高中物理解題中融入數(shù)學(xué)知識的分析

魏子昂

(辛集市第一中學(xué) 河北 石家莊 052360)

數(shù)學(xué)與物理是密不可分的，物理解題隨處可見數(shù)值計(jì)算、函數(shù)、幾何、圖像、極值法等數(shù)學(xué)知識.在解題環(huán)節(jié)巧妙利用數(shù)學(xué)知識剖析物理問題，能夠獲取意想不到的效果.

1 三角函數(shù)

三角函數(shù)配角法求極值是數(shù)學(xué)中最為常見的解題思想，簡單的說是指將三角函數(shù)中原本的自變量，采取配角的方式整合繪制成兩角和的正弦或余弦，從而有效求解問題的答案.同時(shí)，考慮到函數(shù)自身的特殊性可能會使極值點(diǎn)的求解變得更為復(fù)雜，我們需要事先認(rèn)真審題[1].

【例1】如圖1所示，一輛有四分之一圓弧的小車停在不光滑的水平地面上，質(zhì)量為m的小球從靜止開始由車的頂端無摩擦滑下，且小車始終保持靜止?fàn)顟B(tài)，地面對小車的靜摩擦力最大值是( )

圖1 例1題圖

分析：因?yàn)樾∏蛑挥兄亓ψ龉?，故小球機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒可求得任一位置時(shí)的速度，由向心力公式可求得小球受到的支持力； 對小車受力分析可求得靜摩擦力的最大值.

解答：設(shè)圓弧半徑為R，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到重力與半徑夾角為θ時(shí)，速度為v． 根據(jù)機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律有

解得小球?qū)π≤嚨膲毫镹=3mgcosθ

其水平分量為

根據(jù)平衡條件，地面對小車的靜摩擦力水平向右，大小為

點(diǎn)評：本題中需要分別對小球和小車進(jìn)行分析，找出兩者間的關(guān)系； 本題的難點(diǎn)在于對極值的分析，需要根據(jù)題意建立摩擦力的表達(dá)式，再由數(shù)學(xué)知識求出極值.

2 相似三角形

主要是指利用力的三角形與邊三角形相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求解未知量.需要注意的是，在解答力的合成問題時(shí)，我們需要事先明確合力與分力的關(guān)系，依據(jù)物理問題條件作出準(zhǔn)確判斷，不要局限一種解題思想[2].

【例2】兩根等長的輕繩，下端O點(diǎn)懸掛質(zhì)量為m的物體．上端分別固定在水平天花板上的A，B兩點(diǎn)，如圖2所示，A，B兩點(diǎn)間的距離為s，已知兩繩所能承受的拉力均為T，求每根繩的最短長度( )

圖2 例2題圖

以物體為研究對象，分析受力情況：重力和兩根繩子的拉力，根據(jù)平衡條件可知，兩根繩子拉力的合力一定，當(dāng)繩子的夾角越大時(shí)，繩子的拉力越大，當(dāng)繩子的拉力達(dá)到最大時(shí)，繩子的夾角最大，而AB兩點(diǎn)間距離一定，則繩子的長度最短．根據(jù)平衡條件求出兩繩間最大的夾角，再由幾何知識求解繩的最短長度.

解析：當(dāng)繩子的拉力達(dá)到最大時(shí)，兩繩的長度最短．設(shè)兩繩的夾角為2α．以物體為研究對象，分析受力情況，作出受力圖.根據(jù)平衡條件得到

根據(jù)幾何知識得繩的最短長度

3 微元法

微元法，簡單的說是指將研究對象劃分為若干個(gè)微小部分，選取具備代表性的核心部分進(jìn)行處理，再從局部入手?jǐn)U展到整體的解題思想.在利用微元法解決物理問題時(shí)，我們需要事先選取微元，確定研究對象，綜合分析物理?xiàng)l件，科學(xué)選定數(shù)學(xué)工具，從而高效解答問題[3].

【例3】從地面上以初速度v0豎直上拋一質(zhì)量為m的小球，若運(yùn)動(dòng)過程中受到的空氣阻力與其速率成正比，小球運(yùn)動(dòng)的速率隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖3所示，t1時(shí)刻到達(dá)最高點(diǎn)，再落回地面，落地速率為v1，且落地前小球已經(jīng)做勻速運(yùn)動(dòng)，則下列說法正確的是( )

圖3 例3題圖

A.小球加速度在上升過程中逐漸減小，在下降過程也逐漸減小

C. 小球被拋出時(shí)的加速度值最大，到達(dá)最高點(diǎn)的加速度值最小

解析：由圖像得到小球上升過程和下降過程的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后進(jìn)行受力分析，再根據(jù)牛頓第二定律進(jìn)行分析.

解析選項(xiàng)A和C，上升過程，受重力和阻力，合力向下，根據(jù)牛頓第二定律

f+mg=ma

解得

由于是減速上升，阻力逐漸減小，故加速度不斷減??； 下降過程，受重力和阻力，根據(jù)牛頓第二定律

mg-f=ma

解得

由于速度變大，阻力變大，故加速度變??； 即上升和下降過程，加速度一直在減小； 故A正確，C錯(cuò)誤；

解析選項(xiàng)B，空氣阻力與其速率成正比，最終以v1勻速下降，有

mg=kv1

小球拋出瞬間，有mg+kv0=ma0

聯(lián)立解得

故B正確；

點(diǎn)評：關(guān)于速度-時(shí)間圖像，重點(diǎn)要掌握速度-時(shí)間圖像斜率表示加速度，面積表示位移，會用極限的思想求解位移．

4 圖像法

【例4】如圖4所示，一傾角為θ的固定斜面上，有一塊可繞其下端轉(zhuǎn)動(dòng)的擋板P，在擋板與斜面間夾有一個(gè)重為G的光滑球.試求當(dāng)擋板P由圖示的豎直位置逆時(shí)針轉(zhuǎn)到水平位置的過程中球?qū)醢鍓毫Φ淖钚≈?

圖4 例4題圖

解析: 這類問題用圖解法比較直觀、簡單.球的重力產(chǎn)生了兩個(gè)作用效果：

(1)使球垂直壓緊擋板的力F1；

(2)使球垂直壓緊斜面的力F2.

如圖5所示,畫出擋板在不同位置時(shí)重力分解的平行四邊形.在這所有的平行四邊形中重力G的大小、方向都不變，分力F2的方向不變(總與斜面垂直)，分力F1的大小和方向都發(fā)生變化，由于受到F1，F(xiàn)2與G構(gòu)成平行四邊形的這一條件的限制，表示不同情況下分力F1的線段末端總應(yīng)該落在圖中的AC上，這些線中最短的就表示分力F1對應(yīng)的最小值.由圖可見，這些線段最短的是OD(OD⊥AC)，且OD=OCsinθ，即分力F1的最小值FOD=Gsinθ，這個(gè)值也就等于球?qū)醢鍓毫Φ淖钚≈?

圖5 擋板在不同位置時(shí)重力分解的平行四邊形

5 結(jié)束語

綜上所述，在解答物理問題時(shí)采取融合數(shù)學(xué)思想的方式，降低問題難度，使我們在掌握更多解題技巧的同時(shí)，不斷提升解題能力.