一致光滑逼近函數(shù)及其性質(zhì)

雍龍泉

(陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

絕對(duì)值函數(shù)φ(t)=t在t=0處不可微，鑒于絕對(duì)值函數(shù)在非光滑優(yōu)化理論及變分不等式中具有重要意義，因此研究絕對(duì)值函數(shù)的光滑逼近函數(shù)具有重要的實(shí)際意義[1-6]。φ(t)=t等價(jià)于φ(t)=max{t,-t}，文獻(xiàn)[7]給出了絕對(duì)值函數(shù)的光滑處理方法以及在摩擦接觸問(wèn)題中的應(yīng)用；文獻(xiàn)[8-13]給出了絕對(duì)值函數(shù)φ(t)=t的一些逼近函數(shù)，并分別應(yīng)用于求解絕對(duì)值方程；文獻(xiàn)[14]研究了極大值函數(shù)max{0,t}的一類光滑逼近函數(shù)；文獻(xiàn)[15]研究了絕對(duì)值函數(shù)的上方一致光滑逼近函數(shù)和下方一致光滑逼近函數(shù)。

本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，較為系統(tǒng)地給出絕對(duì)值函數(shù)的7個(gè)一致光滑逼近函數(shù)，從理論上分析這些光滑逼近函數(shù)的性質(zhì)及逼近程度，最后指出了一致光滑逼近函數(shù)的應(yīng)用前景。

定義1(光滑逼近函數(shù))[15]給定非光滑函數(shù)f(t):=R→R，我們稱光滑函數(shù)f(μ,t),μ>0為f(t)的光滑逼近函數(shù)，如果對(duì)任意t∈R，存在κ>0，使得

f(μ,t)-f(t)≤κμ， ?μ>0。

如果κ不依賴于t，則稱f(μ,t)為f(t)的一致光滑逼近函數(shù)。

1 一致光滑逼近函數(shù)

下面給出絕對(duì)值函數(shù)φ(t)=t的7個(gè)光滑函數(shù)φi(μ,t)，它們?cè)?μ,t)∈R++×R上是連續(xù)可微的。φi(μ,t),i=1,2,…,7，定義如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

圖1—圖3分別給出了μ=0.4,μ=0.2,μ=0.1時(shí)φi(μ,t),i=1,2,…,7與φ(t)=t的圖像。

圖1 μ=0.4時(shí)φi(μ,t),i=1,2,…,7與φ(t)=t的圖像

圖2 μ=0.2時(shí)φi(μ,t),i=1,2,…,7與φ(t)=t的圖像

圖3 μ=0.1時(shí)φi(μ,t),i=1,2,…,7與φ(t)=t的圖像

2 一致光滑逼近函數(shù)的性質(zhì)

下面給出7個(gè)光滑函數(shù)φi(μ,t),i=1,2,…,7的性質(zhì)，因?yàn)槠脑?，證明省略。

命題1 函數(shù)φ1(μ,t)在(μ,t)∈R++×R具有如下性質(zhì)：

(1) 0<φ1(μ,t)-φ(t)≤μln 4；

命題2 函數(shù)φ2(μ,t)在(μ,t)∈R++×R具有如下性質(zhì)：

(1) 0<φ2(μ,t)-φ(t)≤μ；

命題3 函數(shù)φ3(μ,t)在(μ,t)∈R++×R具有如下性質(zhì)：

(1) 0<φ3(μ,t)-φ(t)≤μln 2；

命題4 函數(shù)φ4(μ,t)在(μ,t)∈R++×R具有如下性質(zhì)：

(1) 0≤φ4(μ,t)-φ(t)≤μ(1-ln 2)；

命題5 函數(shù)φ5(μ,t)在(μ,t)∈R++×R具有如下性質(zhì)：

命題6 函數(shù)φ6(μ,t)在(μ,t)∈R++×R具有如下性質(zhì)：

命題7 函數(shù)φ7(μ,t)在(μ,t)∈R++×R具有如下性質(zhì)：

(1) -μln 2<φ7(μ,t)-φ(t)≤0；

以上給出了7個(gè)光滑函數(shù)一些性質(zhì)，這些性質(zhì)可以用微積分簡(jiǎn)單推導(dǎo)出來(lái)，在此不再詳述。

下面以定理的形式給出7個(gè)一致光滑逼近函數(shù)共同具有的性質(zhì)。

定理1φi(μ,t),i=1,2,…,7分別按照上面的定義，則φi(μ,t),i=1,2,…,7滿足：

(1)φi(μ,t),i=1,2,…,7在(μ,t)∈R++×R上是φ(t)的一致光滑逼近函數(shù)，其中φi(μ,t),i=1,2,3,4,5從上方一致逼近；φi(μ,t),i=6,7從下方一致逼近；

(2)φi(μ,t),i=1,2,…,7在(μ,t)∈R++×R上是連續(xù)可微的，且都滿足

3 一致光滑逼近函數(shù)的逼近程度

當(dāng)μ→0+時(shí)，下面來(lái)描述φi(μ,t),i=1,2,…,7與φ(t)=t的逼近程度。

從圖1—圖3可知在i=1,2,…,7的所有φi(μ,t)中，φ5(μ,t)逼近t的程度最好。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，采用無(wú)窮范數(shù)來(lái)度量?jī)蓚€(gè)實(shí)值函數(shù)之間的距離，即對(duì)于給定的兩個(gè)實(shí)值函數(shù)f(t)和g(t)，定義它們之間的距離為

對(duì)于任意給定的μ>0，由于

這意味著

因此，從上方逼近而言得出結(jié)論：

這表明，在所有的上方逼近函數(shù)φi(μ,t),i=1,2,3,4,5中，φ5(μ,t)逼近φ(t)=t的程度最好。實(shí)際上，對(duì)于固定的μ>0，

φ1(μ,t)>φ2(μ,t)>φ3(μ,t)>φ4(μ,t)>φ5(μ,t)>t。

因此，從下方逼近而言得出結(jié)論：

這表明，在所有的下方逼近函φi(μ,t),i=6,7中，φ6(μ,t)逼近φ(t)=t的程度最好。實(shí)際上，對(duì)于任意給定的μ>0，

φ7(μ,t)<φ6(μ,t)

綜上所述，對(duì)于任意給定的μ>0有如下結(jié)論：

φ1(μ,t)>φ2(μ,t)>φ3(μ,t)>φ4(μ,t)>φ5(μ,t)>t>φ6(μ,t)>φ7(μ,t)。

表1 φi(μ,t)與φ(t)=t之間的距離

從表1中的數(shù)據(jù)也可得出，φ5(μ,t)與φ(t)=t之間的距離最小，從而φ5(μ,t)逼近φ(t)=t的效果最好。

4 結(jié)束語(yǔ)

絕對(duì)值函數(shù)φ(t)=t的一致光滑逼近函數(shù)在數(shù)值逼近[16]、非光滑優(yōu)化[17]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[18-20]等領(lǐng)域具有重要的科學(xué)意義，限于篇幅，關(guān)于絕對(duì)值函數(shù)的一致光滑逼近函數(shù)的應(yīng)用，將另行討論。此外，在上述光滑逼近函數(shù)φi(μ,t)，i=1,2,…,7中，如果把μ換成其等價(jià)無(wú)窮小量sinμ，0<μ<1，則逼近效果更好。

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