基于Matlab的光柵衍射仿真研究

鄭小波 周國慶 張丹妹

摘要：衍射實驗在光學(xué)實驗中尤為重要，首先根據(jù)惠更斯菲涅耳原理，計算出衍射光強的表達式，使用Matlab軟件，通過調(diào)整縫數(shù)N、波長λ、光柵常數(shù)d這些參數(shù)，對衍射光柵的光強分布及譜線特征做了仿真實驗，仿真結(jié)果與原有的實驗結(jié)果基本保持一致。因此，把仿真模擬作為教學(xué)的輔助工具非常有幫助，可以使學(xué)生進一步加強對光柵衍射的理解和認識，并掌握其規(guī)律和特征，對于研究以衍射光柵為關(guān)鍵元件的光譜儀器意義重大。

關(guān)鍵詞：Matlab；光學(xué)實驗；光柵衍射；仿真

中圖分類號：O43文獻標識碼：A

光在傳播時繞過障礙物邊緣繼續(xù)前進的這種現(xiàn)象稱之為光的衍射。衍射系統(tǒng)主要包括光源、衍射屏以及接受屏。衍射光柵是一種光學(xué)元件，由一些密集且等間距的平行刻線構(gòu)成的。對于譜線結(jié)構(gòu)、特性譜線的波長及強度的研究會經(jīng)常用到它，尤其在物質(zhì)結(jié)構(gòu)、元素定量分析中應(yīng)用最多。所以人們對于衍射光柵的譜線特性研究越來越多，并且得到了廣泛的關(guān)注，但是對它的研究還不是非常全面。本文根據(jù)惠更斯菲涅耳原理，計算出衍射光柵的光強公式，然后使用Matlab軟件，從光波波長、透過光柵總縫數(shù)、光柵常數(shù)等幾個方面對衍射光柵的光強分布及譜線特征做了仿真實驗，在仿真結(jié)果中獲得了光強分布和譜線規(guī)律，并與原有的實驗結(jié)果基本保持一致，對以衍射光柵為核心元件的光譜儀器的應(yīng)用研究具有很好的指導(dǎo)意義。

1 光柵衍射理論分析

在對平面光柵衍射進行仿真模擬實驗之前，需要了解其試驗裝置，即圖1。S是光源，它是點光源或者狹縫光源且與紙面垂直。S在透鏡L1的焦平面，幕在物鏡L2的焦平面。由惠更斯菲涅耳原理得到：如果單色平面光波垂直照射于光柵，那么沿θ方向傳播的次光波在P上的合振幅和光強可以表示成：

Ep=∑N1m=0A0eimδsincα=A0sincα1-eiNδ1-eiδ=A0sincαsin（Nδ2）sin（δ2）ei（N-1）δ2（1）

IP=E～pE～p=I0sin2αα2·sin2Nβsin2β（2）

式（1）中，α=πbsinθλ，δ=2πλdsinθ，β=δ2=πdsinθλ=dα/b。式（2）中，sin2αα2源自單縫衍射，也就是單縫衍射因子；sin2Nβsin2β源自縫間干涉，也就是縫間干涉因子。

2 Matlab仿真研究

根據(jù)公式（2）可以看出，光柵衍射的光強分布和頻譜特性主要有λ，N，b，d，f，θ0等參數(shù)決定，θ0為入射角。本文使用Matlab軟件進行編程，通過各參數(shù)值的變化來獲得相應(yīng)的衍射光強分布。在仿真實驗中，參數(shù)初值定為：λ=632.8nm，N=5，b=0.005mm，d=0.02mm，f=100mm，θ0=0；接下來本文將通過改變縫數(shù)N、波長λ、光柵常數(shù)d這些參數(shù)進行光柵衍射條紋、光強分布的研究。

3 仿真結(jié)果分析

3.1 縫數(shù)N對衍射條紋的影響

光柵衍射實驗過程中，在相鄰兩主極大間存在著暗條紋。當Nβ等于π的整數(shù)倍且β不是π的整數(shù)倍時，即sin（Nβ）=0，sinβ≠0，則該點是縫間干涉因子的零點。在如下位置時，零點會存在暗條紋，用公式表示為：

β=（k+n/N）π，即sinθ=（k+n/N）（λ/d）（3）

其中，k=0，±1，±2，3，...；n=1，...，N1。根據(jù)公式（3）可以看出，在每個兩主極大之間，有（N1）條暗線、（N2）個光強極弱的次級明條紋，但是上述條紋基本看不到。據(jù)半角寬度得到：

Δθ=λNdcosθ（4）

當N分別為2和5時，在幕上形成的相對光強分布以及衍射花紋如圖2：

由圖2可以看出：當N改變時，主極大的位置不發(fā)生變化，但其寬度隨N增大而變??；相鄰主極大間存在N1條暗紋、N2條次極大；主極大亮線的半角寬度隨N增大而變小，主極大銳度隨N的增大逐漸變大，衍射圖樣上主極大亮紋變細，相對應(yīng)的次極大線寬減小，亮度也變?nèi)酢?/p>

3.2 波長λ對衍射條紋的影響

改變波長λ，衍射光強分布如圖3：

從圖3可以看出：隨著λ不斷變大，衍射條紋主極大位置沒有發(fā)生變化，但次極大的位置沿兩邊進行移動，主（次）極大的半角寬度與主（次）極大條紋之間的距離變大，衍射譜線逐漸變寬，銳度越來越不好。

3.3 光柵常數(shù)d對衍射條紋的影響

改變光柵常數(shù)d，衍射光強分布如圖4：

從圖4觀察到：隨著d的增大，衍射光強主極大半角寬度與主極大條紋之間的距離變?。恢鳂O大的位置向中央亮紋進行靠攏；衍射譜線逐漸變窄，銳度變得越來越好。

4 結(jié)語

隨著計算機技術(shù)的不斷完善和發(fā)展，計算機仿真技術(shù)逐漸被人們廣泛使用，現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)展成一種重要的技術(shù)手段。尤其在光學(xué)實驗當中，可以使用計算機仿真技術(shù)對光學(xué)實驗進行模擬仿真，有利于菲涅耳原理，計算出衍射光強的表達式，然后使用Matlab軟件建立平面光柵衍射的數(shù)學(xué)模型，并對衍射實驗學(xué)生們進一步理解和掌握光學(xué)實驗的特征及規(guī)律。本文對平面光柵衍射進行了介紹，然后根據(jù)惠更斯進行仿真模擬。因此，把仿真模擬作為教學(xué)的輔助工具有助于學(xué)生進一步加強對光柵衍射的理解和認識，并掌握其規(guī)律和特征，對于研究以衍射光柵為關(guān)鍵元件的光譜儀器意義重大。

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