Hausdorff算子在Herz型空間上的加權(quán)估計(jì)*

廖嬡嬡， 吳小梅

(1.浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004;2.浙江師范大學(xué) 行知學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

Hausdorff算子在調(diào)和分析中有著悠久的歷史,從最初的級(jí)數(shù)求和逐漸延伸到Hausdorff 算子求和,并且它在復(fù)分析及偏微分方程等分支中有著廣泛的應(yīng)用.通常,一維Hausdorff算子定義為

(1)

一維Hausdorff 算子已經(jīng)得到較深入的研究[1-2].它在Rn中有很自然的2種推廣,分別為:

本文將采用記號(hào)AB表示存在不依賴主要變量的常數(shù)C,使得A≤CB.采用記號(hào)A?B表示存在不依賴主要變量的常數(shù)c和C,使得cA≤B≤CA.特別指出,常數(shù)c,C在文中不同的位置,可能取值不同.

1 主要定義

首先,本節(jié)介紹一些相關(guān)空間的基本定義.

記Bk={x∈Rn:|x|≤2k},Δk=BkBk-1,k∈Z且χk=χΔk為集合Δk的特征函數(shù).

其中,

(2)

當(dāng)p=∞或q=∞時(shí)取通常的極限情形.

(3)

2 主要引理

接下來(lái)給出需要用到的相關(guān)引理.

引理3[17]令ω∈Ap,1≤p<∞,則對(duì)任意的可測(cè)子集E?B,有

引理4證畢.

3 定理1的證明

由式(2)及Minkowski不等式得

(4)

(5)

綜合式(4)、式(5)、引理4及|y|?2j得

定理1證畢.

4 定理2的證明

首先估計(jì)‖(HΦf)χk‖Lq(ω2).由式(3),通過(guò)極坐標(biāo)分解和變量替換得

其中,r-1Δk表示集合{x:rx∈Δk}.利用H?lder不等式和極坐標(biāo)分解得

(6)

定理 2 證畢.

5 定理3的證明

其中

supp(bk,j)?B(0,tρ)?B(0,2jρ).

以下估計(jì)bk,j的尺寸條件.利用Minkowski不等式得

由變量替換得

因此,由極坐標(biāo)變換、H?lder不等式及ak的尺寸條件(即定義4中的2))得

(7)

(8)

結(jié)合式(7)與式(8)得

于是,記

bk,j(x)=ck,jAk,j(x).

‖Ak,j‖Lq(ω2)

易見(jiàn),Ak,j(x)的支集為

supp(Ak,j)=supp(bk,j)?B(0,2jρ).

利用極坐標(biāo)分解、富比尼定理、變量替換及ak的消失性(即定義 4中的3))得

情形2當(dāng)p=1時(shí),有

綜上即得定理3結(jié)果.定理 3 證畢.

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