2017年全國(guó)數(shù)學(xué)理科III卷第17題解法分析
——兼談高考數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查

楊孝斌 潘志堅(jiān)

（1.凱里學(xué)院， 貴州 凱里 556011 2.順德梁銶琚職業(yè)技術(shù)學(xué)校， 廣東 順德 528300）

（1）求 c；（2）設(shè) D 為 BC 邊上一點(diǎn)，且 A D⊥A C，求△A BD的面積.（注：原題無(wú)圖.）1.第（1）問(wèn)之問(wèn)題分析與解法分析

第（1）問(wèn)之問(wèn)題分析：

求什么？——求c，三角形的邊長(zhǎng).

有哪些方法可用？——正弦定理、余弦定理、勾股定理、面積法以及c=a·cos B+b·cosA等等.

第（1）問(wèn)方法 1（用余弦定理）：

因?yàn)閍、b已知，且有關(guān)于A的關(guān)系式，由余弦定理a2=b2+c2-2b c·cosA知，欲求c只需求角A.

圖1

圖2

結(jié)論c=a·cos B+b·cosA來(lái)自于哪里？來(lái)自于正弦定理的推導(dǎo)過(guò)程（如圖1所示），結(jié)合此題的實(shí)際情況，可作圖2.

此題第（1）問(wèn)還可以借助面積法或勾股定理求解，由于在第（2）問(wèn)要反復(fù)用到這兩種方法，故不贅述.

2.第（2）問(wèn)之問(wèn)題分析與解法分析

第（2）問(wèn)之問(wèn)題分析：

求什么？——求△A BD的面積.

有哪些方法可用？——三個(gè)三角形之間的面積關(guān)系以及各種三角形面積公式.

結(jié)合此題的已知條件，構(gòu)圖如圖3所示：

圖3

第（2）問(wèn)方法1（利用三個(gè)三角形之間的面積關(guān)系）：

圖4

圖5

3.該問(wèn)題的命題立意分析及對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查

此題為高考數(shù)學(xué)第一個(gè)大題，重在考查考生對(duì)正弦定理、余弦定理、勾股定理、角的正弦（余弦、正切的定義）、特殊角的三角函數(shù)值、輔助角公式、兩角和的正弦（余弦）公式、三角形面積公式、三角形中位線、平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)、一元二次方程的解法等具體知識(shí)的掌握情況，以及對(duì)數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、方程思想等數(shù)學(xué)思想的理解與應(yīng)用情況.

整體而言，此題知識(shí)覆蓋面廣，難度并不高，上述各種方法均可湊效，在實(shí)際考試過(guò)程中需要考生迅速的判斷出哪種方法更簡(jiǎn)單易求（如上述第（2）問(wèn)解法 6、7明顯要容易一些，而第（2）問(wèn)解法4的計(jì)算量就要大得多），對(duì)考生思維的靈活性有較高要求.在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查上，此題著重考查了邏輯推理、直觀想象、運(yùn)算能力等方面，同時(shí)兼顧數(shù)學(xué)建模能力、合情推理能力的考查.

邏輯推理對(duì)于數(shù)學(xué)的重要性不言而喻，高考中的幾何問(wèn)題也常常將邏輯推理能力作為首要的考查目標(biāo)，此題的上述各種解法均涉及邏輯推理.同時(shí)，先猜后證是幾何解題中的常用方法之一，考生在實(shí)際解題過(guò)程中可以先猜出D點(diǎn)為BC邊上的中點(diǎn)這個(gè)結(jié)論再進(jìn)行證明，這就涉及到對(duì)考生合情推理能力的考查.

由以上分析可知，題中D點(diǎn)為BC邊上的中點(diǎn)這個(gè)結(jié)論若隱若現(xiàn).通過(guò)上述解法探究，可以認(rèn)為命題者有可能是將一個(gè)完整的直角三角形（如圖4所示）或平行四邊形（如圖5所示）故意殘缺而命出此題.考生在解答此題時(shí)，若能在對(duì)圖形的觀察中充分把握整體與局部的關(guān)系，并將殘缺的圖形補(bǔ)全，則顯得容易得多.這就要求學(xué)生具有較高的直觀想象能力.

運(yùn)算能力也往往是高考數(shù)學(xué)綜合題的重點(diǎn)考查目標(biāo)之一.就此題而言，在運(yùn)算能力方面重點(diǎn)考查了特殊角三角函數(shù)值、一元二次方程的求解、利用正弦定理（余弦定理、勾股定理）進(jìn)行計(jì)算、利用兩角和的正弦（余弦）公式進(jìn)行計(jì)算、利用三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算，等等.特別地，上述第（2）問(wèn)方法4，在實(shí)際解方程組的時(shí)候，計(jì)算量相對(duì)較大，對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力要求較高.此外，方程也是數(shù)學(xué)模型，因此第（2）問(wèn)方法4（列方程組求解）涉及到數(shù)學(xué)建模能力的考查.事實(shí)上，從對(duì)數(shù)學(xué)模型的廣義理解來(lái)看，高考數(shù)學(xué)綜合題常常涉及對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的考查.