簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的解讀

■河北省雞澤縣第一中學(xué) 高志彬

一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的五個(gè)特征

1.動(dòng)力學(xué)特征：F=-kx，“-”表示回復(fù)力的方向與位移方向相反，k是比例系數(shù)，不一定是彈簧的勁度系數(shù)。

2.運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的加速度與物體偏離平衡位置的位移成正比，且二者的方向相反，物體做的是變加速運(yùn)動(dòng)，遠(yuǎn)離平衡位置時(shí)，位移、回復(fù)力大小、加速度大小、勢(shì)能均增大，速度大小、動(dòng)能均減小，靠近平衡位置時(shí)則相反。

3.運(yùn)動(dòng)的周期性特征：相隔nT(n=1，2，3，…)的兩個(gè)時(shí)刻，振子處于同一位置且振動(dòng)狀態(tài)相同。

4.對(duì)稱性特征：

(1)相隔(n=0，1，2，…)的兩個(gè)時(shí)刻，振子的位置關(guān)于平衡位置對(duì)稱，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。

圖1

(2)如圖1所示，振子經(jīng)過(guò)關(guān)于平衡位置O對(duì)稱的兩點(diǎn)P、P'(OP=OP')時(shí)，速度的大小、動(dòng)能、勢(shì)能相等，相對(duì)于平衡位置的位移大小相等。

(3)振子由P點(diǎn)到O點(diǎn)所用時(shí)間等于由O點(diǎn)到P'點(diǎn)所用時(shí)間，即tPO=tOP'。

(4)振子在往復(fù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中通過(guò)同一段路程(如OP段)所用時(shí)間相等，即tOP=tPO。

5.能量特征：振動(dòng)的能量包括動(dòng)能Ek和勢(shì)能Ep，在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。

例1一彈簧振子沿x軸振動(dòng)，平衡位置在坐標(biāo)原點(diǎn)。t=0時(shí)刻，振子的位移x=-0.1m;t=s時(shí)刻，振子的位移x=0.1m;t=4s時(shí)刻，振子的位移x=0.1m。該振子的振幅和周期可能為( )。

A.0.1m，s B.0.1m，8s

C.0.2m，s D.0.2m，8s

解析：若振子的振幅為0.1m，s=，則振動(dòng)周期的最大值為s，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤。若振子的振幅為0.2m，由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，當(dāng)振子由x=-0.1m處運(yùn)動(dòng)到負(fù)向最大位移處再反向運(yùn)動(dòng)到x=0.1m處，再經(jīng)n個(gè)振動(dòng)周期時(shí)所需總時(shí)間為s，則，所以振動(dòng)周期的最大值為s，且t=4s時(shí)刻振子的位移x=0.1m，故選項(xiàng)C正確。若振子的振幅為0.2m，當(dāng)振子由x=-0.1m經(jīng)平衡位置運(yùn)動(dòng)到x=0.1m處，再經(jīng)n個(gè)振動(dòng)周期時(shí)所需總時(shí)間為s，則s，所以振動(dòng)周期的最大值為8s，且t=4s時(shí)刻，振子的位移x=0.1m，故選項(xiàng)D正確。答案為ACD。

規(guī)律總結(jié)：(1)分析簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中各物理量的變化情況時(shí)，一定要以位移為橋梁，當(dāng)位移增大時(shí)，振子的回復(fù)力、加速度、勢(shì)能均增大，速度、動(dòng)能均減小;反之，則發(fā)生相反的變化。另外，各矢量均在其值為零時(shí)改變方向。(2)分析簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中要特別注意周期性和對(duì)稱性。

二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像

1.對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像的認(rèn)識(shí)：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像是一條正弦或余弦曲線，如圖2所示。這個(gè)圖像反映的是位移隨時(shí)間的變化規(guī)律，圖像隨時(shí)間的增加而延伸，圖像不代表質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。

圖2

2.圖像信息：

(1)由圖像可以得出質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期和頻率。

(2)由圖像可以確定某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移。

(3)由圖像可以確定某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的回復(fù)力、加速度的方向，因?yàn)榛貜?fù)力總是指向平衡位置，所以回復(fù)力和加速度在圖像上總是指向t軸。

(4)確定某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)速度的方向可以通過(guò)圖像上質(zhì)點(diǎn)在下一時(shí)刻位移的變化來(lái)判定。如果質(zhì)點(diǎn)在下一時(shí)刻的位移增大，那么振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度方向就沿遠(yuǎn)離t軸方向;如果質(zhì)點(diǎn)在下一時(shí)刻的位移減小，那么振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度方向就沿指向t軸方向。

(5)由圖像可以比較不同時(shí)刻回復(fù)力、加速度的大小。

(6)由圖像可以比較不同時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能、勢(shì)能的大小。

例2一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其位移和時(shí)間的關(guān)系如圖3所示。

(1)求t=0.25×10-2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移。

(2)在1.5×10-2s～2×10-2s時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)的位移、回復(fù)力、速度、動(dòng)能、勢(shì)能如何變化?

(3)在0～8.5×10-2s時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的路程、位移各多大?

解析：(1)由質(zhì)點(diǎn)的位移—時(shí)間圖像知振幅A=2cm，周期T=2×10-2s，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為x=Asin(ωt-)=-Acosωt=-2costcm=-2cos100πtcm。當(dāng)t=0.25×10-2s時(shí)，x=-2coscm=cm。

(2)由質(zhì)點(diǎn)的位移—時(shí)間圖像可知，在1.5×10-2s～2×10-2s時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)的位移變大，回復(fù)力變大，速度變小，動(dòng)能變小，勢(shì)能變大。

(3)在0～8.5×10-2s時(shí)間內(nèi)經(jīng)歷個(gè)周期，質(zhì)點(diǎn)通過(guò)的路程s=17A=34cm，質(zhì)點(diǎn)的位移為2cm。

跟蹤訓(xùn)練

1.某質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式為x=Asint，則( )。

A.第1s末與第3s末質(zhì)點(diǎn)的位移相同

B.第1s末與第3s末質(zhì)點(diǎn)的速度相同

C.第3s末至第5s末質(zhì)點(diǎn)的位移方向都相同

D.第3s末至第5s末質(zhì)點(diǎn)的速度方向都相同

2.一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移—時(shí)間圖像如圖4所示，下列說(shuō)法正確的是( )。

圖4

A.質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)頻率是4Hz

B.在0～10s時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程是20cm

C.第4s末質(zhì)點(diǎn)的速度為零

D.在t=1s和t=3s兩時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的位移大小相等，方向相同

參考答案：1.AD 2.B