數(shù)學分析教學探究

馬忠蓮

【摘要】本文通過作者多年數(shù)學分析教學經驗的思考，總結出一些數(shù)學分析教學中的基本概念的理解與認識的方法.在教學過程中向學生講解清楚這些理解與認識，能夠降低學生初學數(shù)學分析的學習難度，提高學生對數(shù)學分析課程的理解的深度，更有效地把握數(shù)學分析的思想方法，高效率地真正學懂數(shù)學分析，提高分析解決問題的能力，并能應用數(shù)學分析中的思想方法和知識解決實際問題.

【關鍵詞】數(shù)學分析；關系；教學

數(shù)學分析對理工科學生來說是一門專業(yè)基礎課，而在二本及?？茖W生普遍認為該門課程抽象難學.究其課程本身的原因大致為三個：第一，課程內容豐富.數(shù)學分析大致250～300學時左右，上下兩冊，八百頁左右，這么多的內容，學起來難度大.第二，極限本身難于理解.很多學生在理解極限思想和定義時就一知半解.第三，初學者未能很好地把握知識間的密切關系和解決問題的方法.課程原因與學生基礎問題的共鳴產生了學弱現(xiàn)象，使得大部分學生根本達不到課程學習的最終目標，就這樣草草了結.知識上對后續(xù)學習產生了影響，從能力提升上達不到學科的真正要求.經過長期教學實踐證明，在教學中重視引導學生發(fā)現(xiàn)和把握下文探討的學科規(guī)律認識，大大地降低了學生學習數(shù)學分析的難度，并能更加有效地達成課程學習目標.下面我們就圍繞以上三點來談談數(shù)學分析教學中有必要讓學生把握的一些認識.

一、數(shù)學分析課程內容的全面認識

數(shù)學分析內容很多，讓初學者摸不到頭緒.在教學時不斷強調數(shù)學分析課程只做一件事情，就是以極限為工具在實數(shù)范圍內來研究函數(shù)，讓學習者輕裝上陣.數(shù)學分析的每一章節(jié)無一不是在研究函數(shù)，而且都是用極限研究函數(shù).具體做了如下事情：① 極限思想，函數(shù)的極限定義和計算極限值.② 用極限定義一種特殊重要的連續(xù)函數(shù).③ 用極限定義函數(shù)的導數(shù).④ 用極限定義出的函數(shù)導數(shù)研究函數(shù)的近似計算.⑤ 用極限定義出的導數(shù)把函數(shù)展開成多項式.⑥ 利用極限定義出的導數(shù)討論函數(shù)的單調性與極值和最值、凹凸性與拐點，漸近線，描繪出了函數(shù)的圖像.⑦ 用極限定義出的定積分討論一元函數(shù)圖像（曲線）所圍區(qū)域面積，一元函數(shù)圖像（曲線）的弧長，一元函數(shù)圖像（曲線）旋轉所得旋轉體體積.⑧ 用極限定義出的導數(shù)把函數(shù)寫成級數(shù)，又可以用級數(shù)來研究函數(shù).⑨ 用極限定義出的偏導數(shù)研究多元函數(shù).⑩ 用極限定義出的重積分研究多元函數(shù)所對應曲面圍成的空間幾何體體積.B11 用極限定義出的第一型曲線積分求物質曲線的質量.B12 用極限定義出的第二型曲線積分討論力場做功問題.B13 用極限定義出的第一型曲面積分求物質曲線的質量.B14 用極限定義出的第二型曲面積分求流過曲面S的流量.可見，除了第①沒有什么新的內容，都是在①極限的基礎上來用已知探求未知，整個學習過程同時也是我們用極限探索函數(shù)性質的過程.讓學生明白這一點能使學生對課程有一個全局性的把握，學習時思路清楚、目標明確.

二、關于極限的認識

（一）極限思想是一個用已知探求未知的過程，是規(guī)則到不規(guī)則的研究過程

讓學生在學習中不斷認識體會用已知探求未知的過程，從規(guī)則到不規(guī)則的探究過程.不論是從數(shù)學分析的知識的學習把握，還是從學生解決問題能力的提高上都很重要.這是一個讓學生更好學會認識和解決所有客觀問題的思想方法，是提高解決問題能力的基本方法.例如，求圓的周長，未知曲邊形周長用極限思想轉化為已知正多邊形周長，用已知探求未知，用規(guī)則的正多邊形周長探求不規(guī)則的圓周長，工具是極限.數(shù)學分析里每一個問題的解決都毫無例外地使用了這一思想.整個數(shù)學分析的內容就清晰透徹地多次重復體現(xiàn)了這一過程.然而，在教學中我們發(fā)現(xiàn)，學生在做了很多題目后仍然沒有用已知探求未知的意識.因此，教學中有必要就著極限實例不斷強調這一思想方法，一方面，使極限本身更易于理解，另一方面，也提高了學生解決問題的能力.

（二）極限思想的關鍵是用極限將近似變成了相等

極限思想最讓學生迷惑的是近似與相等的關系.很多學生在學完了極限定義之后一直認為是一個近似關系.我曾在不強調“相等”地按教材講解該內容，講解完后提問學生，百分之九十的學生回答 limn→∞1n+1=0指1n+1當n無限增大時近似于0.而事實是 limn→∞1n+1=0指當n無限增大時1n+1無限接近的數(shù)等于0.例如，劉徽“割圓術”中首先考慮圓內接正六邊形（直邊形）面積，接著是正十二邊形面積，然后依次加倍邊數(shù)，考慮正多邊形（直邊形）面積近似代替圓（曲邊形）面積時，邊數(shù)越多近似效果越好，邊數(shù)越多則正多邊形面積愈來愈接近的就是圓的面積，即極限（無限接近）是圓的面積.一個“是”字體現(xiàn)了等.極限計算的是無限變化的結果是什么.明白將近似轉化為相等的極限功能是極限思想的難點，教師強調清楚這一點是解決學生數(shù)學分析極限難題的關鍵.

（三）極限思想的具體步驟

極限思想的具體步驟：分割（定義域）→近似代替（在小范圍用規(guī)則情況近似代替不規(guī)則情況）→求和（對整體進行近似代替）→取極限（分割無限小時的整體的趨勢）.將定義域進行分割，極限思想和做法的四步驟貫穿了整個數(shù)學分析教材，每一次探討極限思想的應用，不同的是研究的內容，相同的是極限的四個步驟，教師需要讓學生明白做法是一樣的，只是研究的函數(shù)發(fā)生了改變.在后續(xù)學習中不要一味講解問題，而是引導學生依照前面的方法逐步探究得出后面的內容，這樣就能真正把握和應用極限的思想.

（三）三大橋梁關系

數(shù)學分析中有三大橋梁，讓學生掌握定理的同時，充分認識定理的橋梁特征對數(shù)學分析的問題解決有很好的幫助.①中值定理是搭建函數(shù)與導數(shù)的關系的橋梁，已知導數(shù)性質研究函數(shù)性質，或已知函數(shù)特性研究導數(shù)性質可考慮中值定理.②泰勒公式搭建起函數(shù)與級數(shù)的橋梁，將函數(shù)轉化為級數(shù)，或將級數(shù)求和為函數(shù).這樣就可以通過級數(shù)研究函數(shù)或通過函數(shù)研究級數(shù)，讓函數(shù)和級數(shù)的研究方法在函數(shù)與級數(shù)中靈活應用，從而解決很多函數(shù)研究中的難題.③牛頓-萊布尼茲公式建立了定積分與不定積分從定義上本不相關的兩者之間的關系.不定積分是導數(shù)的逆運算，求全體原函數(shù)，而定積分是∑∞k=1f（ξk）Δxk在l（T）→0時的極限，兩者是完全不同的定義，牛頓-萊布尼茲公式把兩者結合在了一起，用原函數(shù)（不定積分）在兩點的函數(shù)值之差來解決求定積分的復雜問題.

四、結束語

數(shù)學分析課程其實就是以極限思想概念和運算為基礎的一個龐大的關系網，能深入探討理解知識間的關系就能很好地把握和靈活應用該門課程，對于初學數(shù)學分析的大學入門生，在我校的二本和?？粕谐浞值伢w現(xiàn)出學生對這些知識網的把握程度是不理想的，所以在教學中不斷強調知識間的這些關系是很必要的.通過教學實踐，對以上關系的理解使學生大大降低了數(shù)學分析學習的難度.當然這里只介紹了幾種大的知識關系，整個教材還涵蓋著很多小的關系網，需要我們在具體教學過程中不斷挖掘展現(xiàn).

【參考文獻】

[1]劉玉璉，傅沛任.數(shù)學分析講義（上冊）：第5版[M].北京：人民教育出版社，2008.

[2]劉玉璉，傅沛任.數(shù)學分析講義（下冊）：第5版[M].北京：人民教育出版社，2008.