柯西不等式的推論的應(yīng)用

劉振興

(廣東省佛山市第一中學(xué) 528000 )

一、柯西不等式及其推論

柯西不等式:設(shè)ai,bi∈R(i=1,2,…,n),則

當(dāng)且僅當(dāng)ai=λbi(i=1,2,…,n)時(shí),等號(hào)成立.

推論1:設(shè)ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),則

當(dāng)且僅當(dāng)ai=λbi(i=1,2,…,n)時(shí),等號(hào)成立.

二、柯西不等式的推論的應(yīng)用

由推論1得

∴a2+b2+c2+d2+(a+b+c+d)2

對(duì)例1可進(jìn)行維數(shù)的推廣.

維數(shù)的推廣:

設(shè)ai∈R(i=1,2,…,n),

證明根據(jù)柯西不等式，類似例1過(guò)程得

在解決有些不等式問(wèn)題時(shí),我們要多次使用柯西不等式的推論.

解由推論1得

令a2+b2+c2=x,

由推論1得

所以f(x)在[3,+)上單調(diào)遞增.

對(duì)例2可進(jìn)行如下推廣.

(1)維數(shù)的推廣:

(2)冪的推廣:

(3)線性推廣:

綜合(1),(2),(3)可得一般性推廣,并給出證明.

證明由推論1得

參考文獻(xiàn)：

[1]卓書(shū)月.柯西不等式及其變式的應(yīng)用[J].民營(yíng)科技,2011(9):78,162.