線性代數(shù)的起源、發(fā)展及其應(yīng)用

谷偉莉 郭煥煥 董艷青

針對學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)過程中存在的問題進行分析研究，重點介紹線性代數(shù)的起源、發(fā)展，并通過介紹線性代數(shù)在保密通訊中的應(yīng)用，使學(xué)生了解學(xué)習(xí)線性代數(shù)的意義及其應(yīng)用。

線性代數(shù)是高等代數(shù)的一個重要分支，是研究線性問題的代數(shù)理論。線性代數(shù)主要研究行列式、矩陣、線性方程組、線性空間以及線性變換等內(nèi)容。但是，這些內(nèi)容之間有什么聯(lián)系以及學(xué)習(xí)線性代數(shù)有什么意義，大部分學(xué)生都不是很清楚。很多自認為學(xué)的不錯的學(xué)生也只能說：“書上就是這么規(guī)定的，只需要會用就好”。但是他們真的會用嗎？他們的“會用”其實是會根據(jù)書本上的定理、結(jié)論去證明相關(guān)的理論問題，然而在實際生活生產(chǎn)中的應(yīng)用，他們真的知道嗎？像教科書上那樣，用事先規(guī)定好的數(shù)學(xué)定理去證明數(shù)學(xué)問題，最后培養(yǎng)出來的學(xué)生，只能熟練地使用數(shù)學(xué)工具，缺乏真正意義上的理解。我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)該只是教學(xué)生如何做題，而應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更加關(guān)注數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。

在與同行的交流探討中，作者發(fā)現(xiàn)，有一部分教師對線性代數(shù)的把握也只是停留在課本上的知識，對于線性代數(shù)的起源、發(fā)展等了解的不是很多。于是就形成了教師只講課本上的知識，學(xué)生也只學(xué)會了課本上的知識，根本無人關(guān)心線性代數(shù)這一學(xué)科的最新發(fā)展及其在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)悟的應(yīng)用！長此以往，線性代數(shù)便成了一門枯燥乏味、脫離實際應(yīng)用的理論課程。更由于其概念多，邏輯性強，慢慢就成了大部分學(xué)生所說的“天書”。

針對這些問題，下面重點介紹了線性代數(shù)起源、發(fā)展以及相關(guān)應(yīng)用等幾個方面。

1 線性代數(shù)的起源及發(fā)展

線性代數(shù)主要是研究代數(shù)學(xué)中具有線性關(guān)系的問題，而線性問題廣泛地存在于科學(xué)技術(shù)的各個領(lǐng)域。在日常生活生產(chǎn)中，一些非線性問題在一定條件下，可以近似地轉(zhuǎn)化為線性問題，因此線性代數(shù)已經(jīng)成為科學(xué)研究和工程應(yīng)用中必不可少的工具。

線性代數(shù)基本上出現(xiàn)于十七世紀，直到十八世紀末，線性代數(shù)的研究還只限于平面與三維空間，十九世紀上半葉才完成了向 維向量空間的過渡。1888年，皮亞諾以公理的方式定義了有限維或無限維向量空間，托普利茨將線性代數(shù)的主要定理推廣到最一般的向量空間中，線性代數(shù)的主要理論成熟于十九世紀，而第一塊基石（二、三元線性方程組的解法）早在兩千多年前已經(jīng)出現(xiàn)。

線性代數(shù)的第一個問題是關(guān)于線性方程組解的問題，行列式的出現(xiàn)就是為了求解線性方程組。行列式的概念最早由日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出，1750年，瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆在《線性代數(shù)分析導(dǎo)引》中給出了行列式的定義，展開法則以及克萊姆法則等。法國數(shù)學(xué)家范德蒙把行列式理論與線性方程組的求解相分離，給出了用余子式來展開行列式的法則。德國數(shù)學(xué)家雅可比的著名論文《論行列式的形成和性質(zhì)》標志著行列式理論的建成。區(qū)別于行列式的“矩陣”是由西爾維斯特首先使用的，英國數(shù)學(xué)家凱萊1958年在《矩陣論的研究報告》中，系統(tǒng)闡述了關(guān)于矩陣的理論，包括矩陣的相等、運算法則、轉(zhuǎn)置以及逆等，他被公認為是矩陣論的創(chuàng)立者。數(shù)學(xué)家約當、傅里葉、西爾和龐加萊等人對矩陣論的發(fā)展也做出了巨大貢獻。

線性方程組理論的發(fā)展促成了作為工具行列式理論和矩陣論的創(chuàng)立與發(fā)展，這些內(nèi)容已經(jīng)成為線性代數(shù)教材的重要部分。行列式和矩陣在數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)、線性方程組、二次型理論等方面的應(yīng)用，促使行列式理論和矩陣論得到了很大發(fā)展?，F(xiàn)在已然是數(shù)學(xué)中非常有用的工具。

2 線性代數(shù)的實際應(yīng)用

線性代數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、計算機圖形學(xué)、最優(yōu)化問題、密碼通訊和對策論等技術(shù)學(xué)科中有著重要應(yīng)用，但是這樣泛泛而談，學(xué)生對線性代數(shù)的應(yīng)用仍是一頭霧水。

線性代數(shù)到底是怎樣應(yīng)用到這些學(xué)科和技術(shù)領(lǐng)域？下面以具體例子來說明。

案例：矩陣密碼在保密通訊中的應(yīng)用

密碼學(xué)中稱原來的消息為明文，用人們?nèi)粘Ｉ钪械恼Z言寫成，誰都能看懂，經(jīng)過偽裝的明文則變?yōu)槊芪模瑒e人看不懂。由明文變成密文的過程稱為加密，由密文變成明文的過程稱為解密，改變明文的方法稱為密碼。密碼學(xué)作為軍事和政治斗爭的一種技術(shù)，已有上千年的歷史。密碼中的關(guān)鍵信息稱為密匙。顯然，密匙在保密通訊中占有極其重要的地位，通常主要由通訊雙方私密商定。其他人知道了密匙就能讀懂密文，若不知道密匙，即使得到密文，也看不懂，從而達到了保密的目的。具體過程如下圖1：

3結(jié)語

瑞典數(shù)學(xué)家Lars Garding 在其名著《Encounter with Mathematics》中說：如果不熟悉線性代數(shù)的概念，要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，現(xiàn)在看來和文盲差不多。然而按照現(xiàn)在的國際標準，線性代數(shù)是通過公理化來表述的，它是第二代數(shù)學(xué)模型，這意味著它的表達方式和抽象性有了一次更深的進化。學(xué)生在剛剛接觸線性代數(shù)時，可能會感到迷茫，不知從何入手，他們不僅僅希望老師講述課本上的理論知識，更希望講述一下這門課的起源、發(fā)展以及在實際生活生產(chǎn)中的應(yīng)用。作為老師，讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)線性代數(shù)這門課的意義，并懂得學(xué)以致用，這樣的教學(xué)才是成功的！

（作者單位：商丘學(xué)院應(yīng)用科技學(xué)院）