連續(xù)排水邊界下一維均質地基的固結性狀分析

張國英 李勇義 李 康

(1.廣西大學土木建筑工程學院;2.嘉興錦大工程管理咨詢有限公司)

土的固結是土力學的重點問題之一，主要是由固結方程、初始條件、邊界條件3個部分組成，而且與土的變形、強度、滲透有著緊密的聯(lián)系。自Terzaghi[1]在一系列假設簡化的條件下建立一維固結理論之后，固結理論的研究得到了快速的發(fā)展，隨后許多學者也相繼研究了一維、二維、三維等各種不同類型的固結問題[2-4]，對固結理論的發(fā)展有重要的意義。

但是許多研究工作都是基于現有固結問題中邊界條件不滿足初始條件這一矛盾求解的。針對這一問題，梅國雄[5]等提出了從透水到不透水的連續(xù)排水邊界條件，能夠很好地解決固結求解中存在的問題，從而對現有固結理論中邊界條件不滿足初始條件這一問題進行修正，本文基于此連續(xù)排水邊界條件開展研究。

1 連續(xù)排水邊界

以Terzaghi一維固結理論為例，

(1)

其求解初始條件為

u(0,z)=p，

(2)

邊界條件為

頂面透水時

u(t,0)=0

(3)

底面不透水時

(4)

式中，u為孔隙水壓力，Pa；t為固結時間，d；Cv為固結系數，m2/d;p為驟加荷載,Pa;H為土層厚度,m。

從式(2)可以得到

u(0,0)=p.

(5)

從式(3)可以得到

u(0,0)=0 .

(6)

從式(5)和式(6)可以看出方程的邊界條件不滿足初始條件，即邊界條件和初始條件矛盾。

同時,Terzaghi給出解答如下：

(7)

當z=0時，根據其解答可以得出u(t,0)，這與初始條件u(z,0)也是矛盾的。

基于此，梅國雄[5]等提出一種連續(xù)排水邊界條件：

u(t,0)=pe-bt,

(8)

式中,u(t,0)為t時刻邊界z=0的孔壓,Pa；p為荷載，Pa；b為反映邊界排水性能的參數，d-1，并且b>0，b越大，邊界的排水性能越好。

該邊界條件能夠很好地和初始條件統(tǒng)一，使其更接近實際的排水情況。

2 固結方程及其解答

2.1 連續(xù)排水邊界下的解答

地基邊界的排水條件取為連續(xù)排水邊界，分為單面連續(xù)排水邊界和雙面連續(xù)排水邊界，其余假設和Terzaghi一維固結理論相同。飽和軟土層的厚度取H，滲透系數為k，土的體積壓縮系數為mv，水的容重為γw。本文按照單面排水計算，雙面排水只需用H/2代替單面排水情況式中的H即可[6]。地基一維固結模型見圖1。

圖1 地基一維固結模型

圖1中一維固結方程為

其求解初始條件與邊界條件為

(9)

為了方便方程的求解，令

u=v+pe-bt，

(10)

代入原方程以及初始條件和邊界條件中可以得

(11)

其中，

f(t)=bpe-bt,

(12)

(13)

將定解問題的解v(t,z)和自由項f(t)按關于z的固有函數展開為傅立葉級數,即

(14)

(15)

(16)

將式(14)、式(15)代入式(11)中可得

(17)

求解以上一階常微分方程可得

(18)

(19)

然后將式(18)代入式(14)中可得v(t,z)，再代入式(10)中可求得u(t,z)的一般解答式:

(20)

當b→∞ 時,式(20)中孔壓解答可退化為

(21)

即為Terzaghi固結解析解。

固結度解答為

(22)

沉降解答為

(23)

從解析式可以看出,固結度和沉降不僅與固結系數、排水距離有聯(lián)系，還與邊界的排水性能有關。

2.2 解答的分析

為了驗證文中解析解的正確性，編制了相關計算程序，將本文解答和Terzaghi解答進行對比分析，所用土體參數γ=18.1 kN/m3，H=10 m，μ=0.3，E=10 MPa，荷載p=100 kPa，水的容重γw=10 kN/m3。

由連續(xù)排水邊界的特點可知，當b無窮大時，連續(xù)排水邊界即退化為一般排水邊界。不同時間因數時土層的孔壓曲線變化見圖2?？梢缘贸?，當本文計算時b取較大值10 000 d-1時，本文解答就已經與Terzaghi解答的孔壓消散曲線重合非常好，這也充分說明了本文推導的解析解及計算程序的正確性。

圖2 不同時間因數時土層的孔壓曲線

◆—Tv=0.3,b=10 000 d-1時本文解；■—Tv=0.5,b=10 000 d-1時本文解；★—Tv=0.7,b=10 000 d-1時本文解；●—Tv=0.9,b=10 000 d-1時本文解

為了研究本文解答的收斂性情況，選取時間因數Tv=0.5，深度z=5 m處的孔壓進行分析，同時取b=0.1d-1，其孔壓計算結果見圖3?？梢缘贸?，固結系數Cv取較小值時的收斂性比取較大值的收斂性好，但是總體上本文解答的收斂性都非常好，基本上取級數前五項就能夠滿足精度要求。同時可得出，當固結系數Cv取值不同時，孔壓也不同，而且固結系數Cv取較小值0.1、0.01、0.001時孔壓相差不大，固結系數Cv取較大值10、1時孔壓相差很大，這也說明當時間因數一定時，固結系數越大，固結所需的時間越短，b對結果的影響越大。而經典Terzaghi一維固結中,當時間因數相等時，孔壓不變，這也和Terzaghi一維固結不一樣。

圖3 級數項數對孔壓的影響

3 參數敏感性分析

3.1 邊界參數b對孔壓的影響

選取時間因數Tv=0.5，并對連續(xù)排水邊界參數b取不同值時，計算土層的孔壓，其孔壓曲線見圖4。圖4表明，當b取值越大時，土層孔壓消散得越快，孔壓消散曲線越接近Terzaghi解答孔壓消散曲線，而且邊界z=0 m孔壓不再是零，而是隨著時間逐漸減小到零，這也說明了排水邊界不再是直接由初始孔壓直接突變?yōu)榱?，而是將排水邊界與時間建立關系，這對研究孔壓消散規(guī)律有重要的意義。

圖4 b取不同值時土層的孔壓曲線

3.2 邊界參數b對固結度的影響

圖5為不同連續(xù)排水邊界參數b值地基的固結度隨時間因數的變化曲線。圖5表明，隨著b取值增大，即邊界排水性能增加，地基固結速度越快，但是固結速度增加率越來越小。在固結前期，b取值不同，其固結速度相差較大，而在中后期固結度的變化曲線相差不是很大，并且越來越接近Terzaghi固結曲線。

圖5 不同b值時地基的固結度曲線

3.3 邊界參數b對沉降的影響

圖6為不同連續(xù)排水邊界參數b值地基的沉降隨時間的變化曲線?？梢钥闯觯琤取值越大，地基沉降速度越快，但是沉降增加率隨著b值的增大而減小，特別是在地基沉降完成的中后期，b值對沉降影響不大，并且地基的最終沉降量不受b值大小的影響，和Terzaghi固結沉降曲線計算一樣，這也說明了本文解答的正確性，邊界排水參數b值只影響沉降完成的速度，而不會影響最終的沉

圖6 不同b值時土層的沉降曲線

降量。

4 結 論

(1)通過引入連續(xù)排水邊界條件，建立了該邊界條件下的一維均值地基單面排水固結方程，并求得孔壓、固結度及沉降解答。

(2)通過將本文解析解退化到Terzaghi解，可以得出Terzaghi解是本文解答的一種特例，而且通過與其對比，驗證了連續(xù)排水邊界下解析解的正確性。

(3)固結系數Cv取值較小時的收斂性比取值較大時的收斂性好，基本上取級數前五項就能夠滿足精度要求，方便在實際工程中推廣應用，而且當固結系數Cv取值不同時，孔壓也不同。

(4)當邊界參數b取值越大，孔壓消散越快，而且邊界z=0 m處孔壓不再是零，而是隨著時間逐漸減小到零，將排水邊界與時間建立聯(lián)系。

(5)隨著邊界參數b值的增大，地基固結速度越快，不同b值對固結前期的固結速度影響大于固結中后期的影響。

[1] Terzaghi K.Erdbaumechanik auf Bodenphysikalischer Grundlage[M].Vienna:Leipzig Deuticke,1925.

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