算理不清用圖形，思路不明畫線段
——“分?jǐn)?shù)除法（二）”的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

陜西西安市西光實(shí)驗(yàn)小學(xué)（710043） 閆 倫

【教學(xué)內(nèi)容】北師大版教材五年級(jí)下冊第57頁至58頁“練一練”。

【教學(xué)目標(biāo)】

1．借助實(shí)物操作和演示，理解分?jǐn)?shù)除法中除數(shù)為分?jǐn)?shù)的意義和算理。

2．歸納得出一般分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法，并能正確計(jì)算。

【設(shè)計(jì)思路】“幾何直觀”是學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘除法算理的重要手段，培養(yǎng)學(xué)生“幾何直觀”素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容。通過教具、課件演示等直觀方式，在幫助學(xué)生理解除數(shù)為分?jǐn)?shù)的除法算理的同時(shí)，提升學(xué)生運(yùn)用“幾何直觀”解決問題的能力和培養(yǎng)學(xué)生的“幾何直觀”素養(yǎng)。

【教材分析】分?jǐn)?shù)除法（二）是北師大版教材五年級(jí)下冊的內(nèi)容，即除數(shù)為分?jǐn)?shù)的小數(shù)除法。本課是讓學(xué)生在上節(jié)課學(xué)習(xí)了“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”后，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)除法的意義和算理算法。與除數(shù)為整數(shù)的除法相比，除數(shù)為分?jǐn)?shù)的除法意義在算理上是完全不同，前者為“等分”，后者為“包含分”；前者算理容易理解——把一個(gè)數(shù)平均分成幾份與求這個(gè)數(shù)的幾分之一的意義容易溝通，后者學(xué)生理解很困難——每幾分之一個(gè)一份，相當(dāng)于每個(gè)幾分之一都可以分成幾份。因此，理解算理是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，筆者將利用“幾何直觀”手段來突破這些重難點(diǎn)。

【教學(xué)過程】

一、導(dǎo)入

師（出示本課師生愿景：會(huì)講故事的老師，會(huì)講道理的學(xué)生）：猜一猜，老師為什么會(huì)提出這樣的要求。

師：一位國王造了一個(gè)大湖，便問群臣“：這個(gè)大湖的水能裝多少桶？”大臣無言以對(duì)……最后，有一位大臣的兒子幫父親解決了問題：“關(guān)鍵要看桶多大，如果桶和湖一樣大，一桶就裝完；如果桶是湖的一半，可以裝兩桶……”

［設(shè)計(jì)意圖：揭示本節(jié)課的主線和學(xué)習(xí)的策略——講算理。故事為主線的問題串引入，不但為除數(shù)為分?jǐn)?shù)的除法意義的學(xué)習(xí)做了鋪墊，還溝通了2和，3和……互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的實(shí)際意義——總量為“1”時(shí)，每份數(shù)與份數(shù)互為倒數(shù)。］

二、新知探究

師：國王問：“你們會(huì)列算式嗎？”大臣表示只會(huì)列第一個(gè)1÷1＝1，其余不會(huì)。國王要求他們和我們一起學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)除法”，我們一起來幫助他們。不過他們遠(yuǎn)道而來，一定已經(jīng)餓了，我們先請他們吃點(diǎn)東西。

師（出示主題圖1；圖略）：有4張同樣的大餅，每2張為一份，可以分給幾個(gè)人？

（學(xué)生列出算式，重點(diǎn)講清為什么用除法，以及兩個(gè)2的區(qū)別）

師（出示主題圖2；圖略）：有4張同樣的大餅，每1張為一份，可以分成幾份？

（學(xué)生列出算式，重點(diǎn)講出除數(shù)1和商4的意義）

［設(shè)計(jì)意圖：溫習(xí)除法中包含分的意義及除法各部分表示的意義。］

師（出示主題圖3）：

生1

師：8是如何得到的？

生2：看主題圖可知，一共被分成了8份。

生3：根據(jù)意義，看4里面有幾個(gè)一半，共8個(gè)一半，即8份。

生4：除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，所以4×2＝8。

師：我們只學(xué)過“除以一個(gè)整數(shù)，相當(dāng)于乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)”，這能直接遷移到分?jǐn)?shù)除法嗎？

師：除以一個(gè)分?jǐn)?shù)是否相當(dāng)于乘這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)？理由是什么？意義上能說得通嗎？

（舉例說明除數(shù)為整數(shù)的情況。如a÷3和都可以表示平均分成3份，求每份是多少）

師：除數(shù)為分?jǐn)?shù)時(shí)也是這樣嗎？刻舟求劍的典故后面有一個(gè)故事，說有一個(gè)人把一個(gè)嬰兒扔到水里，曰“其父善游”。其父善游其子亦善游？這個(gè)故事傳達(dá)了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)精神——大膽猜測，小心求證。

師：為什么除以相當(dāng)于乘2呢？或者說每張餅為一份時(shí)，為什么乘2，2表示什么意思呢？（教師出示“錦囊”：每張餅為一份相當(dāng)于每張餅可以分成2份）

（學(xué)生講4遍“道理”：第一遍讀“錦囊”，初步理解句意；第二遍，教師手持教具（教具為兩個(gè)半圓）演示，學(xué)生看著幾何教具講，通過幾何直觀，初步理解算理；第三遍，學(xué)生看著主題圖講，并補(bǔ)充說4張餅可以分成4×2＝8；第四遍，學(xué)生看著算式講，理解“除以幾分之一，相當(dāng)于乘幾?！保?/p>

［設(shè)計(jì)意圖：語言是思維的載體，學(xué)生在反復(fù)講“道理”的過程中，就能理解算理，教師再輔以幾何直觀，就能充分幫助學(xué)生溝通生活與算式的意義。］

師：有4張餅，每張為一份，可以分成幾份？你會(huì)算嗎？（把“錦囊”的教學(xué)內(nèi)容遷移到上）

師：現(xiàn)在能否說“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)，相當(dāng)于乘這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”？

師：通過“守株待兔”這個(gè)故事，我們明白了，為了排除偶然因素，必須小心求證。因此，僅用分餅一件事來說明是不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，還要用更多的事例來進(jìn)行歸納，從而提高命題的正確性。

［設(shè)計(jì)意圖：此處讓學(xué)生體會(huì)不完全歸納推理的方法——作為合情推理，事例越多，不完全歸納得出的命題正確性越高。］

師（出示P58練一練圖1；圖略）：2米長的繩子，每段米，可以截成幾段？（學(xué)生列式，并講出算理?！板\囊”改為“每米一份相當(dāng)于‘1’米可以分成2份?！保?/p>

（教師出示P58練一練圖2，教學(xué)流程同上）

師（出示P58練一練圖3）：2米長的繩子，每段米，可以截成幾段？

生5：每米為一份，相當(dāng)于1米可以分成份。

（教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“原來的除數(shù)一直是分子為1，即為分?jǐn)?shù)單位，如果分子不是1，原來的“錦囊”就不靈了”，指導(dǎo)學(xué)生將轉(zhuǎn)化為或是1.5,說成一個(gè)半，再對(duì)照線段圖來講明道理。）

［設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于分母不為1的情況，運(yùn)用轉(zhuǎn)化和幾何直觀手段，可以助力教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。］

師：通過以上例子可以得出，除以一個(gè)分?jǐn)?shù)，相當(dāng)于乘這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。除以一個(gè)數(shù)，相當(dāng)于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

三、反思總結(jié)

師：如果桶是湖的一半，可以裝兩桶。列式為2（桶）?？偭繛椤?”時(shí)表示每份數(shù)，2則表示份數(shù)。我們是將除以每份數(shù)轉(zhuǎn)化為乘每份數(shù)來計(jì)算和說明算理的。

師：本節(jié)課中，老師是會(huì)講故事的老師嗎？你們是會(huì)講道理的學(xué)生嗎？我講了什么故事，你們又講了什么道理？我們是如何進(jìn)行歸納推理的？有兩個(gè)幕后“英雄”介紹給大家。

課件呈現(xiàn)：

A錦囊：語言是思維的載體，多講多說可以幫助我們理解算理。

B幾何直觀是理解算理、解決問題的好幫手，今天我們就是用它來學(xué)習(xí)的。送給同學(xué)們兩句話：算理不清用圖形，思路不明畫線段。