推理與證明測(cè)試題（A卷）

■甘肅省秦安縣第二中學(xué) 羅文軍

一、選擇題

1.觀(guān)察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cosx)'=-sinx,由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x)等于( )。

A.f(x) B.-f(x)

C.g(x) D.-g(x)

3.有這樣一段演繹推理“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù),整數(shù)是有理數(shù),則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”,結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,是因?yàn)? )。

A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤

C.推理形式錯(cuò)誤 D.非以上錯(cuò)誤

4.類(lèi)比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等,三內(nèi)角相等”的性質(zhì),可推知正四面體的下列性質(zhì),你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖? )。

①各棱長(zhǎng)相等,同一頂點(diǎn)上的任意兩條棱的夾角都相等;

②各個(gè)面都是全等的正三角形,相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等;

③各個(gè)面都是全等的正三角形,同一頂點(diǎn)上的任意兩條棱的夾角都相等。

A.① B.①② C.①②③ D.③

A.1 B.1+2

C.1+2+3 D.1+2+3+4

6.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去問(wèn)老師成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)。老師說(shuō):你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī),給乙看丙的成績(jī),給丁看甲的成績(jī)?？春蠹讓?duì)大家說(shuō):我還是不知道我的成績(jī)。根據(jù)以上信息,可判斷( )

A.乙可以知道四人的成績(jī)

B.丁可以知道四人的成績(jī)

C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)

D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)

8.下面幾種推理中是演繹推理的是( )。

A.因?yàn)閥=2x是指數(shù)函數(shù),所以函數(shù)y=2x經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,1)

C.由“平面內(nèi)垂直于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行”類(lèi)比推出“空間中垂直于同一平面的兩條平面平行”

D.由平面直角坐標(biāo)系中圓的方程為(xa)2+(y-b)2=r2,推出空間直角坐標(biāo)系中球的方程為(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2

9.若大前提是:任何實(shí)數(shù)的平方都大于0,小前提是:a∈R,結(jié)論是:a2＞0,那么這個(gè)演繹推理出錯(cuò)在( )。

A.大前提 B.小前提

C.推理過(guò)程 D.沒(méi)有出錯(cuò)

10.在證明f(x)=2x+1為增函數(shù)的過(guò)程中,有下列四個(gè)命題:①增函數(shù)的定義是大前提;②增函數(shù)的定義是小前提;③函數(shù)f(x)=2x+1滿(mǎn)足增函數(shù)的定義是大前提;④函數(shù)f(x)=2x+1滿(mǎn)足增函數(shù)的定義是小前提。其中正確的命題是( )。

A.①④ B.②④

C.①③ D.②③

11.應(yīng)用反證法推出矛盾的過(guò)程中,可作為條件使用的是( )。

①結(jié)論的否定即假設(shè);②原命題的條件;③公理、定理、定義等;④原命題的結(jié)論。

A.①② B.①②④

C.①②③ D.②③

12.用反證法證明命題:“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x2+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是( )。

A.方程x2+ax+b=0沒(méi)有實(shí)根

B.方程x2+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根

C.方程x2+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根

D.方程x2+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根

13.用反證法證明命題“若直線(xiàn)AB、CD是異面直線(xiàn),則直線(xiàn)AC、BD也是異面直線(xiàn)”的過(guò)程歸納為以下三個(gè)步驟:

①則A、B、C、D四點(diǎn)共面,所以直線(xiàn)AB、CD共面,這與直線(xiàn)AB、CD是異面直線(xiàn)矛盾;②所以假設(shè)錯(cuò)誤,即直線(xiàn)AC、BD也是異面直線(xiàn);③假設(shè)直線(xiàn)AC、BD是共面直線(xiàn)。

則正確的序號(hào)順序?yàn)? )。

A.①②③ B.③①②

C.①③② D.②③①

14.否定結(jié)論“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí),正確的反設(shè)為( )。

A.a,b,c都是奇數(shù)

B.a,b,c都是偶數(shù)

C.a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)

D.a,b,c都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)

15.設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a+b+c=1,則a,b,c中至少有一個(gè)數(shù)不小于( )。

A.都大于2 B.至少有一個(gè)不大于2

C.都小于2 D.至少有一個(gè)不小于2

17.對(duì)于定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x),如果存在實(shí)數(shù)x0,使f(x0)=x0,那么x0叫作函數(shù)f(x)的一個(gè)好點(diǎn)。已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+1不存在好點(diǎn),那么a的取值范圍是( )。

C.(-1,1)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

18.若1＜x＜10,則下面不等式正確的是( )。

A.(lgx)2＜lgx2＜lg(lgx)

B.lgx2＜(lgx)2＜lg(lgx)

C.(lgx)2＜lg(lgx)＜lgx2

D.lg(lgx)＜(lgx)2＜lgx2

19.設(shè)x1,x2是方程x2+px+4=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則( )。

A.|x1|＞2,且|x2|＞2

B.|x1+x2|＜4

C.|x1+x2|＞4

D.|x1|=4,且|x2|=16

20.觀(guān)察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,則52011的末四位數(shù)字為( )。

A.3125 B.5625

C.0625 D.8125

A.nnB.n2C.n D.n+1

A.sinθ≥0或cosθ≥0

B.sinθ＜0且cosθ＜0

C.sinθ＜0或cosθ＜0

D.sinθ＞0且cosθ＞0

23.“四邊形ABCD是矩形,所以四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相等”,補(bǔ)充該推理的大前提是( )。

A.正方形的對(duì)角線(xiàn)相等

B.矩形的對(duì)角線(xiàn)相等

C.等腰梯形的對(duì)角線(xiàn)相等

D.矩形的對(duì)邊平行且相等

A.1 B.2 C.3 D.4

A.1 B.15

26.某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān),若n=k(k∈N*)時(shí)命題成立,那么可推得當(dāng)n=k+1時(shí)該命題也成立,現(xiàn)已知n=5時(shí),該命題不成立,那么可以推得( )。

A.n=6時(shí)該命題不成立

B.n=6時(shí)該命題成立

C.n=4時(shí)該命題不成立

A.7 B.8 C.9 D.10

A.1項(xiàng) Bk.項(xiàng)

C.2k-1項(xiàng) D.2k項(xiàng)

29.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),xn+yn能被x+y整除”的第二步是( )。

A.假設(shè)n=2k+1時(shí)正確,再推n=2k+3時(shí)正確(其中k∈N*)

B.假設(shè)n=2k-1時(shí)正確,再推n=2k+1時(shí)正確(其中k∈N*)

C.假設(shè)n=k時(shí)正確,再推n=k+1時(shí)正確(其中k∈N*)

D.假設(shè)n≤k(k≥1)時(shí)正確,再推n=k+2時(shí)正確(其中k∈N*)

30.把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如下所示的三角形數(shù)表。設(shè)aij(i,j∈N*)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù),如a42=8。若aij=2009,則i與j的和為( )。

1

2 4

3 5 7

6 8 10 12

9 11 13 15 17

14 16 18 20 22 24

……

A.105 B.106 C.107 D.108

二、填空題

33.已知定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且滿(mǎn)足f(x)=f(x+3),f(-2)=-3。若數(shù)列{an}中,a1=-1,且前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足

34.回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)。如22,121,3443,94249等。顯然兩位回文數(shù)有9個(gè):11,22,33,…,99。三位回文數(shù)有90個(gè):101,111,121,…,191,202,…,999。則:

(1)四位回文數(shù)有____個(gè);

(2)2n+1(n∈N*)位回文數(shù)有____個(gè)。

35.下列命題適合用反證法證明的是____。

(3)關(guān)于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的;

(4)同一平面內(nèi),分別與兩條相交直線(xiàn)垂直的兩條直線(xiàn)必相交。

36.用反證法證明命題:“三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí),假設(shè)應(yīng)該是____。

38.一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n)稱(chēng)為第k位碼元,二元碼是通信中常用的碼,但在通信過(guò)程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤(即碼元由0變?yōu)?,或者由1變?yōu)?)。

已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿(mǎn)足如下校驗(yàn)方程組

其中運(yùn)算⊕定義為:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0。

現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過(guò)程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101,那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于____。

39.已知甲、乙、丙3人恰好都去過(guò)北京、上海中的某一個(gè)城市,3人分別給出了以下說(shuō)法:

甲說(shuō):“我去過(guò)上海,乙也去過(guò)上海,丙去過(guò)北京?！?/p>

乙說(shuō):“我去過(guò)上海,甲說(shuō)得不完全對(duì)?！?/p>

丙說(shuō):“我去過(guò)北京,乙說(shuō)得對(duì)?！?/p>

已知甲、乙、丙三人中恰好有1人說(shuō)得不對(duì),則去過(guò)北京的是____。

41.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù),若則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____。

42.已知平面α∩平面β=直線(xiàn)a,直線(xiàn)b?平面α,直線(xiàn)c?平面β,b∩a=A,c∥a,求證:b與c是異面直線(xiàn)。若利用反證法證明,則應(yīng)假設(shè)____。

三、解答題

43.對(duì)于一切n∈N*,求證:(2n+7)·3n+9可被36整除。

44.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=,求證:對(duì)于任意的n∈N*,不等式a1+a2+a3+…+an＜2n都成立。

45.已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1,求證:a,b,c至少有一個(gè)大于

46.如圖1,已知A,B,C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上的三點(diǎn),點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的右頂點(diǎn),BC過(guò)橢圓

圖1

(1)求橢圓的方程。

(2)若過(guò)C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)D作橢圓的切線(xiàn)DE,則AB與DE有什么位置關(guān)系?證明你的結(jié)論。

48.設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,非零實(shí)數(shù)x,y分別為a與b,b與c的等差中項(xiàng),證明:

49.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足:

(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通項(xiàng)公式;

(2)使用數(shù)學(xué)歸納法證明通項(xiàng)公式的正確性。