現(xiàn)場測量攝影中透視關(guān)系的修正研究

楊洪臣 張 凡

（中國刑事警察學(xué)院聲像資料檢驗技術(shù)系 遼寧 沈陽 110035）

1 引言

測量攝影是利用光學(xué)攝影機(jī)或數(shù)碼相機(jī)獲取的相片，經(jīng)過處理以獲取被攝物體的形狀、大小、位置、特性及其相互關(guān)系的一門學(xué)科。測量攝影廣泛的應(yīng)用于地理測繪、考古學(xué)、建筑工程等方面，能夠快速地完成，并不需要與物體進(jìn)行接觸，能夠完全還原物體的初始狀態(tài)，因此將其運(yùn)用于現(xiàn)場勘查中十分合適。我們知道勘查一個現(xiàn)場需要3步：拍照、測量、書面記錄。其中測量需要花費(fèi)很長的時間和人力，尤其是對于一些復(fù)雜的現(xiàn)場，例如交通事故現(xiàn)場，是不可能長時間封鎖現(xiàn)場進(jìn)行測量的。而測量攝影方法就具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢，因此運(yùn)用測量攝影進(jìn)行現(xiàn)場勘查得到了實(shí)戰(zhàn)部門和各專家學(xué)者的青睞。

目前比較簡單實(shí)用的方法是利用鏡頭的透視關(guān)系實(shí)現(xiàn)現(xiàn)場測量攝影，這種方法簡單易行、誤差小。其中，文獻(xiàn)[1]對這種方法進(jìn)行了比較系統(tǒng)和完備的研究，提出利用照片中放大倍率進(jìn)行攝影測量的方法，但他們在進(jìn)行誤差分析時忽略了由于攝影鏡頭的光學(xué)性質(zhì)導(dǎo)致的畸變，從而影響測量精度。本文將鏡頭的畸變考慮在內(nèi)，對此方法進(jìn)行了進(jìn)一步的修正。

2 測量原理

根據(jù)透視學(xué)基本理論，在將三維空間中的立體事物通過二維平面表示時，將會遵循一定的規(guī)律，即平行直線有共同的滅點(diǎn)、平面有共同的滅線，以及“近大遠(yuǎn)小”[2]。

回歸分析是通過規(guī)定因變量和自變量來確定變量之間的因果關(guān)系，建立回歸模型，并根據(jù)實(shí)測數(shù)據(jù)來求解模型的各個參數(shù)，然后評價回歸模型是否能夠很好的擬合實(shí)測數(shù)據(jù)；如果能夠很好的擬合，則可以根據(jù)自變量作進(jìn)一步預(yù)測。即通過普通變量x的變化，研究隨機(jī)變量Y的分布，進(jìn)而得到Y(jié)關(guān)于x的回歸方程。

鏡頭畸變實(shí)際上是光學(xué)透鏡固有的透視失真的總稱[3]，因為透視原因造成的失真對于照片的成像質(zhì)量是非常不利的，尤其在測量攝影中常常會影響精確度。最常見的兩種畸變是桶形畸變和枕形畸變。枕形畸變（Pincushion Distortion）是由鏡頭引起的畫面向中間“收縮”的現(xiàn)象。桶形畸變（Barrel Distortion）是由鏡頭中透鏡物理性能，以及鏡片組結(jié)構(gòu)引起的成像畫面呈桶形膨脹狀的失真現(xiàn)象。

對畸變圖像進(jìn)行校正，一般是按照一副標(biāo)準(zhǔn)圖像或一組基準(zhǔn)點(diǎn)來校正失真圖像，根據(jù)兩幅圖像中一些已知對應(yīng)點(diǎn)，建立函數(shù)關(guān)系，將失真圖像的坐標(biāo)系（u，t）變換到標(biāo)準(zhǔn)圖像的坐標(biāo)系（x，y），實(shí)現(xiàn)失真圖像幾何位置的校正，使失真圖像中的每一點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)圖像中都可找到與之相對應(yīng)的像點(diǎn)。當(dāng)不知變換函數(shù)時，可用基準(zhǔn)圖像和失真圖像上多對同名像素的坐標(biāo)來確定變換函數(shù)[4]。

3 實(shí)驗

3.1 樣本采集

用Nikon D7100數(shù)碼相機(jī)（鏡頭AF-S DX 18-140/3.5-5.6G ED VR）、三腳架，對鋪有地磚的走廊拍攝。保持鏡頭光軸與地面呈20°角，以20、45、70、140焦距拍攝4張照片。

3.2 實(shí)驗方法

將照片輸入計算機(jī)，利用Photoshop CC對照片進(jìn)行簡單增強(qiáng)處理以加強(qiáng)紋線與地面反差。運(yùn)用Photoshop CC中的標(biāo)尺工具在照片上進(jìn)行測量，對于數(shù)字圖像遵循其默認(rèn)的平面圖像坐標(biāo)系，原點(diǎn)設(shè)在圖像左上角，縱坐標(biāo)記圖像的列，方向與通常的平面坐標(biāo)系縱軸相反，沿豎直方向向下為正；橫軸標(biāo)記圖像的行，仍沿水平方向向右。這一分法正好符合Photoshop中的分法。

對于水平方向成像的透視關(guān)系，在拍攝的不同焦距照片中通過實(shí)驗數(shù)據(jù)的測量和分析，驗證平行于X軸的直線上放大倍率相等。具體方法是選取Y軸上若干點(diǎn)，計算這些點(diǎn)沿X方向磚塊的測量值和實(shí)際磚塊長度的比值為這一點(diǎn)的放大倍率。通過統(tǒng)計不同點(diǎn)的X值和放大倍率，繪制變量X與放大倍率的曲線圖，通過曲線的傾斜角度和方向來分析研究樣本照片中平行于X軸的直線上放大倍率規(guī)律。

對于垂直方向成像的透視關(guān)系，在拍攝的4張照片中，通過數(shù)據(jù)測量、統(tǒng)計，分析不同焦距下平行于Y軸的直線上放大倍率的變化規(guī)律。具體方法是在樣本照片中選取近似平行于Y軸且經(jīng)過滅點(diǎn)的直線上點(diǎn)，測量其在X軸方向上磚塊的長度，將測量長度與磚塊實(shí)際長度的比值作為這一點(diǎn)的放大倍率。通過繪制變量Y與放大倍率的曲線圖，利用最小二乘法求得回歸方程，確定放大倍率的變化規(guī)律。

放大倍率變化方程的驗證，可以將樣本照片中一條線段沿滅點(diǎn)分解為空間中垂直的兩條直線如圖1，根據(jù)放大倍率的函數(shù)方程求得實(shí)際長度，最后用勾股定理求得這一線段的長度。

圖1 兩點(diǎn)間長度測量示意圖

4 實(shí)驗結(jié)果及分析

4.1 水平方向放大倍率分析

對焦距為20mm樣本照片沿X軸方向放大倍率的測量，得到圖2的函數(shù)圖像。由函數(shù)圖像可見與X軸平行的方向上函數(shù)曲線近似水平，即放大倍率不變，所以沿X軸方向上各點(diǎn)的放大倍率處處相等。同理測量得出其余3個焦距與20mm樣本X軸方向放大倍率相等。

圖2 20mm樣本X軸方向放大倍率

4.2 垂直方向放大倍率分析

對4張樣本照片進(jìn)行測量。根據(jù)測量數(shù)據(jù)計算放大倍率，以45mm為例，繪制函數(shù)圖像如圖3，并運(yùn)用最小二乘法求出函數(shù)關(guān)系。

圖3 45mmY軸方向放大倍率

同理得出4個焦距下與Y軸平行，經(jīng)過滅點(diǎn)的直線上點(diǎn)的放大倍率回歸方程為：

其中，Y為直線上點(diǎn)的Y軸坐標(biāo)，B為這點(diǎn)的放大倍率。這里需要說明的是對放大倍率與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系的散點(diǎn)圖進(jìn)行觀察和計算，發(fā)現(xiàn)采用線性方程進(jìn)行歸納擬合度較高，說明線性方程更加符合成像的透視關(guān)系。

4.3 誤差計算

以20mm拍攝的樣本照片為例來測算誤差。根據(jù)回歸分析理論，可以用樣本的殘差平方和來表示誤差。

線性回歸的殘差平方和服從分布

其中，n為測量點(diǎn)個數(shù)，ei為回歸方程與測量數(shù)據(jù)之間的差值。

通過對回歸得到的放大倍率公式與測量得到數(shù)據(jù)的分析，利用線性回歸的誤差分析方法得出

5 鏡頭畸變矯正后透視關(guān)系分析及修正

5.1 樣本照片的矯正

制作樣本照片時同時生成.NEF和.JPEG格式照片，其中.NEF文件可以保存相機(jī)及修正鏡頭的配置文件信息，因此利用Photoshop CC中的“啟用配置文件”可以對樣本照片進(jìn)行畸變矯正。矯正原理是：RAW格式文件為照片的原始格式，保留了成像的全部數(shù)據(jù)，其中包括相機(jī)和鏡頭廠商預(yù)先測得的照片畸變參數(shù)，Photoshop CC可以獲得RAW格式照片中這些參數(shù)，并根據(jù)參數(shù)對照片進(jìn)行矯正。

5.2 矯正圖片透視關(guān)系分析

將矯正圖片輸出為JPEG格式，利用回歸分析對矯正后圖像分別進(jìn)行水平方向和垂直方向放大倍率測算。

測算得出與X軸平行的直線上各點(diǎn)的放大倍率基本相等，與Y軸平行并經(jīng)過滅點(diǎn)的的直線上放大倍率回歸方程為：

通過對矯正后回歸方程的分析并與矯正前的對比，可以看到方程有了比較明顯的變化，這說明畸變對于沿縱軸方向的放大倍率變化還是有比較大的影響，也成為誤差產(chǎn)生不可忽視的因素。

5.3 誤差計算與分析

通過對矯正后回歸得到的放大倍率公式與測量得到數(shù)據(jù)的分析，同理利用線性回歸的誤差分析方法得出

導(dǎo)致誤差的原因除了鏡頭的畸變以外，還有拍攝樣本照片時地面上的坐標(biāo)系很難與Photoshop中的坐標(biāo)系保持平行；地磚的紋線不是絕對平直且長度有微小的變化；測量中利用標(biāo)尺工具取測量點(diǎn)時由于人眼自身讀數(shù)的誤差導(dǎo)致測量不準(zhǔn)確等，另外利用線性回歸統(tǒng)計數(shù)據(jù)本身就存在一定的誤差。

5.4 透視關(guān)系的修正

通過上述實(shí)驗結(jié)果可以看出畸變對測量數(shù)據(jù)的影響程度，因此為了這種方法的實(shí)用性和可操作性，本文引入修正系數(shù)：

以20mm和140mm樣本照片為例，計算修正系數(shù)K，得到修正系數(shù)與坐標(biāo)的關(guān)系。利用回歸分析得到Y(jié)值與對應(yīng)修正系數(shù)的關(guān)系如圖4、圖5。

得到的修正系數(shù)公式為：

其中，Y為測量點(diǎn)的Y軸坐標(biāo)，K為這點(diǎn)的修正系數(shù)。由修正系數(shù)公式可計算得到修正系數(shù)K，因此矯正后放大倍率B’=K×矯正前放大倍率B。

圖4 20mm修正系數(shù)關(guān)系式

圖5 140mm修正系數(shù)關(guān)系式

6 結(jié)論

利用測量攝影透視關(guān)系和數(shù)理統(tǒng)計的回歸分析方法，通過不同焦距下拍照獲得樣本照片并測量計算X軸、Y軸方向放大倍率，回歸出照片中不同點(diǎn)的放大倍率回歸方程。通過求得的回歸方程可計算空間中任意兩點(diǎn)的距離。

在考慮鏡頭畸變的情況下，矯正前后誤差對比表明鏡頭畸變對測量攝影中透視變換關(guān)系有較為明顯的影響；通過比較實(shí)際放大倍率和公式結(jié)果之間的差值，可以得到修正系數(shù)從而對計算結(jié)果進(jìn)行修正，減小誤差影響。因此，在拍攝現(xiàn)場照片進(jìn)行測量時，應(yīng)當(dāng)拍攝RAW格式照片以便在后期進(jìn)行鏡頭畸變的矯正，或通過一定拍攝條件下的修正系數(shù)來進(jìn)行放大倍率的修正。

參考文獻(xiàn)：

[1] 代雪晶,宋瑞波,單大國.利用攝影鏡頭透視關(guān)系實(shí)現(xiàn)現(xiàn)場攝影測量的研究[J].刑事技術(shù),2010(3):26-28.

[2] 代雪晶.刑事影像技術(shù)[M].北京:中國人民公安大學(xué)出版社,2011:154-155．

[3] 馮清枝,茍益博,楊洪臣.基于特征點(diǎn)匹配的視頻監(jiān)控圖像校正[J].中國刑警學(xué)院學(xué)報,2014(1):45-47.

[4] 臺治強(qiáng).數(shù)字化刑事圖像技術(shù)[M].北京:中國人民公安大學(xué)出版社,2009:230-231．