級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用

覃小玉

1.利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式求函數(shù)近似值

冪級(jí)數(shù)是無(wú)窮級(jí)數(shù)的一種，它是以某個(gè)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為基礎(chǔ)，把所需要求的量表達(dá)成無(wú)數(shù)級(jí)數(shù)的和，并依據(jù)要求，選取部分和作這個(gè)量的近似值，誤差用余項(xiàng) 估計(jì)。比如許多初等函數(shù)如 ， ， ， ， ， ， 在一定的實(shí)區(qū)間上都可以進(jìn)行冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，進(jìn)行近似計(jì)算，通過(guò)控制取冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)的多少來(lái)達(dá)到我們需要的精確度。

例1：計(jì)算 的值，精確到小數(shù)第四位。

利用對(duì)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，作對(duì)數(shù)的近似計(jì)算.根據(jù)對(duì)數(shù)的特征，只要計(jì)算出正整數(shù)的特征，那么由對(duì)數(shù)的運(yùn)算，其它有理數(shù)的對(duì)數(shù)也就知道了.

以 的邁克勞林級(jí)數(shù)發(fā)點(diǎn)

解：如果利用 的展開(kāi)式：當(dāng) 時(shí)， .所以 ，理論上可計(jì)算 ，但這是一種“內(nèi)耗”很大的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，其誤差不超過(guò)第 項(xiàng)的值 .欲使 ， 至少要取9999項(xiàng)，這太麻煩了，需要去掉帶負(fù)號(hào)的項(xiàng)，下面用一個(gè)收斂較快的冪級(jí)數(shù)來(lái)計(jì)算 .用 減去

其差是 .令 ，解出 代入上式，得 ，其誤差

.

如要精確到小數(shù)第四位，則取 ，這時(shí)

故得出

最終求得對(duì)數(shù) 的精確到小數(shù)第四位為0.6931。

2.利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式求定積分的近似值

利用冪級(jí)數(shù)不僅可以計(jì)算一些函數(shù)的近似值，而且還可以計(jì)算一些定積分的近似值，具體地說(shuō)，如果被積函數(shù)在積分區(qū)間上能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，那么把這個(gè)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分，用積分后的級(jí)數(shù)就可計(jì)算出定積分的近似值。

例2：計(jì)算 的近似值，精確到 。

由于 ，因此所給積分不是廣義積分，如果定義 在 處的值為1，那么它在積分區(qū)間 上連續(xù).由于 的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，因此需要通過(guò)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式來(lái)計(jì)算.

解：利用正弦函數(shù)的展開(kāi)式 ，兩邊同除以 ，得到

再逐項(xiàng)積分

這是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，其誤差 ，取 ，有 ，

故

3.利用泰勒級(jí)數(shù)計(jì)算函數(shù)值的近似值

目前解決非線(xiàn)性問(wèn)題的一種有效工具是泰勒級(jí)數(shù)，即利用泰勒展開(kāi)式一階近似，將非線(xiàn)性問(wèn)題線(xiàn)性化，達(dá)到近似求解的目的。如若一階近似達(dá)不到近似精度標(biāo)準(zhǔn)的話(huà)，還可以在泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式中取更高的階，在實(shí)際問(wèn)題中我們經(jīng)常會(huì)使用級(jí)數(shù)的二階多項(xiàng)式求復(fù)雜問(wèn)題的近似解。

例3：在我們?nèi)粘Ｉ钪械穆访娼Y(jié)構(gòu)中，路面結(jié)構(gòu)是在不斷遭受載荷的重壓而產(chǎn)生振動(dòng)，以致遭受破壞的，研究發(fā)現(xiàn)其振動(dòng)是以非線(xiàn)性的形式進(jìn)行的.

我們已知的線(xiàn)性振動(dòng)形式為： 對(duì)于非線(xiàn)性振動(dòng)負(fù)荷和變形的關(guān)系為： ，因?yàn)檫@里的 未知，所以我們可以借助于泰勒級(jí)數(shù)，將上式展開(kāi)為： ，使其成為線(xiàn)性函數(shù)，進(jìn)而分析出符合硬彈簧特性，經(jīng)驗(yàn)證擬合水泥振動(dòng)特性，達(dá)到了令人滿(mǎn)意的效果。

5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中是應(yīng)用

給定項(xiàng)數(shù)，求近似值并估計(jì)精度，通過(guò)估計(jì)余項(xiàng)，確定精度或項(xiàng)數(shù)，若余項(xiàng)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則可用余和的首項(xiàng)來(lái)解決。

例4：利用 計(jì)算 的近似值，并估計(jì)誤差.

解：

其誤差不超過(guò) 。

6.幾何級(jí)數(shù)的某些應(yīng)用

利用幾何級(jí)數(shù)，我們也可以把一些函數(shù)級(jí)數(shù)和定積分級(jí)數(shù)變換成另一種形式，然后再利用冪級(jí)數(shù)或者泰勒公式來(lái)對(duì)這個(gè)級(jí)數(shù)進(jìn)行求解，從而算出這個(gè)級(jí)數(shù)的近似計(jì)算。如：

在幾何級(jí)數(shù) 中，我們把 代替 得 ，再逐項(xiàng)積分得

7.調(diào)和級(jí)數(shù)的近似計(jì)算

自然數(shù)的倒數(shù)組成的數(shù)列，稱(chēng)為調(diào)和數(shù)列，即通項(xiàng)為 的級(jí)數(shù)： 。因?yàn)檫@數(shù)組是發(fā)散的，所以沒(méi)有求和公式，只有一個(gè)求近似值的求解方法： （ 一個(gè)無(wú)理數(shù)，稱(chēng)作歐拉初始，專(zhuān)為調(diào)和級(jí)數(shù)所用）。

其中0.57721566490153286060651209叫做歐拉常數(shù)。

8.總結(jié)

級(jí)數(shù)理論和微積分學(xué)兩個(gè)分支共同組成是分析學(xué)的，這兩個(gè)分支一起作為基礎(chǔ)知識(shí)和工具出現(xiàn)在其余各分支中。本文是對(duì)級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中應(yīng)用的研究，主要通過(guò)各類(lèi)級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用做研究，首先是對(duì)級(jí)數(shù)的定義、性質(zhì)做出論述，然后分別從冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式、泰勒級(jí)數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)、無(wú)窮級(jí)數(shù)、正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)等對(duì)函數(shù)、定積分求近似值。在求解的過(guò)程中證明級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中有廣泛的作用。