巧借數(shù)學(xué)工具 妙解物理極值

何紀(jì)達(dá)

(浙江省春暉中學(xué) 浙江 上虞 312300)

在大量的物理情景中，物理量之間總是存在相互聯(lián)系，一些物理量會(huì)隨著另一些物理量的變化而變化，或不斷增加，或不斷減小，或先增加后減小或先減小后增加等等．在一定范圍內(nèi)，這些物理量都存在著極大值或極小值，這就是所謂的“極值問(wèn)題”．

極值問(wèn)題往往綜合性較強(qiáng)，能力要求較高．要有效解決這類問(wèn)題，需要學(xué)生具備較高的思維水平、推理能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理問(wèn)題的能力．因此，極值問(wèn)題也往往成為每年高考中的一類?？碱}型[1]．

下面，筆者通過(guò)實(shí)例，闡述如何靈活借助數(shù)學(xué)工具，巧妙解決高中物理中的極值問(wèn)題．

1 借助數(shù)學(xué)圖像求極值

圖像具有直觀、可視性強(qiáng)等特征，巧妙地借助數(shù)學(xué)圖像能更好地幫助學(xué)生理解物理過(guò)程，得出物理規(guī)律和解決物理極值問(wèn)題．比如，在某個(gè)物理過(guò)程中，速度隨時(shí)間先增大后減小或先減小后增大時(shí)，通過(guò)作“v-t”圖像就能直觀地得出結(jié)論．圖像最高點(diǎn)表示速度最大，此時(shí)圖像斜率為零，即加速度a=0．

【例1】如圖1所示，用絕緣細(xì)線豎直懸掛一質(zhì)量為m帶正電小球，其帶電荷量為q，小球處于方向水平向右，場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中．現(xiàn)把小球由靜止釋放，問(wèn)小球在電場(chǎng)力作用下偏離豎直方向的角度θ為多大時(shí)，小球的動(dòng)能最大，最大動(dòng)能為多少？

圖1 例1題圖

解析：在如圖1受力分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合牛頓第二定律，可得小球在沿切線方向有

Eqcosθ-mgsinθ=ma

隨著角度θ增大，小球沿切線方向先做加速度不斷減小的加速運(yùn)動(dòng)，再做加速度不斷增大的減速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)圖像如圖2所示．

圖2 v-t圖像

從圖像可以直觀地得出，在最高點(diǎn)時(shí)，速度達(dá)最大(即動(dòng)能最大)．此時(shí)，圖像斜率為零，加速度a=0時(shí)

Eqcosθ=mgsinθ

Ekmax=EqLsinθ-mgL(1-cosθ)

在動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)上，巧妙結(jié)合數(shù)學(xué)圖像確定物理量的極值，能起到事半功倍的效果．

2 借助矢量圖示求極值

所謂矢量圖解法就是通過(guò)作矢量圖來(lái)分析或求解某個(gè)物理量的大小及變化趨勢(shì)的一種解題方法．通過(guò)作矢量圖來(lái)揭示物理過(guò)程、物理規(guī)律，具有直觀形象、簡(jiǎn)潔明了等優(yōu)點(diǎn)．它特別適合處理物體受3個(gè)力作用而處于動(dòng)態(tài)平衡的問(wèn)題，既容易定性判斷和分析，也可作定量計(jì)算．

【例2】如圖3所示，用OA與OB兩根輕繩將物體懸于兩豎直墻之間，開(kāi)始時(shí)OB繩水平．現(xiàn)保持O點(diǎn)位置不變，改變OB繩長(zhǎng)使繩端由B點(diǎn)緩慢上移至B′點(diǎn)，此時(shí)OB′與OA之間的夾角θ<90°．求此過(guò)程中θ為多少時(shí)OB繩的拉力最??？拉力的最小值為多少？

圖3 例2題圖

解析：選結(jié)點(diǎn)O為研究對(duì)象，其受到FA，F(xiàn)B和mg3個(gè)力的作用而平衡．此3個(gè)力構(gòu)成一個(gè)封閉的動(dòng)態(tài)三角形，如圖4所示．由矢量圖容易看出，F(xiàn)B先減小后增大，當(dāng)FA⊥FB時(shí)，F(xiàn)B取到最小值，最小值為mgsinα．

圖4 受力分析

通過(guò)矢量圖的分析，可以避開(kāi)較繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算，能更為直觀、便捷地得出物理量的變化情況，從而快速確定極值．

3 借助三角函數(shù)求極值

高中生對(duì)三角函數(shù)的知識(shí)并不陌生，已經(jīng)基本具備借助三角函數(shù)解決物理極值問(wèn)題的能力．當(dāng)物理量隨角度變化時(shí)，通過(guò)物理分析，得出其與三角函數(shù)之間的關(guān)系．結(jié)合三角函數(shù)的取值范圍，就能確定物理量的極值．

【例3】有兩根光滑的絕緣桿，可在同一豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，兩桿上各穿著一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為q的小球．兩桿與水平面的夾角都等于θ時(shí)，兩球在同一水平面上處于靜止?fàn)顟B(tài)．如圖5所示，現(xiàn)使兩桿同時(shí)繞O點(diǎn)在紙面內(nèi)緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)小球在桿上的位置隨之改變．問(wèn)θ取何值時(shí)，小球到O點(diǎn)的距離L為最??？L的最小值為多少？

圖5 例3題圖

解析：取其中一個(gè)小球?yàn)檠芯繉?duì)象，通過(guò)受力分析，容易得到

整理可得

利用sin2θ=2sinθcosθ，即得

隨著角度的變化，兩球間距離、庫(kù)侖力及兩球相對(duì)桿的位置都會(huì)發(fā)生動(dòng)態(tài)變化，物理過(guò)程復(fù)雜，難以直接從物理視角得出極值．然而，所有量的變化都是由角度的變化引起的，當(dāng)確定了L與θ的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)，便能快速得出極值．

4 借助一元二次函數(shù)求極值

【例4】如圖6所示為某種彈射小球的裝置．每次彈射前，推動(dòng)小球?qū)椈蓧嚎s到同一位置后釋放，已知彎管BC半徑R=0.40 m，小球質(zhì)量m=0.1 kg．當(dāng)調(diào)節(jié)豎直細(xì)管AB的長(zhǎng)度L至L0=0.80 m時(shí)，發(fā)現(xiàn)小球恰好能過(guò)管口C端．問(wèn)：L取多大時(shí)，小球飛出后水平位移最大？ ( 不計(jì)小球機(jī)械能損失，

g=10 m/s2)．

圖6 例4題圖

解析：根據(jù)題意可得彈簧每次對(duì)小球做功W=mg(L0+R)．設(shè)AB長(zhǎng)為L(zhǎng)，由動(dòng)能定理得

當(dāng)L=0.2 m時(shí)，水平位移最大，最大值為1.2 m．

這類極值問(wèn)題往往能同時(shí)考查學(xué)生對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)及動(dòng)能定理等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況．因此，更受出題者的青睞．

隨著社會(huì)的不斷發(fā)展,工業(yè)和交通業(yè)也在迅速發(fā)展,這也會(huì)導(dǎo)致交通事故、工業(yè)事故的發(fā)生概率增大,因?yàn)槭鹿识l(fā)生骨折的人數(shù)也在不斷上升,骨折給患者的生活帶來(lái)極大的不便,降低了患者的生活質(zhì)量[1]。對(duì)于骨折的治愈,不僅及時(shí)有效的治療十分關(guān)鍵,科學(xué)全面的護(hù)理干預(yù)也是獲得理想治療效果的關(guān)鍵環(huán)節(jié),優(yōu)質(zhì)護(hù)理服務(wù)模式主要根據(jù)以人文本的核心思想,對(duì)患者進(jìn)行全面、護(hù)理、優(yōu)質(zhì)的護(hù)理干預(yù),我院應(yīng)用優(yōu)質(zhì)護(hù)理模式對(duì)骨折患者進(jìn)行護(hù)理干預(yù),并取得了不錯(cuò)的效果,現(xiàn)做如下報(bào)告。

5 借助均值不等式求極值

數(shù)學(xué)中，均值不等式的一般形式為

當(dāng)滿足不同的條件時(shí)，可分別取到極大值或極小值．

5.1 積定和最小

當(dāng)滿足a1a2a3…an=C1(C1為定值)時(shí)，a1+a2+a3+…+an存在極小值，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=a3=…=an時(shí)，取到極小值．這種情況可總結(jié)為“積定和最小”．

(1)求此人落到坡面時(shí)的動(dòng)能；

(2)此人水平跳出的速度為多大時(shí)，他落在坡面時(shí)的動(dòng)能最小？動(dòng)能的最小值為多少？

圖7 例5題圖

解析：(1)此人飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t落到坡面上，落點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)．

其中

將x，y代入坡面方程可解得

從拋出到落地的過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理

即得人落到坡面時(shí)的動(dòng)能

(2)將Ek變形后可得

5.2 和定積最大

當(dāng)滿足a1+a2+a3+…+an=C2(C2為定值)時(shí)，a1a2a3…an存在極大值，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=a3=…=an時(shí)，取到極大值．這種情況可總結(jié)為“和定積最大”．

【例6】如圖8所示，質(zhì)量為m的小球用細(xì)線懸掛于O點(diǎn)，細(xì)線長(zhǎng)為L(zhǎng)，現(xiàn)將細(xì)線拉至水平位置，使小球從A點(diǎn)由靜止擺下，求輕繩與水平方向夾角為多少時(shí)重力的功率最大，最大功率為多少？(小球可視為質(zhì)點(diǎn))

圖8 例6題圖

解析：設(shè)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，輕繩與水平方向的夾角為θ，小球速度為v．如圖9所示.

圖9 過(guò)程分析

根據(jù)動(dòng)能定理

(1)

重力的功率為

P=mgvcosθ

(2)

由式(1)、(2)可得

另外，在大學(xué)物理或高等數(shù)學(xué)中，借助導(dǎo)函數(shù)等于零[f′(x)=0]求極值也是一種常用的方法．但根據(jù)《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》[2]，這不屬于高中的教學(xué)要求．所以，關(guān)于這種方法在文中不作討論．

綜上所述，解決物理極值問(wèn)題，既不能脫離物理，將問(wèn)題徹底數(shù)學(xué)化，使物理問(wèn)題淪為純粹的數(shù)學(xué)習(xí)題．同時(shí)，也不能因?yàn)楹ε掳盐锢韱?wèn)題數(shù)學(xué)化，而刻意排斥和回避數(shù)學(xué)知識(shí)在解決物理問(wèn)題時(shí)所起的作用．在物理分析的基礎(chǔ)上，合理地借助相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，才是解決物理極值問(wèn)題時(shí)的最好選擇．只有巧借數(shù)學(xué)知識(shí)，才能妙解物理極值．

本文所述幾種借助數(shù)學(xué)知識(shí)巧解物理極值問(wèn)題的方法，僅僅是筆者在有限的教學(xué)經(jīng)歷基礎(chǔ)上，所作的淺顯總結(jié)，并不涵蓋所有的方法．筆者希望借此“拋磚引玉”，激發(fā)廣大讀者對(duì)這類問(wèn)題的更深入探討．

參 考 文 獻(xiàn)

1 侯紅彬,范曉波.保持物理本色 原味求解極值.物理教師,2017(3):87～89

2 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)).北京:人民教育出版社,2014