數(shù)學(xué)名題在高考命題中的應(yīng)用

梁志紅

【摘 要】本文分析數(shù)學(xué)名題在高考命題中的應(yīng)用情況，指出這種應(yīng)用有直接采用數(shù)學(xué)名題、采用數(shù)學(xué)名題的變形、以數(shù)學(xué)名題為基本素材這三種主要形式，以例講解，為高三學(xué)生提供良好有效的復(fù)習(xí)策略。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)名題 數(shù)學(xué)典籍 高考命題

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）01B-0154-02

隨著新課標(biāo)改革的進(jìn)行，高考命題中開始越來越多地出現(xiàn)一些數(shù)學(xué)名題的身影，對其稍加整合或變形，很容易就成為了高考中數(shù)學(xué)的命題新形式。因為數(shù)學(xué)名題一般都極具知識點代表性和考查重心特點，這些題目的解法具有較為獨到的構(gòu)思和較為新穎的解題技巧，使學(xué)生得到較好的考查，這些名題在高考命題中受到一定程度上的歡迎。我們知道，每一年高考數(shù)學(xué)命題都是高中師生關(guān)注的焦點，教師摸清楚命題者在設(shè)計高考數(shù)學(xué)題時的思路與方向，便于為高三學(xué)子提供良好的有效的復(fù)習(xí)方向，提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的效率。而研究數(shù)學(xué)名題的原題、變形、改編等是非常有效的途徑，因此，本文研究數(shù)學(xué)名題在高考命題中的應(yīng)用。下面從具體的幾個方面加以闡述。

一、直接采用數(shù)學(xué)名題

在高考命題中直接采用數(shù)學(xué)名題來進(jìn)行命題的例子并不少見，因為數(shù)學(xué)名題中蘊(yùn)藏的考點很多，所以有些高考命題中會直接選取這些數(shù)學(xué)名題來作高考命題的參考。比較常見的直接采用數(shù)學(xué)名題內(nèi)容來命制高考試題的有歐拉定理、中國剩余定理、丟潘圖的墓志銘、不說話的學(xué)術(shù)報告，等等。將數(shù)學(xué)名題直接用在高考命題中的例子有：

〖例 1〗（2014 年湖北高考數(shù)學(xué) 理科）8.《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一。該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長 L 與高 h，計算其體積 V 的近似公式 ，它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率 π 近似取為 3，那么近似公式 ，相當(dāng)于將圓錐體積公式中的 π 近似取為（ ）

無需過多解釋，單從這道高考題的題干來看，就知道其借用的是“囷蓋算術(shù)”這一經(jīng)典的數(shù)學(xué)名題，其中也無多大的變形，它幾乎是直接運用數(shù)學(xué)名題，但是，其中考查的數(shù)學(xué)要點不容忽視。這一題主要考查圓錐體的體積公式，考查學(xué)生的閱讀理解能力。它雖是一道基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)題目，但題干較長，使得學(xué)生在面對此類題目的時候會出現(xiàn)一定的初始暈題效應(yīng)。《算術(shù)書》作為我國古代著名的數(shù)學(xué)典籍，其中蘊(yùn)藏了許多數(shù)學(xué)奧秘，像這里提出來的“囷蓋算術(shù)”就是圓錐體積公式的早期形成與運用。它雖以文字的形式出現(xiàn)，但其中的數(shù)學(xué)道理都是經(jīng)過后代無數(shù)的驗證的。在此題目中，可以直接運用 這個公式作為中間站點，建立方程來進(jìn)行求解。設(shè)圓錐底面圓的半徑為 r，高為 h，則 L=2πr，然后就比較容易通過方程求出這里 π 近似取值的大小。除此之外，平時還要注意如“秦九韶算法”等古代名題，這些也是高考命題中的熱點。就“秦九韶算法”而言，求多項式的時候，可以將它直接轉(zhuǎn)移應(yīng)用。像這些數(shù)學(xué)名題，較好地考查學(xué)生的思維能力、理解能力、解題能力。這在提倡素質(zhì)教育的今天，它成為高考數(shù)學(xué)命題中的一個重點，我們要給予更多關(guān)注。

二、采用數(shù)學(xué)名題的變形式

在高考數(shù)學(xué)名題當(dāng)中，與數(shù)學(xué)名題的直接運用相比，采用數(shù)學(xué)名題的變形來進(jìn)行高考命題更為常見。在近些年來，幾乎各地的高考數(shù)學(xué)卷子上都有此類題目出現(xiàn)。經(jīng)過對數(shù)學(xué)名題進(jìn)行適當(dāng)變形，把數(shù)學(xué)名題中所蘊(yùn)藏的道理經(jīng)過整合后更好地運用到高考命題當(dāng)中，拓寬考查點，更好地考查學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識的能力和掌握解題技巧的能力，這在高考命題中受到廣泛歡迎。

〖例 2〗（2012 年全國高考理科數(shù)學(xué)試題——新課標(biāo)）2.（5分）將 2 名教師和 4 名學(xué)生分成 2 個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動。每個小組由 1 名教師和 2 名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（ ）

A.12 種 B.10 種 C.9 種 D.8 種

2012 年高考全國卷考的這道有關(guān)計數(shù)原理的題目，其中所運用的數(shù)學(xué)名題就是四色定理，它在這個數(shù)學(xué)名題的基礎(chǔ)上，經(jīng)過適當(dāng)變形而來，在解題的技巧上仍然存在一定的相通之處。學(xué)生在解答這道高考數(shù)學(xué)題的時候，可以分為三步進(jìn)行。第一步，為甲地選擇一名老師，有 C21=2 種選法；第二步，為甲地選擇兩名老師，則有 C42=6 種；第三步，為乙地選 1 名教師和 2 名學(xué)生，有 1 種選法。綜合求解，則共有 12 種（2×6×1=12）不同安排的方案，這道選擇題的答案 A 就自然而言地顯現(xiàn)出來。而在四色定理中，其作為世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一，主要內(nèi)容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同顏色”。這其中就考察了計數(shù)原理的問題，但其可能更為復(fù)雜，可能還會運用到幾何雙面屬性的問題，在其分析中，對學(xué)生思想層面的要求較高。但在這道高考題中，它就進(jìn)行了變形，重點考查學(xué)生分析題目的條理性和步驟性。除此之外，還有許多高考試題都是由一些數(shù)學(xué)名題變形而來。有的還出現(xiàn)在數(shù)學(xué)大題的考查當(dāng)中，但它一般并不會進(jìn)行全部變形，使其中某一小問的解題思路與這些名題類似。運用這些數(shù)學(xué)名題的思維來解答這些高考數(shù)學(xué)題，是解答數(shù)學(xué)問題的捷徑，有效提高解題效率。

三、以數(shù)學(xué)名題為基本素材

高考命題中以數(shù)學(xué)名題為基本素材是近些年來數(shù)學(xué)名題在高考命題中應(yīng)用的一個重要的趨勢，特別是以世界數(shù)學(xué)名題為基本素材的高考題，從題目的表面來看，其似乎與這些數(shù)學(xué)名題無多大關(guān)系，但是仔細(xì)來看，其命題思路與相應(yīng)的數(shù)學(xué)名題有極大的相通之處，但并不是說學(xué)生掌握此類數(shù)學(xué)名題之后就可以很輕松地解出答案。學(xué)生可以借助這些名題的思想方法當(dāng)作輔助工具，在復(fù)雜多樣的題型新穎的高考題中找到熟悉感。但其中也會有陷阱，因此備受高考數(shù)學(xué)命題者的偏愛，使得其在如今的高考命題中占據(jù)了越來越大的比重。

〖例 3〗（2015 年高考數(shù)學(xué)浙江卷）18.（15 分）已知函數(shù) f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），記 M（a，b） 是 |f（x）| 在區(qū)間 [-1，1]上的最大值。

（1）證明：當(dāng) |a| ≥2 時，M（a，b）≥2；

（2）當(dāng) a，b 滿足 M（a，b）≤2 時，求 |a|+|b| 的最大值。

看這道題目，似乎沒有什么特別之處，但第（2）問在求解 |a|+|b| 的最大值時，當(dāng) a=b=0 時，|a|+|b|=0，又 |a|+|b|≥0，所以 0 為最小值，符合題意；對任意 x∈[-1，1]，有 -2≤x2+ax+b≤2，得到 -3≤a+b≤1，且 -3≤b-a≤1，易知 |a|+|b|=max{|a-b|，|a+b|}=3，在 b=-1，a=2 時符合題意，所以 |a|+|b| 的最大值為 3。這里的解答就間接運用了數(shù)學(xué)名題中的“彭羅斯階梯”，它指的是一個始終向上或向下但卻走不到頭的階梯。這表面看似與求最大值不相關(guān)，但是命題思路上存在較大的相關(guān)性，需要學(xué)生考慮數(shù)值的各個方面，運用其中的回歸原點的中心思想，考慮題目的全面性。這里只是以此類數(shù)學(xué)名題為基本素材，進(jìn)行變形、拓展，抓取其中的一個要點，作為高考命題的中心，再結(jié)合高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重點進(jìn)行整合，成為高考命題中的一個亮點。

總的來說，數(shù)學(xué)名題在高考命題中的應(yīng)用主要有直接采用數(shù)學(xué)名題、采用數(shù)學(xué)名題的變形、以數(shù)學(xué)名題為基本素材這三種主要形式，其中直接采用數(shù)學(xué)名題做高考題并不十分多見，但是后兩種卻在高考命題中有著較為廣泛的應(yīng)用，因其具有更為廣大的思考的空間，考查的內(nèi)容更為貼合高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實際。新課改后，高考命題的形式更注重對學(xué)生各方面能力的考查，而不僅考查學(xué)生的基礎(chǔ)理論知識。數(shù)學(xué)名題蘊(yùn)藏豐富的知識，這些名題的變換在很大程度上貼合新課改的要求，因此研究數(shù)學(xué)名題在高考命題中的應(yīng)用具有進(jìn)一步探析的意義。

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