求不定積分的幾種常用方法

修風(fēng)光

【摘要】不定積分是高等數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)，如何求出不定積分，是不定積分研究的主要問題，也是不定積分的重點(diǎn)和難點(diǎn).本文把高等數(shù)學(xué)中所涉及的不定積分的計(jì)算方法進(jìn)行了歸納總結(jié)，并通過若干典型例題具體地說明每一種方法的使用過程以及注意事項(xiàng).

【關(guān)鍵詞】不定積分；換元積分法；分部積分法；高等數(shù)學(xué)

高等數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生掌握科學(xué)思維能力、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技術(shù)的重要基礎(chǔ)課程.通常認(rèn)為，高等數(shù)學(xué)是由微積分學(xué)，較深入的代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)以及它們之間的交叉內(nèi)容所形成的一門基礎(chǔ)學(xué)科.該課程的核心是微積分理論，而后者是現(xiàn)代科學(xué)的理論基礎(chǔ).著名的數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)的發(fā)明者馮諾依曼曾說過：“微積分是近代數(shù)學(xué)中最偉大的成就，對(duì)它的重要性無論做怎樣的估計(jì)都不會(huì)過分.”由此可見，微積分在近代數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用.

微分學(xué)解決了如何由已知函數(shù)求出它的導(dǎo)數(shù)或微分的問題.而在實(shí)際問題中，存在許多與此相反的問題.例如，已知物體的瞬時(shí)速度v=v（t）=dsdt，如何求出此物體的運(yùn)動(dòng)方程s=s（t）.這類問題很普遍，用數(shù)學(xué)方法可概括為如何由已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出原來的函數(shù)，這就是積分要討論的中心問題.

積分學(xué)是微積分的主要部分，在高等數(shù)學(xué)中占有重要地位.而一元函數(shù)積分學(xué)是積分學(xué)的基礎(chǔ)，重積分、曲線積分與曲面積分的計(jì)算最終都要化為定積分.從某種意義上講，不定積分處于輔助位置，它的重要性就在于為定積分的計(jì)算提供了一種簡(jiǎn)便快捷的工具.

下面將詳細(xì)介紹一下在不定積分的計(jì)算過程中常用的幾種方法.

一、直接積分法

所謂直接積分法，就是把被積表達(dá)式化成積分表中的形狀，然后按積分性質(zhì)及積分表中的公式直接寫出結(jié)果.用直接積分法求不定積分的關(guān)鍵是對(duì)被積表達(dá)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?

分部積分法主要應(yīng)用于被積函數(shù)是兩個(gè)不同類型的函數(shù)乘積的積分問題，尤其是被積函數(shù)是反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)這三類函數(shù)與某一個(gè)易獲得原函數(shù)的函數(shù)的乘積的形式.如果遇到被積函數(shù)為三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，可連續(xù)進(jìn)行兩次分部積分，得到一個(gè)所求積分滿足的恒等式，從而可求得積分.

最后，應(yīng)當(dāng)指出的是，在求同一不定積分時(shí)，可能有很多種方法，各種方法得到的結(jié)果形式上可能不一樣，但實(shí)際上最多差個(gè)常數(shù)，其結(jié)果是否正確可通過求導(dǎo)數(shù)，即其導(dǎo)數(shù)是否與被積函數(shù)一樣來驗(yàn)證.不定積分計(jì)算的核心是分析被積函數(shù)的特點(diǎn)，聯(lián)想基本積分公式，通過各種手段、不同的處理方法，千方百計(jì)地向基本公式靠近.求不定積分比求導(dǎo)數(shù)要難得多，盡管有一些規(guī)律可循，但在具體應(yīng)用時(shí)卻十分靈活，因此，應(yīng)通過多做習(xí)題來積累經(jīng)驗(yàn)，熟悉技巧，才能熟練掌握.

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