(jié)將基于推導(dǎo)的接收信噪比和誤碼率來(lái)設(shè)計(jì)完備和統(tǒng)計(jì)信道狀態(tài)信息下的預(yù)編碼矩陣.首先研究完備信道狀態(tài)信息.假定發(fā)送和接收之間存在高速反饋鏈路，發(fā)送端能獲得完備的信道信息，系統(tǒng)可以直接通過(guò)提高接收信噪比來(lái)降低誤碼率.因此,建立的優(yōu)化問(wèn)題為：在各端點(diǎn)發(fā)射功率的約束下，求解源和中繼端的最優(yōu)預(yù)編碼矩陣，使系統(tǒng)總的接收信噪比最大化,即

(9)

(10)

(11)

由此，最大化問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為兩式均通用的線性規(guī)劃問(wèn)題:

該線性規(guī)劃問(wèn)題可以采用專門(mén)軟件進(jìn)行求解.觀察問(wèn)題的解，可知最優(yōu)化的功率分配方案為所有的功率均加載在對(duì)應(yīng)的信道矩陣最大特征值的特征方向上，而其他方向的功率為零.由此可知完備信道狀態(tài)信息下的預(yù)編碼矩陣的設(shè)計(jì)是特征波束成形.

3.2 統(tǒng)計(jì)信道狀態(tài)信息下的預(yù)編碼矩陣

在實(shí)際的移動(dòng)通信環(huán)境中，發(fā)送端獲知完備的信道信息十分困難，但統(tǒng)計(jì)信息的獲取則要簡(jiǎn)單得多，因此,本節(jié)將對(duì)已知天線相關(guān)系數(shù)矩陣的中繼系統(tǒng)進(jìn)行探討，設(shè)計(jì)源和中繼端的預(yù)編碼矩陣，使系統(tǒng)的誤符號(hào)率最小，該優(yōu)化問(wèn)題可以歸結(jié)為

(12)

(13)

式(12)中,誤碼率用式(8)代入.考慮到該優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)非線性非凸的問(wèn)題，并不容易解決，因此,與完備下的方式類似，采用先確定最優(yōu)化的方向，再確定最優(yōu)功率分配的方法.相對(duì)完備信道信息，統(tǒng)計(jì)信道信息下的求解相對(duì)較復(fù)雜，因此,將其總結(jié)為下面2個(gè)推論.

推論1當(dāng)預(yù)編碼矩陣的最優(yōu)化方向與發(fā)送端的天線相關(guān)系數(shù)矩陣的特征向量方向一致時(shí)，系統(tǒng)的誤符號(hào)率最小化，即預(yù)編碼矩陣可以分解為Vi=URtiEVi，其中URti是發(fā)送天線相關(guān)系數(shù)矩陣Rti的特征向量矩陣，EVi是決定功率分配的對(duì)角矩陣.

要證明推論1，首先要給出引理1及其證明.

引理1對(duì)于2個(gè)非負(fù)的獨(dú)立隨機(jī)變量w1與w2，滿足w1,w2∈(0,1)，函數(shù)f(w1,w2)=w1+w2-w1w2是單調(diào)遞增函數(shù).

因此,當(dāng)w1,w2最小化時(shí)，f(w1,w2)的函數(shù)值達(dá)到最小.

推論1的證明 假定W1(θ)，W2(θ)對(duì)任意θ∈[θ1,θ2]均為正定矩陣.定義Λ(X)：返回一個(gè)對(duì)角矩陣，其對(duì)角元素是原矩陣X的對(duì)角值.對(duì)于所有θ∈[θ1,θ2]，與文獻(xiàn)[6]相似，有

det-1(Wi(θ))≥det-1(Λ(Wi(θ))),i=1,2.

等式當(dāng)且僅當(dāng)Wi(θ)為對(duì)角矩陣時(shí)取得.對(duì)det-1(Wi(θ))∈(0,1)，運(yùn)用引理1可得

f[det-1(W1(θ)),det-1(W2(θ))]≥f[det-1(Λ(W1(θ))),det-1(Λ(W2(θ)))].

將積分看成求和的特殊形式，對(duì)所有θ∈[θ1,θ2]，可以得到以下不等式[6]：

(14)

(15)

(16)

式(16)中,EVi為對(duì)角矩陣，即最優(yōu)化的方向與發(fā)送相關(guān)系數(shù)矩陣的特征向量方向一致.推論1證畢.

推論1亦表明:最優(yōu)化預(yù)編碼矩陣的方向只與發(fā)送端的天線相關(guān)矩陣有關(guān)，而與接收端的天線相關(guān)矩陣無(wú)關(guān).

推論2發(fā)送功率的分配問(wèn)題可以分解為如下的子問(wèn)題:對(duì)i=1,2，有

(17)

(18)

證明 預(yù)編碼矩陣的方向已經(jīng)確定，式(15)可以進(jìn)一步表示為

該積分式隨著θ的增大單調(diào)遞增，積分的最大值當(dāng)θ等于π/2時(shí)取得，因此,誤碼率的值可以等價(jià)于一個(gè)矩陣區(qū)域的面積，即

Ps(error)=F(θmax)Δθ.

(19)

由于Δθ是一個(gè)固定的值，所以式(19)可以由等式minPs(error)=minF(θmax)取代.由推論1的證明可知，minF(θmax)可以轉(zhuǎn)化為maxgθmax(V1)與maxgθmax(V2).由于ln(·)也是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)，所以最優(yōu)化準(zhǔn)則可以分解為以下子問(wèn)題：在發(fā)射功率的條件限制下，對(duì)i=1,2，有

(20)

圖2 統(tǒng)計(jì)信息下預(yù)編碼系統(tǒng)誤碼率理論值和仿真值的比較

推論2證畢.

對(duì)于式(20)的求解，可以參照文獻(xiàn)[6]的方法求得.

4 仿真結(jié)果

圖3 發(fā)送相關(guān)系數(shù)為0.95時(shí)的中繼系統(tǒng)

例1固定Rri=(0.3|k-j|)，將Rti中ρkj的值從0.8改變至0.3，i=1,2.圖2比較了統(tǒng)計(jì)信道狀態(tài)信息下預(yù)編碼的空時(shí)碼系統(tǒng)誤碼率的仿真值和理論值.從結(jié)果看，二者之間存在一定偏差，其原因在于推導(dǎo)近似誤碼率的過(guò)程中，采用了矩生成函數(shù)的近似值.該理論值可以作為衡量中繼系統(tǒng)性能的準(zhǔn)則.

例2固定Rri=(0.3|k-j|)，將Rti中ρkj的值從0.95改變?yōu)?.80，即發(fā)送端天線相關(guān)性不同時(shí)的誤碼率曲線(見(jiàn)圖3和圖4).從圖3和圖4可以看出，預(yù)編碼與空時(shí)分組碼相結(jié)合的系統(tǒng)，完備信道狀態(tài)信息下誤碼性能最好.在已知條件僅為統(tǒng)計(jì)信道信息時(shí)，其誤碼性能也優(yōu)于單空時(shí)分組碼的系統(tǒng)，且當(dāng)發(fā)送天線相關(guān)性較強(qiáng)(ρkj=0.95)時(shí)，在低信噪比區(qū)域中的性能優(yōu)勢(shì)明顯；但隨著發(fā)送天線相關(guān)性從0.95減小到0.80時(shí)，預(yù)編碼帶來(lái)的性能增益也有所降低，當(dāng)信噪比逐漸增大時(shí)，統(tǒng)計(jì)信道的預(yù)編碼系統(tǒng)增益與單空時(shí)分組碼系統(tǒng)的增益接近.這是因?yàn)樵诟咝旁氡葏^(qū)域中，預(yù)編碼中功率的分配轉(zhuǎn)變?yōu)榻?jīng)典的等功率分配.

圖4 發(fā)送相關(guān)系數(shù)為0.80時(shí)的中繼系統(tǒng)

圖5 信噪比為8 dB時(shí)發(fā)送端相關(guān)系數(shù)與系統(tǒng)誤碼率的關(guān)系

例3圖5給出了源節(jié)點(diǎn)發(fā)送端的相關(guān)矩陣系數(shù)從0.1增加到1.0時(shí)，中繼和目的端的接收系數(shù)分別固定為0.8和0.3時(shí)兩系統(tǒng)的誤碼率，信噪比固定為8 dB.從圖5可以看出:當(dāng)發(fā)送端的相關(guān)性較小時(shí)，預(yù)編碼系統(tǒng)與單空時(shí)碼的系統(tǒng)性能幾乎一樣；當(dāng)相關(guān)系數(shù)逐漸增加時(shí)，預(yù)編碼系統(tǒng)的優(yōu)越性逐漸體現(xiàn).由此可見(jiàn)，預(yù)編碼的空時(shí)碼系統(tǒng)在發(fā)送相關(guān)性較大時(shí)誤碼率性能的改善更為明顯.

圖6給出信噪比為8 dB下，中繼節(jié)點(diǎn)接收端相關(guān)系數(shù)在[0.1,1]區(qū)間變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)誤碼率的影響，源和中繼端發(fā)送系數(shù)分別為0.8和0.3.由圖6可得，當(dāng)發(fā)送端相關(guān)性較小(即發(fā)送系數(shù)為0.3)時(shí)，無(wú)論接收端相關(guān)性如何，預(yù)編碼系統(tǒng)較空時(shí)分組碼系統(tǒng)獲得的增益并不明顯；當(dāng)發(fā)送端相關(guān)性較大(即發(fā)送系數(shù)為0.8)時(shí)，預(yù)編碼系統(tǒng)的的優(yōu)越性才逐漸體現(xiàn).這一結(jié)果與我們之前得到的推論一致.

圖6 信噪比為8 dB時(shí)接收端相關(guān)系數(shù)與系統(tǒng)誤碼率的關(guān)系

5 結(jié) 論

本文分別針對(duì)完備與統(tǒng)計(jì)信道狀態(tài)信息，研究了采用空時(shí)分組碼的中繼系統(tǒng)預(yù)編碼矩陣的設(shè)計(jì)問(wèn)題.完備信息下，直接以接收信噪比最大化為目標(biāo)；統(tǒng)計(jì)信息下，推導(dǎo)了相關(guān)瑞利衰落信道上的近似誤碼率表達(dá)式，并以誤碼率最小化為目標(biāo)設(shè)計(jì)矩陣.研究發(fā)現(xiàn)：預(yù)編碼矩陣最優(yōu)化的方向與發(fā)送端相關(guān)系數(shù)矩陣的特征向量一致，功率分配方案可以通過(guò)數(shù)值計(jì)算求得.仿真結(jié)果表明：預(yù)編碼與空時(shí)編碼相結(jié)合的中繼系統(tǒng)，其誤碼性能優(yōu)于單空時(shí)分組碼的系統(tǒng)，且性能增益的提高依賴于發(fā)送端的相關(guān)性.

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