以偏差絕對值期望為風(fēng)險度量的最優(yōu)投資組合問題研究與數(shù)值實現(xiàn)

姜麗華

【摘要】在現(xiàn)代金融領(lǐng)域內(nèi)，如何度量風(fēng)險以及如何采取相應(yīng)的對策使風(fēng)險最小化，已經(jīng)逐漸地成為人們關(guān)注的熱點問題。馬科維茨作為現(xiàn)代投資組合理論的創(chuàng)始人，他建立了經(jīng)典的均值方差模型，用方差來度量證券的投資風(fēng)險。本文首先將在經(jīng)典的均值一方差模型基礎(chǔ)上，建立用偏差絕對值期望來代替方差度量風(fēng)險的模型，并且新建立的模型中目標(biāo)函數(shù)將含有絕對值，本文稱新的模型為偏差絕對值期望模型。然后，對模型進行簡化。由于偏差絕對值期望模型的目標(biāo)函數(shù)含有絕對值，不方便計算，所以對模型做適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化。將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題再進行計算，這樣將簡化計算的復(fù)雜性，避免了通常所需的方差、協(xié)方差等數(shù)據(jù)，擁有計算量更少以及操作更為簡便的優(yōu)點，具有實際意義。其次，查找不同證券在不同時期的收益數(shù)據(jù)，并擴大數(shù)據(jù)維數(shù)。

【關(guān)鍵詞】投資組合 風(fēng)險度量 偏差絕對值期望 線性規(guī)劃

一、模型的假設(shè)

根據(jù)題目要求，我們對均值絕對偏差模型做了如下幾點假設(shè)：

（1）證券市場是信息流通的，每個投資者都可以獲得所有流通的信息，并能夠得知各種可能的收益率的概率分布情況；

（2）投資者在進行投資決策時往往只關(guān)注兩個參數(shù)：即投資期望收益率和偏差絕對值期望。期望收益率反映了投資者對未來收益水平的衡量，而偏差絕對值期望反映的是投資者對風(fēng)險的估計。

（3）投資者所追求的目標(biāo)是：風(fēng)險一定的情況下，收益率達到最高；當(dāng)收益率一定的情況下，風(fēng)險達到最小。投資者都是風(fēng)險規(guī)避的。

二、模型的建立

偏差絕對值期望模型的風(fēng)險定義為：

所以在均值方差模型的基礎(chǔ)上，改變風(fēng)險度量后建立的新模型為：

式中：R1，R2，…，Rn表示n中資產(chǎn)的收益率，x1，x2，…，xn表示對n種資產(chǎn)的投資比例，rp表示n種資產(chǎn)投資組合的預(yù)期收益率，μi表示投資者想在資產(chǎn)i中投資的最高比率（j=0，1，…，n），假設(shè)不允許賣空，xj≥O。

三、模型的轉(zhuǎn)化

由于偏差絕對值期望模型的目標(biāo)函數(shù)含有絕對值，在計算過程中很麻煩。所以對模型進行簡化，將其轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，進而對模型求解以及數(shù)值實現(xiàn)。

四、模型的求解

單純形法是求解線性規(guī)劃的基本方法，并且不管是大法、還是兩階段法，最終都是轉(zhuǎn)換為基本單純形法。單純形法是由美國數(shù)學(xué)家丹茲格于1947年首先提出的，是公認(rèn)的20世紀(jì)最偉大的算法之一。單純形法的計算步驟：①首先確定一個初始基可行解。②計算非基變量的檢驗數(shù)。③基變換。當(dāng)初始基可行解不是最優(yōu)解并且不能判斷它是無界的時候，就再找一個新的基可行解。④迭代（旋轉(zhuǎn)運算）。