例析用導(dǎo)數(shù)求切線方程的幾種類型

馬涵坤

(河北省衡水第一中學(xué) 053000)

用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程的方法為：設(shè)P(x0,y0)是曲線y=f(x)上的一點(diǎn)，則以P為切點(diǎn)的切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0)．當(dāng)曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))的切線平行于y軸(即導(dǎo)數(shù)不存在)時(shí)，由切線定義知，切線方程為x=x0．下面例析幾種常見的類型及解法.

類型一：已知切點(diǎn)，求曲線的切線方程

題目中點(diǎn)明切點(diǎn)，只需求出切線的斜率,并代入點(diǎn)斜式方程即可．

A.x-y-2=0 B.x+y-2=0

C.x+4y-5=0 D.x-4y-5=0

分析求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程．

可得在點(diǎn)(1，1)處的切線斜率為-1.

則所求切線的方程為y-1=-(x-1)，

即為x+y-2=0．

故選B．

點(diǎn)評正確求導(dǎo)和運(yùn)用點(diǎn)斜式方程是求切線方程的關(guān)鍵．

類型二：已知斜率，求曲線的切線方程

題目中未明確切點(diǎn)，需要利用題中條件求出切點(diǎn)，再確定切線的斜率，最后用點(diǎn)斜式方程加以求解．

例2 與直線2x-y+4=0平行的拋物線y=x2的切線方程是____．

分析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f(x)在x處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，建立等式，求出x的值，從而求出切點(diǎn)坐標(biāo)，最后將切線方程寫出一般式即可．

由此得到切點(diǎn)(1，1).

故切線方程為y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0．

點(diǎn)評本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，同時(shí)考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.另外此題所給的曲線是拋物線，故也可利用Δ法加以解決．

類型三：已知過曲線上一點(diǎn)，求切線方程

題目中給出了曲線上的任一點(diǎn)，但該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故要先求出切點(diǎn)，再利用斜率，就可求出切線的方程了．

例3 求過曲線y=x3-2x上的點(diǎn)(1，-1)的切線方程．

分析求導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可．

解設(shè)P(x0,y0)為切點(diǎn)，

所以切線方程為：y-y0=(3x02-2)(x-x0)，

即y-(x03-2x0)=(3x02-2)(x-x0).

又知切線過點(diǎn)(1，-1)，

將其代入上述方程，得

類型四：已知過曲線外一點(diǎn)，求切線方程

當(dāng)給出的已知點(diǎn)不在曲線上時(shí)，需要先求出切點(diǎn)，再用待定切點(diǎn)法來求解．

分析設(shè)出切點(diǎn)(m,n)，求得導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由點(diǎn)斜式表示出切線方程，代入已知點(diǎn)，就可求出切點(diǎn)，從而求出切線方程．

解設(shè)P(x0,y0)為切點(diǎn)，

又已知切線過點(diǎn)(2，0)，

點(diǎn)評點(diǎn)(2，0)實(shí)際上是曲線外的一點(diǎn)，但在解題過程中卻無需判斷它的確切位置，只需區(qū)分“過點(diǎn)”與“在點(diǎn)”即可，這充分反映出待定切點(diǎn)法的高效性．

通過以上分析，希望同學(xué)們能夠掌握利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的各種類型.在不同的條件下，利用不同的思路完美地解決問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]桑觀賞.用導(dǎo)數(shù)求切線方程的四種類型[J].中學(xué)生數(shù)理化(高二版)， 2012(Z1).