巧用中心對稱解決問題

袁 勇

對于圖形的中心對稱性，許多同學雖然能掌握，但并不能靈活運用.本文通過一些例子來說明平行四邊形的中心對稱性在幾何題中的應用.

一、旋轉(zhuǎn)對稱的性質(zhì)

【例1】如圖1所示，在正方形ABCD中，E、F分別是AD、CD中點，CE、BF相交于點M，請你說明AM和AB的關(guān)系.

圖1

【分析】要確定AB和AM的關(guān)系，只要將△EDC繞點E旋轉(zhuǎn)180°到△EAN的位置，并說明△MNB為直角三角形且MA為其斜邊中線即可.

【解】∵E為AD中點，在正方形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，∴將Rt△EDC繞點E 旋轉(zhuǎn) 180°后得Rt△EAN，則Rt△EDC≌Rt△EAN.∴AN=CD=AB.∴A為NB中點.又∵F是CD中點，∴DF=CF,∠D=∠BCD=90°，BC=CD.∴ Rt△ EDC≌Rt△ FCB，∴∠CBF=∠DCE.又∵∠CBF+∠MFC=90°，∴∠DCE+∠MFC=90°.∴∠FMC=90°，即△NMB為直角三角形.∵A是NB中點，∴AM=AB.

二、中心對稱圖形的性質(zhì)

【例2】如圖2所示，在梯形ABCD中，DC∥AB，M、N分別為對角線AC和BD的中點（.1）判斷MN、AB、DC的位置關(guān)系；（2）簡述MN=（AB-DC）的理由.

圖2

【分析】解決中點問題，常利用中點作中心對稱圖形，進而構(gòu)造全等三角形.

【解】（1）連接CN并延長，交AB于點E.∵N為BD 中 點 ，∴DN=BN，∠DNC=∠ENB.∵DC∥AB，∴∠1=∠2.∴△DCN≌△BEN.∴CN=EN，DC=BE.在△CAE中，CN=EN，CM=AM，∴MN∥AB.（2）∵AE=

三、平行四邊形的中心對稱性

【例3】過?ABCD對角線AC、BD的交點O作兩條相互垂直的直線EF、GH，分別與?ABCD四條邊交于E、F和G、H，如圖3所示.試判斷四邊形EGFH的形狀，簡述理由.

圖3

【分析】由題意可知，四邊形EGFH首先為平行四邊形，又因為EF⊥GH，故為菱形.

【解】四邊形EGFH是菱形，理由是：∵四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，∴O是ABCD的對稱中心.∵GH過點O，交CD于H點，交AB于點G，∴G、H是以O(shè)為對稱中心的對稱點.∴OG=OH.同理OE=OF，∴四邊形EGFH為平行四邊形.又∵EF⊥GH，∴?EGFH為菱形.

以上幾例是最為常見的幾種對稱變換，具有一定的代表性.“對稱變換，變而不變”，所謂變，是因為把某個圖形或其某一部分轉(zhuǎn)換到了一個新的位置；所謂不變，是指在變化中，被轉(zhuǎn)化部分的內(nèi)部結(jié)構(gòu)未變，而且與其他對象的內(nèi)在關(guān)系未變.