逆矩陣的幾種求法

賈新芳

矩陣的逆問題是矩陣論的重要問題，矩陣?yán)碚撛凇毒€性代數(shù)》課程中有著重要的地位，矩陣和數(shù)相仿，可以運(yùn)算，特別是乘法和數(shù)一樣有逆運(yùn)算。其定義為：令A(yù)是數(shù)域F上一個(gè)n階矩陣，若是存在F上n階矩陣B，使得，那么A叫做一個(gè)可逆矩陣（或非奇異矩陣），而B叫做A的逆矩陣。掌握好求逆矩陣的方法對(duì)線性方程組、二次型、線性變換、向量空間、歐氏空間等問題的解決有很大幫助，不同的逆矩陣可用不同的方法來求，從而達(dá)到簡便、易求的目的。本文在有關(guān)矩陣知識(shí)的基礎(chǔ)上介紹了初等變換法、分塊矩陣法等各種求逆矩陣的方法。

定義：令A(yù)是數(shù)域F上一個(gè)n階矩陣，若是存在F上n階矩陣B，使得，那么A叫做一個(gè)可逆矩陣（或非奇異矩陣），而B叫做A的逆矩陣。

1 用初等變換求逆矩陣

1.1 初等行變換

命題7可逆矩陣經(jīng)過初等行變換化成的行簡化階梯形矩陣一定是單位矩陣

命題8 一個(gè)矩陣是可逆矩陣的充分必要條件是：它可以表示成一系列初等矩陣的乘積

事實(shí)上，因?yàn)榭赡?，由命題8，可以表示成初等矩陣?，…的積

于是 ?（4）

因?yàn)槌醯染仃嚨哪婢仃囘€是初等矩陣，所以（4）式表明，可以通過對(duì)的行施行行初等變換將化為單位矩陣，用右乘（4）式兩端，得（5）

比較等式（4）和（5），我們看出以下求逆矩陣的方法：在通過行初等變換把可逆矩陣化為單位矩陣時(shí)，對(duì)單位矩陣施行同樣的初等變換，就得到的逆矩陣，由此得到求逆矩陣的第二種方法，意思是：在矩陣的右邊寫上與同級(jí)的單位矩陣，構(gòu)成一個(gè)矩陣，然后對(duì)進(jìn)行一系列初等行變換，把它的左半部分化成單位矩陣，則與此同時(shí)，它的右半部分被化成的矩陣就是

1.2 初等列變換

由初等行變換，同理可作初等列變換。如果n階可逆矩陣，作一個(gè)的矩陣，然后對(duì)此矩陣施以初等列變換，使矩陣化為單位矩陣，則同時(shí)化單位矩陣，則同時(shí)化為了，即

利用初等變換求逆矩陣免去了計(jì)算，所以較高階的矩陣求逆矩陣常用此方法。

1.3混合采用初等行列變換

如果n階矩陣可逆，列出三個(gè)矩陣如下：， ， ?（為單位矩陣），對(duì)這三個(gè)矩陣施以變換，當(dāng)對(duì)作一次行變換便對(duì)左邊的矩陣作同樣的行變換，每對(duì)作一次列變換，便對(duì)右邊的矩陣作同樣的列變換，最后可行，，，所以此方法在計(jì)算上并不比前種簡單，但它把平常的單純的一種變成了兩種變換同時(shí)并用，突破了常規(guī)法，是對(duì)有些教科書中所說的不能即用行初等變換又用列初等變換求逆矩陣的一種挑戰(zhàn)，這種邊緣方法在實(shí)際運(yùn)用中并不提倡，但作為解決問題的一種方法不妨提出供讀者參考。對(duì)于一些階數(shù)較高且元素又具有某些特點(diǎn)的矩陣，可采用分塊法求逆矩陣。

2 用分塊矩陣法求逆矩陣

有些階數(shù)較多的矩陣，用分塊矩陣求逆矩陣較方便，在一般的高等代數(shù)教材上都給出了用待定法或利用分塊初等矩陣來求一個(gè)可逆分塊矩陣的方法，但這些方法都比較復(fù)雜，文給出了較簡便的方法，即（1）對(duì)中的子塊必須進(jìn)行分塊，使是一個(gè)分塊單位矩陣;（2）把”子塊作為元素”處理時(shí)，必須遵守“左行右列”的規(guī)則，即變行必須從左乘，變列必須從右乘.

有些階數(shù)較高 ?，而且形如：?的分塊矩陣用分塊矩陣求逆矩陣較方便，可簡化計(jì)算，

這些推導(dǎo)公式可求出該類分塊矩陣的逆矩陣;做題過程中可直接利用。

此方法適用于大型且能化成對(duì)角子塊陣或三角塊陣的矩陣，使特殊方陣求逆的一種方法，并且在求逆之前，首先要將已給定矩陣進(jìn)行合理分塊后方能使用。

3 其他方法

除以上3種方法外，還可以用定義法、伴隨矩陣法、Causs-Jordan 法、解方程組法、恒等變形法、Hamilton-Caley定理法、分解矩陣法等各種方法求逆矩陣，在這里就不再一一說明，如果讀者感興趣，可以自己查閱資料。

以上各種求逆方法能為我們解決各種類型矩陣的求逆，正確使用它們更快更準(zhǔn)地解決好繁瑣的求逆矩陣問題，是學(xué)習(xí)《線性代數(shù)》的必備知識(shí)，我們可以根據(jù)自己的需要選取適合的方法來處理。

（作者單位：長垣烹飪職業(yè)技術(shù)學(xué)院）