例談教材中的構(gòu)造法

廣東省開平市第一中學 (529300) 梅延峰

在解題時，通過對條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數(shù)、一個等價命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學方法，我們稱為構(gòu)造法.運用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學知識互相滲透，有利于問題的解決.構(gòu)造法解題是一種創(chuàng)造性的思維活動，構(gòu)造法是依據(jù)題設(shè)的特點，用已知條件中的元素為“元件”，把已知數(shù)學關(guān)系作“支架”，構(gòu)造出一種新的數(shù)學模型，溝通數(shù)學模型間的相互關(guān)系，從而轉(zhuǎn)換命題.運用構(gòu)造法，常使數(shù)學解題突破常規(guī)，具有簡潔、明快、精巧的優(yōu)點，下面以人教A版教材的例題和習題來感受一下解題中的構(gòu)造法思想.

一、構(gòu)造組合數(shù)

例1 在(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)n+2的展開式中，含x2項的系數(shù)是多少？

例2 已知：a≠b，求證a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).

二、構(gòu)造數(shù)列

例3 一個蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飛出去找回了5個伙伴；第二天，6只蜜蜂飛出去，各自又找回了5個伙伴……,如果這個找伙伴的過程繼續(xù)下去，第6天所有的蜜蜂都歸巢后，蜂巢一共有( )只蜜蜂.

解析：可構(gòu)造數(shù)列a1=1，an+1=5an+an，可計算到第6天所有的蜜蜂都歸巢后，蜂巢一共有a6=46656只蜜蜂.

三、構(gòu)造幾何圖形

解析：可構(gòu)造目標函數(shù)z=

四、構(gòu)造向量

圖1

例5 如圖1，在直角坐標系中，以原點O為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),試用A、B兩點的坐標表示∠AOB的余弦值.

五、構(gòu)造三角式

六、構(gòu)造函數(shù)

例7 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式lnx

辯證唯物主義認為事物是普遍聯(lián)系的，在數(shù)學中不同的數(shù)學分支間也都具有這種聯(lián)系性，有的顯而易見，有的則較為隱蔽，數(shù)學教學的一個功能就是要向?qū)W生揭示這種關(guān)系，在這個過程中，可以使學生的知識體系得到整合，并逐漸對數(shù)學中的各種思想方法產(chǎn)生較為清晰的認識，對數(shù)學解題方法的拓展其實也是一種聯(lián)系性的拓展，構(gòu)造法是基本的數(shù)學方法，構(gòu)造的對象可以是各種各樣的，但要注意抓住問題的本質(zhì)特征，構(gòu)造出相關(guān)模型(式子)來使問題得以簡化，并為問題的最終解決鋪平道路.