單側(cè)π—模理想

摘要：介紹了局部有限維的介紹了局部有限維的Hopf π-代數(shù)上π-H-模代數(shù)的對(duì)偶是Hopf π-余代數(shù)上π-■-余模余代數(shù).在此基礎(chǔ)上，討論π-H-模代數(shù)的單側(cè)π-H-模理想與π-■-余模余代數(shù)的單側(cè)π-■-余模余理想之間的對(duì)偶關(guān)系.

關(guān)鍵詞：π-H-模代數(shù)；π-■-余模余代數(shù)；π-H-模左（右）理想；π-■-余模左（右）余理想

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）12-0209-03

近年來(lái)，弱化意義下Hopf代數(shù)越來(lái)越受到人們的歡迎，出現(xiàn)很多推廣形式，如分次Hopf代數(shù)、弱Hopf代數(shù)和Hopf群余代數(shù)等2000年Turaev于2000年引進(jìn)了Hopf π-余代數(shù)，構(gòu)造出π-范疇，并得出了產(chǎn)生3維同倫量子場(chǎng)理論在Hopf π-余代數(shù)的基礎(chǔ)上，Virelizer構(gòu)造出3維流形上主π-叢的Hennings-like與Kuperberg-like不變量在文獻(xiàn)[1]中作者得到了Hopf π-子余代數(shù)的對(duì)偶是Hopf π-代數(shù)H■的一個(gè)Hopf π-理想在本文中，筆者先介紹π-H-模代數(shù)的對(duì)偶是π-■-余模余代數(shù)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步證明了π-H-模代數(shù)的單側(cè)π-H-模理想與π-■-余模余代數(shù)的單側(cè)π-■-余模余理想之間的對(duì)偶關(guān)系.

本文中設(shè)k為一個(gè)域，所有的空間都是k上向量空間，所有的（余）代數(shù)均指k上（余）代數(shù).π是一個(gè)乘法群，其單位元為1.A？茚■B寫(xiě)成A？茚B，本文中其他概念和記號(hào)見(jiàn)文獻(xiàn)[2-3].

定義1 假定H=（H■，Δ■，ε■■，m■■，u，S■■）是一個(gè)Hopf π-代數(shù)，A={A■，

m′■，u′■}■是一簇代數(shù).若賦予一簇k上線(xiàn)性映射η■=η■■：A■？茚H■→A■■，且使得下列條件成立：（1）（A，η）是一個(gè)π-H-模；（2）η■■（m′■？茚id■）=m′■η■■，？坌α，β∈π；（3）u′■η■■=η■■（u′■？茚id■），？坌α，β∈π，其中η■■：k？茚H■→k，η■■（1■？茚h）=ε■（h），？坌h∈H■.則稱(chēng)A=（A■■，m′，u′，η=η■■■）為π-H-模代數(shù).

定義2 設(shè)■=（■■，m■，u■■，Δ■■，ε，■■■）是一個(gè)Hopf π-余代數(shù)，C={C■，Δ′■，ε′■}■是一簇余代數(shù)，其中余代數(shù)C■的余乘法為Δ′■（c）=∑c■？茚c■∈C■？茚C■，？坌c∈C■，α∈π.若存在一簇k上線(xiàn)性映射ρ=ρ■：C■→C■？茚■■■使得下列條件成立：（1）C=（C■■，ρ=ρ■■■）是一個(gè)π-■-余模；（2）ρ■■Δ′■=（Δ′■？茚id■）ρ■■，？坌α，β∈π，∑（c■）■？茚（c■）■？茚（c■）■（c■）■=∑（c■）■？茚（c■）■？茚c■，？坌c∈C■；（3）ρ■■ε′■=（ε′■？茚id■）ρ■■，？坌α，β∈π，其中，ρ■■：k→k？茚■■，ρ■■（1■）=1■？茚1■，則稱(chēng)C=（C■■，Δ′，ε′，ρ=ρ■■■）為π-■-余模余代數(shù).

注：兩個(gè)π-■-余模張量積C？茚C={C■？茚C■}■還是一個(gè)π-■-余模，其余模作用結(jié)構(gòu)映射為ρ■■：

C■？茚C■→C■？茚C■？茚H■，ρ■■（c？茚d）=∑c■？茚

d■？茚c■d■，？坌c，d∈C■，？坌α，β∈π.

令Hopfπ-代數(shù)H上的π-模（U，η）=（U■■，η■■）.記U■=U■■■，U■■={所有的k上線(xiàn)性映射f：U■→k}，其中U■■為U■的對(duì)偶空間.模結(jié)構(gòu)映射η■：U■？茚H■→U■，還可定義一簇k上線(xiàn)性映射■=■■=η■■：U■■→U■■？茚H■■■.令（A，η）=（A■，m■■，u■■■，η■■）是一個(gè)π-H-模代數(shù)。其對(duì)偶空間可定義為A■■，k上線(xiàn)性映射■■■=（m■■）■：A■■→A■■？茚A■■，和■■■=（u■■）■■，于是有如下的結(jié)論.

引理1 設(shè)H=（H■，Δ■，ε■■，m■■，u，S■■）為Hopf π-代數(shù)，（A，η）=（A■，m■■，u■■■，η■■）是π-H-模代數(shù).則其對(duì)偶空間（A*，■）=（A■*，■■■，■■■■■，■■■）是π-H*-余模余代數(shù).

定義3 H=（H■，Δ■，ε■■，m■■，u，S■■）為Hopf π-代數(shù)，（A，η）為π-H-模代數(shù).若滿(mǎn)足：I=I■：I■？哿A■■是A的一簇右（左）理想（即每個(gè)I■都是代數(shù)A■的右（左）理想，？坌α∈π），且I是A的一個(gè)π-H-子模，即：滿(mǎn)足η■（I■？茚H■）？哿I■（

η■（H■？茚I■）？哿I■），？坌α，β∈π，則稱(chēng)I是A的一個(gè)π-H-模右（左）理想。

定義4 設(shè)■=（■■，m■，u■■，Δ■■，ε，■■■）為Hopf π-余代數(shù)，（C，ρ）為π-■-余模余代數(shù).若滿(mǎn)足：J=J■：J■？哿C■■為C的一簇右（左）余理想（即每個(gè)J■都是余代數(shù)C■的右（左）余理想，？坌α∈π），且J是C的一個(gè)π-■-子余模，即：滿(mǎn)足ρ■（J■）？哿J■？茚■■（ρ■（J■）？哿H■？茚■■），？坌α，β∈π，則稱(chēng)J是C的一個(gè)π-■-余模右（左）余理想.

引理2 設(shè)H為Hopf π-代數(shù)，（A，η）為π-H-模代數(shù)，若J={J■：J■？哿A■}■是（A，η）的一個(gè)π-H-模左（右）理想，則J■=J■■■是（A■，■）的一個(gè)π-H■-余模左（右）余理想.

證明：題目?jī)H證J={J■：J■？哿A■}■是（A，η）的一個(gè)π-H-模右理想.而對(duì)于J={J■：J■？哿A■}■是（A，η）的一個(gè)π-H-模左理想類(lèi)似可得證.

由題意可得J■是A■的子空間，可令映射：i=

i■■，其中i■：J■→A■為嵌入映射于是η■（i■■？茚id■）=i■■η■，即i=i■■■為π-H-模同態(tài)?？紤]另一簇線(xiàn)性映射i■=i■■■，其中i■■：A■■→J■■為其的對(duì)偶映射，則對(duì)任意的α，β∈π，a∈A■■，h∈H■■，f∈

A■■，有<（i■■？茚id■）■■（f），a？茚h>=

id■）（a？茚h）>==<■■i■■（f），a？茚h>所以（i■■？茚id■）■■=■■i■■，于是i■=i■■■為π-H■-余模同態(tài)。

又由于J■■=f∈U■■|=0，？坌j∈J■，且keri■■={n∈A■■|=0，？坌j■∈J■}，即J■■=keri■■.又因?yàn)椋╥■■？茚id■）■■（J■■）=■■i■■（J■■）=0，所以■■（J■■）？哿ker（i■■？茚id■）.而ker（i■■？茚id■）=keri■■？茚H■■+A■■？茚kerid■=keri■■？茚H■■=J■■？茚H■■，即■■（J■■）？哿J■■？茚H■■，即J■是（A■，■）的一個(gè)π-H■-余模右余理想.

引理3 設(shè)H為Hopf π-代數(shù)，（A，η）為π-H-模代數(shù)，若J={J■：J■？哿A■■}■是（A■，■）的一個(gè)π-H■-余模左（右）余理想，則J■=J■■■是（A，η）的一個(gè)π-H-模左（右）理想.

證明：類(lèi)似引理2可證得.

定理4 設(shè)H為Hopf π-代數(shù)，（A，η）為π-H-模代數(shù)，則J={J■：J■？哿A■}■是（A，η）的一個(gè)π-H-模左（右）理想當(dāng)且僅當(dāng)J■=J■■■是（A■，■）的一個(gè)π-H■-余模左（右）余理想.

證明：由引理2，引理3可得證。

參考文獻(xiàn)：

[1]衡美芹，孫建華.Hopf π-余代數(shù)與 π-子余代數(shù) [J].純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2009，25（4）：706-710.

[2]VIRELIZER A. Hopf group-coalgebras [J]. J Pure Algebra，2002，171：75-122.

[3]趙士銀.單側(cè)π-理想[J].山東理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，26（2）：

[4] 孫建華，蘇航贇.-余模代數(shù)與-張量積[J].揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)， 2010，13（1）：1-5.

[5] 衡美芹，孫建華. 模代數(shù)的模理想[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2015，45（10）：238-244.

Unilateral Module Ideal

HENG Mei-qin

（Department of Mathematics，Suqian College，Suqian，Jiangsu 223800，China）

Abstract：Let H be a local finite dimensional Hopf π-algebra，we show that the dual spaces of a π-H-module algebra is a π-■-comodule coalgebra. The perfect duality between unilateral π-H-module ideal of π-H-module algebra and unilateral π-■-comodule coideal of π-■-comodule coalgebra was obtained on this basis.

Key words：π-H-module algebra； π-■-comodule coalgebra； π-H-moduleleft （right） ideal；π-■-comodule left （right） coideal