正弦交流電有效值的簡(jiǎn)單推證

石 瑩

(積石山縣積石中學(xué) 甘肅 臨夏 731700)

交流的有效值是根據(jù)電流的熱效應(yīng)規(guī)定的.讓交流和直流通過(guò)相同阻值的電阻，如果它們?cè)谙嗤臅r(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱量相等，就把這一直流的數(shù)值叫作這一交流的有效值.課本中就是這樣給出交流有效值的概念后直接引入了正弦交變電流有效值的公式

但對(duì)公式?jīng)]有進(jìn)行推導(dǎo).雖然教參上用高等數(shù)學(xué)知識(shí)給出了詳細(xì)推證，但中學(xué)生很難接受，本文便用適合于中學(xué)生的初等數(shù)學(xué)方法進(jìn)行推導(dǎo)，幫助學(xué)生搞清公式的來(lái)龍去脈，對(duì)學(xué)生徹底地理解有效值的含義是十分有益的.下面將介紹兩種簡(jiǎn)單推導(dǎo)方法，供讀者參考.

1 初等理論推導(dǎo)法

那么I就是交變電流的有效值，則有

(1)

設(shè)交變電流i=Imsinωt在周期T內(nèi)的瞬時(shí)功率為P,則

而

(2)

由式(2)可知：交變電流的瞬時(shí)功率等于兩項(xiàng)的和，第一項(xiàng)是不隨時(shí)間變化的常量，第二項(xiàng)是按余弦規(guī)律變化的變量，第一項(xiàng)的平均值就是它本身，而第二項(xiàng)是一個(gè)余弦量，有時(shí)為正，有時(shí)為負(fù)，在一個(gè)周期內(nèi)的平均值等于零.因此交變電流在一個(gè)周期內(nèi)的平均功率是

(3)

將式(3)代入式(1)，得

再結(jié)合歐姆定律，就可以得到

2 圖像面積割補(bǔ)法

當(dāng)交變電壓u=Umsinωt對(duì)電阻R供電時(shí)，通過(guò)電阻R的電流為

該交流電壓做功的瞬時(shí)功率為

而

(4)

根據(jù)式(4)可畫出瞬時(shí)功率P與時(shí)間t的關(guān)系圖線如圖1所示.

圖1 瞬時(shí)功率P與時(shí)間t的關(guān)系曲線

因?yàn)殡姽=Pt,所以交變電流i在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)R所做的功為P-t圖線中曲線與t軸所圍的面積

當(dāng)直流電壓U對(duì)電阻R供電時(shí)，在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)R所做的功為

則有

即得

再結(jié)合歐姆定律，就可以得到

上述兩種推導(dǎo)方法簡(jiǎn)單明了，幫助學(xué)生搞清了正弦交變電流有效值與最大值關(guān)系式的來(lái)源，進(jìn)一步深化了有效值概念的理解.