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    二次函數(shù)教學(xué)設(shè)計的“三個出發(fā)點”

    2019-01-11 15:32:48江蘇省泰州市民興市實驗中學(xué)
    數(shù)學(xué)大世界 2019年25期
    關(guān)鍵詞:拋物線函數(shù)圖像

    江蘇省泰州市民興市實驗中學(xué) 程 兵

    課堂教學(xué)設(shè)計是為了實現(xiàn)課時教學(xué)目標(biāo)對課堂教學(xué)過程和行為的規(guī)劃,新時代數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的設(shè)計要堅持立德樹人的方向、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維;設(shè)計的目的要幫助學(xué)生掌握課時教學(xué)內(nèi)容、達成學(xué)習(xí)目標(biāo)。理想的課堂教學(xué)設(shè)計既能夠提高學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng),又能夠讓學(xué)生掌握知識、減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),提高課堂教學(xué)的質(zhì)量。以二次函數(shù)y=ax2+bx+c為例,課堂教學(xué)的設(shè)計應(yīng)該堅持“三個出發(fā)點”。

    一、建構(gòu)二次函數(shù)知識為基礎(chǔ)

    二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)極其重要的內(nèi)容,連接著高中函數(shù)的學(xué)習(xí),承上啟下,二次函數(shù)是描述實際生活中變量之間關(guān)系,尤其是解決單變量最優(yōu)化問題的重要數(shù)學(xué)模型。我們要幫助學(xué)生掌握二次函數(shù)的概念、原理、運用,培養(yǎng)學(xué)生借助二次函數(shù)的模型解決實際問題,學(xué)以致用。

    1.二次函數(shù)的教學(xué)設(shè)計思路

    由個別到一般,由一般到特殊,即固定參數(shù)值探究到參數(shù)分類,即y=2x2、y=-2x2到y(tǒng)=ax2;由簡單到復(fù)雜,由復(fù)雜到簡單,即研究拋物線y=ax2到y(tǒng)=ax2+c再到y(tǒng)=a(x+b)2+c并分析三者之間的關(guān)系,再由y=ax2+bx+c探究參數(shù)及y與x之間變量的關(guān)系。注意“變化中的不變量”到“不變中的變化量”;注意合理利用函數(shù)的對稱性質(zhì)研究問題。學(xué)生通過自主繪制函數(shù)圖像,觀察比較圖像,合作交流分享探究的結(jié)果,建立數(shù)形結(jié)合的思想。理解y=ax2+bx+c的概念、原理、變量關(guān)系的基礎(chǔ)上運用于生產(chǎn)、生活實踐,解決單變量最優(yōu)化問題,解決實際生活中最大值和最小值。

    2.設(shè)計二次函數(shù)的教學(xué)過程

    數(shù)學(xué)發(fā)生和發(fā)展的過程與學(xué)生探究知識認(rèn)知過程相結(jié)合,一是提出問題、明確學(xué)習(xí)目標(biāo)、引導(dǎo)學(xué)生探究。二是參數(shù)取值、作圖分析,同一坐標(biāo)系中比較y=ax2、y=ax2+c、y=ax2+bx+c圖像;選取不同的a、b、c參數(shù)值,在同一坐標(biāo)系建立函數(shù)圖像,并分析與y=ax2的關(guān)系,要求學(xué)生緊緊抓住對稱軸、頂點、開口方向、增減變化進行觀察、分析、歸納。探究具體數(shù)學(xué)情境問題的解決,鞏固知識。

    二、建立二次函數(shù)模型為手段

    設(shè)計數(shù)學(xué)模型或者設(shè)計學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型可以幫助學(xué)生克服理解二次函數(shù)的邏輯思維、空間想象能力的不足。讓學(xué)生借助圖像的變化來探究二次函數(shù)的概念及性質(zhì)。如拋物線y=3x2+4 和拋物線y=3x2-4,如何由拋物線y=3x2平移而來;二次函數(shù)y=3(x-4)2與拋物線y=3(x+4)2,如何由拋物線y=3x2 平移而來。探討二次函數(shù)y=3x2,y=3(x-4)2,y=3(x-4)2+2 的圖像的平移關(guān)系,確定它們的圖像的三大特征,并判斷增減情況。

    由個別到一般。建立函數(shù)y=ax2、y=ax2+b、y=a(x+c)2+m的圖像模型,分析這三個函數(shù)圖像模型的相同點與不同點,在其基礎(chǔ)上能夠根據(jù)圖像判斷二次函數(shù)的解析式。比較函數(shù)y=ax2與y=a(x+c)2 +m的圖像,探究兩個圖像之間的聯(lián)系,二次項系數(shù)相同,則函數(shù)圖像相同,頂點坐標(biāo)不同,圖像位置不同。理解“括號內(nèi)加減左右移”“括號外加減上下移”圖像。建立y=2x2和y=-2x2的函數(shù)模型,定點都是原點,拋物線相同,開口方向相反,對稱軸都是y軸。進一步要求學(xué)生觀察、分析拋物線的特征,來理解二次函數(shù)的增減性、極值等性質(zhì);利用圖像來判別二次函數(shù)的系數(shù)a、b、c、Δ 以及由系數(shù)組成的代數(shù)式的符號等。在遇到比較復(fù)雜的代數(shù)式的符號判斷時,可采用特殊值法處理。模型的平移和翻轉(zhuǎn),將書本上抽象的知識,直觀動態(tài)地展示給學(xué)生,為學(xué)生探究二次函數(shù)的概念和性質(zhì)發(fā)揮了體驗的作用。

    三、理解運用二次函數(shù)為核心

    借助模型進行數(shù)學(xué)運用對于提高課堂教學(xué)質(zhì)量、幫助學(xué)生理解運用數(shù)學(xué)知識有重要的意義。改變了教師講授者、學(xué)生被動接受者的角色,設(shè)計學(xué)生數(shù)學(xué)建模的教學(xué)情境,能夠以學(xué)生為主體、問題為中心、探究為手段,有效調(diào)動學(xué)生數(shù)學(xué)潛能,讓學(xué)生成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人。

    1.設(shè)計引導(dǎo)學(xué)生思考的情境

    教學(xué)情境是教學(xué)設(shè)計的重要內(nèi)容,二次函數(shù)教學(xué)設(shè)計應(yīng)該設(shè)計情境,提出假設(shè),建立模型,運用二次函數(shù)的概念、原理解決實際問題。如直線 經(jīng)過點A(4,0)和點B(0,4),且與二次函數(shù)y= 的圖像在第一象限內(nèi)相交于點P,若△AOP的面積為,求二次函數(shù)的解析式。

    2.設(shè)計學(xué)生理解知識的情境

    單變量最優(yōu)化問題是二次函數(shù)的重要運用,有助于學(xué)生加深二次函數(shù)原理的理解:要修一個圓形噴水池,在池中心豎直安裝一根水管,水管的頂端安一個噴水頭,使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m 處達到最高,高度為3m,水柱落地處離池中心3m,水管應(yīng)多長?這個問題的解決,需要建立豎直安裝的水管,設(shè)為y軸,與水管垂直的為x軸,池中心為原點直角坐標(biāo)系,借助二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型,利用二次函數(shù)的知識,求出水管的長度。

    3.設(shè)計學(xué)生綜合知識的情境

    如成本投入與盈利的關(guān)系問題,企業(yè)需要最大化盈利,可以設(shè)計建立二次函數(shù)模型,探索最佳的盈利方案:某企業(yè)如果單獨投資A產(chǎn)品,投入資本是x萬元,能夠獲得利潤yA萬元,成本與獲利是正比例函數(shù)關(guān)系yA=kx,假設(shè)投入資本5 萬元,能夠獲得利潤2 萬元。如果單獨投資B產(chǎn)品,投入資本是x萬元,能夠獲得利潤yB萬元,成本與獲利是二次函數(shù)關(guān)系yB=ax2+bx,假設(shè)投入資本2 萬元,能夠獲得利潤2.4 萬元;假設(shè)投入資本4 萬元,能夠獲得利潤3.2 萬元。這個企業(yè)用于投資A、B兩種產(chǎn)品的資本只有10 萬元,怎樣投資才能獲得最大利潤,最大利潤是多少?學(xué)生在解讀情境的基礎(chǔ)上建立正比例函數(shù)和二次函數(shù)模型,探索二次函數(shù)和正比例函數(shù)的最大值,尋求最大利潤的方案。

    凡事預(yù)則立,不預(yù)則廢。教學(xué)設(shè)計是實現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)的重要準(zhǔn)備,有的時候還需要對學(xué)生可能生成的問題進行預(yù)設(shè)。當(dāng)然真正的課堂教學(xué)還需要依據(jù)教學(xué)的實際情況,作出相應(yīng)的調(diào)整,要立足課堂,立足學(xué)生學(xué)情,設(shè)計激發(fā)學(xué)生思考的真實情境、有效情境,為學(xué)生素養(yǎng)的形成、未來的發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

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