基于恒包絡(luò)模擬波束聚集的無線能量傳輸

魏天偉 ，趙 翔

（1.中國科學(xué)院上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所，上海200050；2.中國科學(xué)院大學(xué)北京100049；3.上海科技大學(xué)上海201210）

移動(dòng)電話和傳感器一類的電池供電的設(shè)備，可以通過從環(huán)境中采集能量來延長其有限的壽命。環(huán)境中有各種各樣的能量可供采集，包括太陽能、風(fēng)能、振動(dòng)能量、射頻能量等。其中，射頻能量因其在時(shí)間和空間中的豐富度及其連續(xù)性顯得很有吸引力。相比采集環(huán)境中的任意射頻信號(hào)，對(duì)于需要連續(xù)和實(shí)時(shí)能源的應(yīng)用場景，無線能量傳輸是一種比較可靠的無線能量采集技術(shù)[]。各種無線能量傳輸技術(shù)信道模型在不同的文獻(xiàn)中得到了廣泛的研究，具體參見文獻(xiàn)[2-7]和其中引用的文獻(xiàn)。

為了提高無線能量傳輸?shù)男?，基于天線陣列波束聚集技術(shù)（稱為能量波束聚集[2]）可用于把發(fā)射電磁波的能量集中到狹窄的空間角度。傳統(tǒng)的數(shù)字波束聚集通過處理基帶信號(hào)來提高陣列增益。然而，在數(shù)字波束聚集技術(shù)中，每個(gè)天線都需要一個(gè)單獨(dú)的射頻鏈來調(diào)整傳輸信號(hào)的振幅和相位，從而導(dǎo)致實(shí)施成本很高，尤其是在天線的數(shù)量很大的情形下。為了降低這種成本，我們提出一種模擬波束聚集方法，即在發(fā)射端所有天線共享一個(gè)共同的射頻鏈和一個(gè)射頻前端來控制每個(gè)天線的信號(hào)幅度和相位[8]。因?yàn)樯漕l功率放大器是昂貴的，并且在實(shí)踐中難以設(shè)計(jì)，我們?cè)O(shè)計(jì)的前端可以進(jìn)一步減少到一組移相器，每個(gè)發(fā)射天線都安置一個(gè)移相器。這就是恒包絡(luò)模擬波束聚集，注意到恒包絡(luò)數(shù)字波束聚集技術(shù)已經(jīng)在多天線廣播系統(tǒng)中用于數(shù)據(jù)傳輸[9-10]。

本文研究在多用戶多輸入單輸出（multipleinput single-output，MISO）系統(tǒng)中的恒包絡(luò)模擬波束聚集無線能量傳輸。系統(tǒng)如圖1所示，它由一個(gè)有N個(gè)天線的基站和多個(gè)單天線用戶組成，所有的天線在基站發(fā)射端只需要一個(gè)單一的射頻鏈來實(shí)現(xiàn)模擬波束聚集。我們假定用戶可以通過收集從基站接收到的射頻信號(hào)來給電池進(jìn)行能量補(bǔ)給。我們的目標(biāo)是在恒包絡(luò)約束（Constant Envelope Constraint，CEC）下通過優(yōu)化波束聚集參數(shù)來最大化用戶接收功率。CEC意味著發(fā)送信號(hào)需要有恒定振幅并且只可以改變它們的相位。這個(gè)優(yōu)化問題是一個(gè)難以解決的非凸問題。我們提出了一種低復(fù)雜度模擬波束聚集方案，通過仿真我們發(fā)現(xiàn)這種方案非常接近由可變包絡(luò)的最優(yōu)數(shù)字波束聚集方案得到的上限。此外，在均勻和獨(dú)立的瑞利衰落的信道的假設(shè)下，我們推導(dǎo)出了一個(gè)這兩種方案比值的精確表達(dá)式。我們表明，當(dāng)發(fā)送端天線數(shù)N趨于無窮大時(shí)，這個(gè)比值收斂于π/4≈-1.05 dB，即相比最優(yōu)的數(shù)字波束聚集，模擬波束聚集只有約1 dB的功率損耗。這表明，恒包絡(luò)模擬波束聚集一種非常有前途可用于大規(guī)模多天線無線能量傳輸?shù)牡统杀炯夹g(shù)，其中一個(gè)應(yīng)用場景是物聯(lián)網(wǎng)的傳感器無線充電系統(tǒng)。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 系統(tǒng)模型

如圖1所示，我們考慮一個(gè)多用戶MISO系統(tǒng)，其中一個(gè)有N個(gè)發(fā)送天線的基站想同時(shí)給K個(gè)單天線用戶傳輸能量。為了減少發(fā)送端的實(shí)現(xiàn)成本，基站的N個(gè)天線共享一個(gè)共同的射頻鏈。生成的射頻信號(hào)表示為：

其中，P是基站的總發(fā)射功率，，fc是載波頻率。之后，z(t)通過相移器之后，在每個(gè)發(fā)射端天線n產(chǎn)生如下信號(hào)：

圖1 多用戶多輸入單輸出系統(tǒng)中的恒包絡(luò)模擬波束聚集無線能量傳輸

不失一般性的，我們將基站天線n到每個(gè)用戶k之間的信道建模成一個(gè)多路徑信道，對(duì)應(yīng)的信道參數(shù)表示為：

那么所有用戶的接收信號(hào)向量表示為：

其中，y(t)=[y1(t),y2(t),…,yK(t)]T，yk(t)是第k個(gè)用戶接收到的信號(hào)，H表示基站到所有用戶的信道矩陣，矩陣的第(n,k)個(gè)元素是hk,n，s(t)的第n個(gè)元素是sn(t)。我們假設(shè)基站通過單獨(dú)的訓(xùn)練和反饋[11-12]，可以獲得全部的信道信息H。

每一個(gè)用戶都想要通過接收到的射頻信號(hào)yk(t)來采集能量。根據(jù)能量守恒定律，接收到的射頻帶信號(hào)能量應(yīng)該是正比于接收到的基帶信號(hào)能量。那用戶k接收到的能量，就可以表示為：

其中η（0≤η≤1）是在用戶端的能量轉(zhuǎn)換效率，T=1/fc是載波信號(hào)的周期。不失一般性，我們?cè)诒疚牡氖Ｏ虏糠侄剂瞀?1。本文主要目的是最大化全部用戶的平均采集能量（average received power，ARP），而把最大化加權(quán)總能量以及最大化最小的采集能量做為未來的進(jìn)一步工作。ARP的具體形式為：

1.2 問題建模

本文想在CEC的條件下用模擬波束聚集的方法來最大化ARP。注意到最大化ARP和最大化‖Hx‖2是等價(jià)的，我們可以把對(duì)應(yīng)的問題建模成如下等式：

注意到（7b）就代表CEC，因?yàn)榇藭r(shí)傳輸基帶信號(hào){xn}有恒定的幅度。同時(shí)也注意到式（7）中的優(yōu)化問題只包含調(diào)節(jié)射頻信號(hào)的相位，因此是模擬波束聚集。

2 模擬波束聚集設(shè)計(jì)

問題（7）是非凸的，一般是很難獲得最優(yōu)解的。在這部分，我們將給出問題（7）的兩個(gè)次優(yōu)解。

2.1 基于CDA算法的次優(yōu)解

我們首先介紹坐標(biāo)梯度下降算法（coordinate descent algorithm，CDA）[13]，下面將詳細(xì)介紹這種算法。問題（7）的目標(biāo)函數(shù)可以改寫為：

CDA是一個(gè)迭代算法，在每一次的迭代過程中依次更新每一個(gè)相角變量αn。記第m次迭代中αn的值為。那么在第m次迭代過程中，相角的更新過程如下：

在這個(gè)算法中，所有的相角{αn}都被初始化為0，即。當(dāng)?shù)^程中Q的增量低于某個(gè)閾值或者迭代次數(shù)大于某個(gè)數(shù)的時(shí)候，迭代結(jié)束。

上述算法可以得到問題（7）的一個(gè)次優(yōu)解，可是卻沒有明確的解析解。接下來，我們將給出問題（7）另一個(gè)有解析解的次優(yōu)解。

2.2 基于EVD算法的次優(yōu)解

信道相關(guān)矩陣H?H的特征值分解（eigenvalue decomposition，EVD）如下：

其中，Λ=diag(λ1,λ2,…,λN)，λi是H?H第i大的特征值；V=[v1,v2,…,vN]，vi是對(duì)應(yīng)于λi的單位長度的特征向量；(?)?是共軛轉(zhuǎn)置操作。此時(shí)，（7a）中的目標(biāo)函數(shù)可以改為：

如果把（7b）里面的CEC換成總功率約束（sumpower constraint，SPC），也就是：

此時(shí)，對(duì)應(yīng)的優(yōu)化問題變成：

因?yàn)樗械牧邢蛄縶vi}都是正交的，最優(yōu)的傳輸信號(hào)xspc應(yīng)該沿著最大特征值λ1的特征向量v1，即。相應(yīng)的用戶端最大接受總能量是：

相比更嚴(yán)格的CEC約束，這個(gè)最大ARP是CEC約束下的上界。

注意到SPC約束情形下，最優(yōu)解的傳輸方向是沿著特征向量v1方向。將v1的第n個(gè)元素表示為v1n，為了滿足CEC，在天線n上的傳播信號(hào)被設(shè)置成跟v1n同相位但是幅度固定為。我們?cè)贑EC約束下提出方案的傳輸信號(hào)的第n個(gè)元素表示為：

其中∠v1n表示v1n的相角。這種基于EVD的波束聚集傳輸方案下的接收總功率為：

其中，‖?‖1表示一范數(shù)。從上面的不等式中我們可以獲得在CEC約束下的最大接收總功率的一個(gè)下界，表示為：

3 性能分析

本章主要分析2.2節(jié)中提出的基于EVD的模擬波束聚集方案的性能。

我們衡量的標(biāo)準(zhǔn)是CEC下的基于EVD的模擬波束聚集方案采集到的總能量與沒有CEC下的數(shù)字波束聚集方案采集到的總能量的比值，也就是，其中的期望是取自于隨機(jī)信道H分解產(chǎn)生的v1和λ1。根據(jù)公式（14）和（19），我們可知：

上面的比值可以對(duì)任意給定的信道分布進(jìn)行仿真估值。特殊的，我們假設(shè)從任意的基站發(fā)射天線n到任意用戶k的信號(hào)有很多個(gè)傳播路徑，即對(duì)于是非常大的一個(gè)數(shù)。根據(jù)大數(shù)定律，信道H的所有元素是從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中獨(dú)立獲得。同時(shí)，我們假設(shè)一個(gè)均勻和獨(dú)立的瑞利衰落環(huán)境，即從所有發(fā)射天線到所有的用戶之間都是獨(dú)立同分布信道。為了方便我們歸一化發(fā)射功率P到平均路徑損耗，路徑損耗被假定為在所有發(fā)射接收天線對(duì)上是相等的。此時(shí)，H?H=VΛV?是一個(gè)中心Wishart矩陣，其中V是一個(gè)獨(dú)立于對(duì)角矩陣Λ的哈爾矩陣（文獻(xiàn)[14]，引理2.6）。因此，v1是一個(gè)均勻地分布在N維單位超球面上的向量并且獨(dú)立于λ1。因此，公式（20）可以簡化成

然后，我們有以下結(jié)果。

定理1：假設(shè)信道H的所有元素是從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中獨(dú)立獲得，此時(shí)我們可得：

證明：

當(dāng)發(fā)射端天線數(shù)N趨向于無窮的時(shí)候，我們立即得到如下結(jié)論。

引理1：Δ關(guān)于N是一個(gè)逐漸遞減的函數(shù)，并且當(dāng)N→∞時(shí)收斂于π/4≈-1.05 dB。

從引理1中，我們可以看出相比最優(yōu)的非CEC約束的數(shù)字波束聚集，CEC約束下的模擬波束聚集只有約1 dB的功率損耗[15-16]。

4 仿真結(jié)果

本節(jié)將用一些數(shù)值結(jié)果來驗(yàn)證我們的分析，仿真場景如圖2所示。我們假設(shè)所有的用戶都隨機(jī)地散布在一個(gè)圓上以BS為中心，每個(gè)天線用戶鏈都是瑞利衰落，即的所有元素是從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中獨(dú)立獲得。公式（20）中定義的平均功率比與基站天線個(gè)數(shù)之間的關(guān)系如圖3所示。定理1中的理論結(jié)果和當(dāng)時(shí)的漸近線也顯示在圖中。我們觀察到理論結(jié)果與仿真曲線吻合較好，驗(yàn)證了定理1的正確性。此外，當(dāng)趨向于無窮時(shí)，理論結(jié)果和仿真結(jié)果都收斂到漸近線，與推論1相符。

圖2 仿真場景:假設(shè)所有的用戶隨機(jī)的分布在以基站為圓心的圓上

圖3 最優(yōu)數(shù)字波束聚集方法與基于EVD模擬波束聚集方法之間的性能差

圖4顯示在不同用戶數(shù)K時(shí)，ARP與N的關(guān)系.其中部分系統(tǒng)參數(shù)是P=10 W，N≥10，和K={5,10,20,50}。為了比較，SPC約束下的數(shù)字波束聚集，CEC約束下基于CDA的模擬波束聚集，CEC約束下基于EVD的模擬波束聚集（包括確切的ARP（17）和相應(yīng)的下界（19））都顯示在圖中。我們觀察到我們提出的在CEC約束下兩個(gè)模擬波束形成解決方案具有幾乎相同的性能。最優(yōu)數(shù)字波束聚集方法與基于EVD模擬波束聚集方法之間的性能差與用戶數(shù)K無關(guān)，只依賴于N，這與定理1一致。我們進(jìn)一步觀察到，隨著K的減少，所有的ARP性能提高。這是可以預(yù)期的，因?yàn)闊o論模擬還是數(shù)字波束聚集方法中，波束聚集增益隨用戶數(shù)目的增加而減小。

圖4 不同用戶數(shù)的時(shí)候，平均接收總功率與基站天線個(gè)數(shù)的關(guān)系，其中發(fā)射功率是10 W

5 結(jié)束語

本文研究了在多用戶系統(tǒng)中的多天線的無線能量傳輸。為了降低硬件成本和實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜性，本文專注于設(shè)計(jì)恒定包絡(luò)約束（CEC）的模擬波束聚集，而不是在更松弛的總功率約束（SPC）下的傳統(tǒng)數(shù)字波束聚集。我們分別提出了兩個(gè)有效的模擬波束形成設(shè)計(jì)，分別是基于CDA和基于EVD。在獨(dú)立同分布的瑞利衰落的信道假設(shè)下，我們還提出了最優(yōu)數(shù)字波束聚集方法與基于EVD模擬波束聚集方法之間的性能差的解析表達(dá)式。我們的理論分析表明，性能差僅取決于發(fā)送的數(shù)量天線N并且隨著N→∞逐漸收斂于π/4≈-1.05 dB。仿真結(jié)果驗(yàn)證了我們的理論分析結(jié)果，并且兩者都表明，我們提出的恒定包絡(luò)模擬波束聚集設(shè)計(jì)執(zhí)行非常接近最佳的變包絡(luò)數(shù)字波束聚集。因此，該方案可以用來實(shí)現(xiàn)基于能量波束聚集的無線能量采集的實(shí)現(xiàn)，尤其是在天線個(gè)數(shù)比較多的情形下。

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