數(shù)形結(jié)合方法中體現(xiàn)的美學(xué)思想

孫喜陸

一直以來，人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，往往很容易進(jìn)入這樣一個(gè)誤區(qū)，認(rèn)為數(shù)學(xué)只是一門枯燥乏味的工具性學(xué)科，只注重其實(shí)用原則，卻忽略了其美學(xué)原則。通過對初中學(xué)生的數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)表現(xiàn)以及學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的調(diào)查，我們發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)僅僅是為了應(yīng)付考試，本身對數(shù)學(xué)并沒有什么興趣，顯然這與我們所提倡的新課程教育理念相違背。眾所周知，喜歡美好的事物是人類的天性，人們在實(shí)際生活中也都傾向于追求美麗的事物，這對我們的數(shù)學(xué)教育工作者開展數(shù)學(xué)教學(xué)而言也是一種啟發(fā)。初中教師在課堂教學(xué)中，一定要注重將實(shí)用性原則與美學(xué)原則相結(jié)合，在傳授學(xué)生基本的解題能力的同時(shí)，還應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。數(shù)形結(jié)合的美主要體現(xiàn)在數(shù)與形二者的統(tǒng)一美與簡潔美，我國著名的宋代數(shù)學(xué)家楊輝在推導(dǎo)三角形面積公式時(shí)，就巧妙運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想，在其所著的書中，我們既能夠欣賞到數(shù)學(xué)之美，也能夠深刻領(lǐng)會(huì)到數(shù)形結(jié)合、對稱思想等多種數(shù)學(xué)研究思想，以及數(shù)形之間的統(tǒng)一協(xié)調(diào)美。

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚于1964年在其科普小冊子《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題》一文中，在討論蜂房結(jié)構(gòu)時(shí)最早提及了“數(shù)形結(jié)合”一詞。如蜂窩的表面是有許多個(gè)正六邊形組成的，形狀緊湊而復(fù)雜，那么蜜蜂為何會(huì)選擇使用六邊形這種圖案而不是正三角形、正四邊形等圖案來建造蜂窩，這個(gè)問題引發(fā)了人們的思考。

眾所周知，在所有的正多邊形中，能夠進(jìn)行自鑲嵌的只有正三角形、正方形以及正六邊形三種，從面積角度來看，如果規(guī)定一定的面積，那么正六邊形的周長最小，結(jié)合蜂蜜筑巢的實(shí)際情況，即在確保同樣的儲存面積時(shí)，將巢穴建成六邊形所需花費(fèi)的材料最少，顯然蜜蜂并沒有學(xué)過數(shù)學(xué)，更不懂什么叫做鑲嵌理論，這讓人們不得不感嘆于蜜蜂這種神奇的建筑能力。

我們將畢達(dá)哥拉斯定理以及黃金分割定理稱為幾何學(xué)的兩大研究瑰寶，如果說前者是金礦的話，那么后者則是鉆石礦，可見其在數(shù)學(xué)幾何學(xué)研究中的重要價(jià)值，黃金分割定理完美地呈現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的統(tǒng)一美。

黃金分割定理在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用十分廣泛，尤其是繪畫藝術(shù)創(chuàng)作中，很多作家在進(jìn)行創(chuàng)作時(shí)都會(huì)運(yùn)用到黃金分割定理來增加作品在視覺上的和諧感與美感，例如由米洛創(chuàng)作的“維納斯”、達(dá)·芬奇的《蒙娜麗莎的微笑》、《最后的晚餐》等，都使用了黃金分割定理。

此外，黃金分割定理在大自然界中也有著奇妙的體現(xiàn)，例如海螺、蝸牛的外殼與對數(shù)螺線非常接近，并且是有多個(gè)黃金矩形所組成的黃金螺線。

所謂的黃金矩形就是長與寬之比剛好等于黃金比例的矩形，在一個(gè)矩形中，理論上，可以作出無限個(gè)黃金矩形，用圓規(guī)在黃金矩形中正方形部分里作四分之一圓弧，將這些弧線連接起來形成一條連貫的曲線，我們將這條曲線叫做黃金螺。

由于對數(shù)螺線的切線與螺線半徑所形成的角都是互相全等的角，所以，對數(shù)螺線又叫等角螺線。如果動(dòng)點(diǎn)極徑的對數(shù)與其極角之間存在著正比例關(guān)系，則動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡即為一條對數(shù)螺線，其極坐標(biāo)方程為：

或

上式中，角 以等差數(shù)列的規(guī)律增大或減小，而 則依等比數(shù)列而變化。

科學(xué)家研究表明，當(dāng)腿長與身高的比例接近黃金比例即 時(shí)，身材看起來是最美的，這也是為什么現(xiàn)代很多女性會(huì)喜歡穿高跟鞋，就是為了在視覺上拉長雙腿，使腿長身高比更加接近于黃金比例?？梢姅?shù)形結(jié)合的美除了在大自然中也有著不可言喻的神奇體現(xiàn)，還滲透進(jìn)我們?nèi)粘Ｉ钪械母鱾€(gè)方面，與生產(chǎn)制造以及人們的行為活動(dòng)密切相關(guān)。

數(shù)與形思想中的簡潔美主要是指解題方法、邏輯以及結(jié)果的簡潔性。教師在教學(xué)過程中，經(jīng)常會(huì)稱贊某種解題方法“非常漂亮”，這里所說的漂亮就是指解題方法既巧妙又簡潔，例如在有理數(shù)一章中，經(jīng)常會(huì)遇到這種類型的題目：

例1 如果 試將 按由小到大的順序排列。

解法一： 且 ，

解法二：根據(jù)題意，畫一條數(shù)軸，將a和b分別表示出來，而 即為a，b關(guān)于原點(diǎn)在數(shù)軸上的對稱點(diǎn)，四者之間的關(guān)系一目了然，如圖所示：

在課堂中，大多數(shù)同學(xué)通常想到的都是解法一，經(jīng)過教師講解了解法二之后，不少同學(xué)都紛紛表示非常驚奇，感嘆于這種運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解題的直觀簡潔。函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容，教師在講解函數(shù)這一章節(jié)時(shí)，常常需要作大量的圖進(jìn)行輔助教學(xué)，幫助學(xué)生直觀清晰地掌握函數(shù)的性質(zhì)與變化規(guī)律等。

例 已知： 是方程 的兩個(gè)根，且 ，試比較 的大小。

解題點(diǎn)撥：如果將本題視為一道代數(shù)題進(jìn)行分析，題目中有四個(gè)未知變量，對于學(xué)生而言，運(yùn)算量較大，且根本無從下手，而我們?nèi)绻绻煤瘮?shù)的圖形性質(zhì)來看待這道題目，不難發(fā)現(xiàn)，可以分別將 以及4看作兩個(gè)函數(shù)，即 與 ，則方程 的含義就是這兩個(gè)函數(shù)在坐標(biāo)系中相交，則 即為兩個(gè)函數(shù)相交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而 為函數(shù) 與 軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)。如圖所示

又由題目中已知條件 ，不難得出：

上述例題充分說明了數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)?fù)雜問題簡單化，讓學(xué)生運(yùn)用直觀、簡潔明了的方式去解題，一方面加強(qiáng)了他們數(shù)形轉(zhuǎn)化的思維能力，另一方面也提高了他們解題效率和解題正確率。

（作者單位：赤峰市松山區(qū)王府學(xué)校）