例析速解二項展開式的任意項及其系數(shù)

程琬婷

[摘要]二項展開式的指定項或指定項的系數(shù)是高中數(shù)學重要的內(nèi)容，在高考題中經(jīng)常出現(xiàn).研究二項展開式的任意項及其系數(shù)求法具有現(xiàn)實意義.

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學;二項展開式;任意項;系數(shù)

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）08002401

【例1】x2-12x9

展開式中x9的系數(shù)為.

解題思路：方法一，常規(guī)法.先將通項寫出來，求出未知數(shù)r，再來求第9項的系數(shù);方法二，速解法.在r的求法中，須確保二項式中兩個單項式的分母均不含未知數(shù)x，若分母中含未知數(shù)x，先化簡，然后再求r.r的分母為“括號內(nèi)指數(shù)相減”，分子為“括號外指數(shù)相減：第一項指數(shù)乘以二項式總指數(shù)，減去所求項指數(shù)”.

解題思路：方法一，常規(guī)法.根據(jù)公式直接來計算;方法二，利用例1中的速解法;方法三，求二項展開式中常數(shù)項的速解法.只看x的次數(shù)（就是看x的指數(shù)，不用管指數(shù)的正負，只取x指數(shù)的絕對值），先寫x的指數(shù)之比，其次將3比2值中的與調(diào)換位置，接著比上它們的和，即2+3=5，然后觀察二項式總指數(shù)n=10，由比值的和5變到10須乘以2，所以2∶3∶5每一個數(shù)都乘以2就得到4∶6∶10，最后寫答案是組合與各項系數(shù)乘積的形式，比值4∶6∶10中第一個數(shù)為組合的上標，第三個數(shù)為組合的下標，然后乘以二項式中兩個單項式的系數(shù)，并把比值中對應(yīng)的數(shù)值當作系數(shù)的指數(shù)即可.

（責任編輯黃桂堅）